Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 10

Ис — с + Йч7' = р + йч~ . (6.29) Отсюда и следует (6.28). Вернемся к понятию силы и рассмотрим элемент массы Ьт, заключенный в объеме ЬЪ" и содержащий точку ЛХ (рис. 24), — > Ь ~А а также суммарную силу ЬВ, действующую на этот элемент. Выполняя предельный пе- реход Основные постулать~ сил в К~ и по размерности совпадает с ускорением ("сила, отнесенная к единице массы").

Характерным примером массовых сил является ускорение сил тяготения, в частности ускорение д силы тяжести. Наряду с массовыми силами будем рассматривать объемные силы Х: (6.31) Мысленно рассечем плоскостью тело, занимающее объем Ъ' (рис. 25) и находящееся в равновесии. Удалим одну из частей этого тела, например правую. Чтобы левая часть оставалась в равновесии, очевидно, к плоскости сечения нужно приложить Рис. 25 Рис. 26 некоторые силы (рис.

26). Выделим на этой плоскости элементарную площадку ЬЕ и обозначим через ЬВ силу, действующую на нее. Стягивая площадку ЬЕ к точке М, получим 1пп = Ь'~~~ . (6.32) лк-о ЬЕ Вектор Ь~~~ называется поверхностнои силой в точке М на -, (и) площадке с нормалью й и имеет размерность давления ("сила на единицу площади"). Величина У("1(х,г) не образует векторного поля, так как зависит не только от точки пространства, но и от площадки, проходящей через эту точку. На последний факт указывает верхний индекс (и). Для того чтобы найти суммарную силу, действующую на — Р объем Ъ', необходимо проинтегрировать по Ъ' вектор Х(х,1), а для нахождения суммарной силы, действующей на поверхность Е, надо проинтегрировать по Х вектор У1"1(х,1).

В последнем случае в каждой точке Х надо выбирать единичную нормаль й(х, 1), отложенную в положительном направлении. Заметим, что У( )(т;, 1) = — 51 "1(х,г). Леки,ия 6 Пусть à — произвольный жидкий объем внутри данного тела, а Х вЂ” поверхность, ограничивающая этот объем. Назовем интеграл рю Л' (6.33) Ъ количеством движения, заключенным в объеме Ъ'. (6.35) Сформулируем теперь второй постулат механики сплошной среды, или закон об изменении количества движения.

Закон об изменении количества движения (11 постулат МСС). Пусть й е Кз — объем, занимаемый телом в актуальной конфигурации, Ъ' — произвольный жидкий объем в Й, а Š— его граница с единичной внешней нормалью Х. Тогда в любой момент времени — = ~рЕ Л~+ ~У')й~, й (6.34) Ъ Е т. е. производная по времени от количества движения среды, заключенной в 1/, равна сумме объемных сил, приложенных к Ъ', и поверхностных сил, действуюи/их на Х. Интегральная формулировка (6.34) — обобщение второго закона Ньютона на сплошные среды.

По лемме 1 (6.18) — роЛ' = р дГ Ъ' Ъ' > Ф Рассмотрим тетраэдр, построенный на векторах А = а'Е1, В = б~Е2 и С = с Ез, которые направлены вдоль базисных векторов в деформированном состоянии (рис. 27). Объем данного тетраэдра равен одной шестой объема косоугольного паралле- С лепипеда, построенного на А, В / Е и С, или, согласно (3.55), Ь/ 2 / / ~'1 = — = — ъ~С а'о2сз 6 6 Обозначим Е1, Х2, Хз и Е площади треугольников ОВС, Рис. 27 ОСА, ОАВ и АВС.

Первые три Осноень~е постулать~ 77 2е~ = ~/об~с ~е'~ = ъЖап 6~с~, 2ер = ~~ссра' е~~ = ~/оФ~ с а', (6.37) 2е~ =;~о а'б~ е~~ = ъ'оР~ а'6~. Кроме того, очевидно, 1 Ъ; =-ХЬ. 3 Из (6.36), (6.37)з и (6.38) получим ~з /Сзз ' (6.38) (6.39) Так как 6 = (С)сояд = с ~/СззсояО, сояВ = =, (6.40) !Сзз Язз ' то 6/сз = ЛГз. Подставим это равенство в (6.39): у ®зз Очевидно, что в (6.41) вместо индекса 3 можно поставить любой другой, т. е. = Х вЂ” = = . (6.42) 6 ~~' ~ЯГ1 у ~Я22 у,„/Дзз Применим теперь 11 постулат МСС к выбранному тетраэдру, воспользовавшись формулой (6.35): из них равны половинам площадей параллелограммов, построенных на векторах А, В, С, Обозначим также через Х единичную нормаль к площадке АВС, через 0 — угол между векторами Х и Ез, а через л, — высоту тетраэдра, опущенную из точки О.

Из (3.52) и (3.46) имеем Лекция 6 (6.47) Из (6.46) следует, что ф%) у рг' (6.48) Чтобы разобраться в тензорном характере введенных величин, предположим, что направление вектора Х совпадает с на— ! правлением нового вектора Е" контравариантного базиса, преобразующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону Е'' АУ' Ег г (6.49) где Я( ) — поверхностные силы на координатных площадках 2,'„.

Интегралы по 2, в (6.43) входят со знаком "минус", ибо внешние нормали Х( ) к этим площадкам противонаправлены векторам Е контравариантного локального базиса деформированного состояния. Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43) на 6/(ЗЪ'1), первый интеграл в правой части (6.43) на 1/Х, а каждый из оставшихся интегралов — на Х„~/С~"/Е„: р — Г сй" = — У~) аХ вЂ” ' У~) ИЕ— Ъ'~ Е Е1 у Я22 Хз /С~ У2) Д; ' У(з) ~У~ (6 44 ~2 ~з Х2 Ез Устремим высоту 6 тетраэдра к нулю. Обозначим пределы: 11п1 р — Г Л' =р — Е (6.45) 1пп — ~'~) ~~ = ~~о ', 1пп — ~' ) с0~: = ~~'о Е Е„ Тогда из (6.44) и (6.45) в пределе будем иметь з я(1~) ~ ~~т /Даая(а) (6.46) а=1 Векторы У~), У ) носят название векторов истинных напряжений.

Наряду с ними введем в рассмотрение векторы -г напряжений Р на площадках 2.': Р =~/с У ). Основные постулаты 79 — 1 / В силу коллинеарности векторов Х и Е имеем ЯО Х= (Е / (6.50) Тогда из (6.49), (6.50) следует Жъ'Са™ = А"Е'. г Поэтому из (6.46) имеем (6.51) Р— Р1 З Е. — РцЕ. З Е. (6.55) Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коши. Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трех координатных площадках в этой же точке.

Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) 11 постулата МСС и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобразуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского— Гаусса, Х запишем р — рР— ~7,Р (6.57) 3 Я~~~ ш У ~~о ' = ~ А „в ъ'о ". 16.521 а=1 При этом величина Я( ) определяется пределом, аналогичным (6.45) при Š— + Е ~. — / Из (6.52) видно, что величины Я('") не преобразуются по тензорному закону.

Иначе обстоит дело с величинами Р , входящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим рг' ~г' р1 (6.53) Следовательно, величины Р' преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону. -Ф . Разложим векторы напряжений Р' по векторам базиса: Рг Р11 ~ (6.54) Нетрудно видеть, что величины Р'~ являются компонентами тензо а Р: 80 Леки,ия 6 Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движения сплошной среды: — >. — > д~ р — = ~;Р'+ рГ или р — = РпР+ рР. (6.58) сй Ю Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количества движения (11 постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравнения РиР+ рР = 0 (6.59) называются уравнениями равновесия.

Если же величины, входящие в уравнения (6.58), зависят от времени, но силы инерции рЮ/Ж пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квази- статике. В этом случае также пользуются уравнениями равновесия (6.59). ЛЕКЦИЯ 7 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение) Рассмотрим третий постулат механики сплошной среды— закон об изменении момента количества движения. Пусть тело в актуальной конфигурации занимает объем й е Кз. Введем в рассмотрение вектор В В = т х (ро)~Л~ (?.1) Закон об изменении момента количества движ е н и я (1И постулат МСС). Пусть Ъ' — произвольный жидкий объем в 1' е й, а Š— его гранича с единичной внешней нормалью Х.

Тогда в любой момент времени т. е. производная по времени от момента количества движения среды, заключенной в Ъ', равна сумме моментов объемных сил, приложенных к 1~, и моментов поверхностных сил, действуюших на Е. Для вывода соответствующих дифференциальных соотношений, как и ранее, сведем все слагаемые в (7.2) к объемным интегралам, после чего воспользуемся основной леммой.

По лемме 1 (б.29) имеем ИВ д с1 — — т х (ри~ сЛ' = — р(т х о) Л' = Ю Ю ~Й б Б.В. Победри, д.в. Георгиевский момента количества движения (кинетического момента) сплошной среды, заключенной в жидком объеме Ъ' с границей Х (Ъ' ~ й). Аналогично вектору количества движения Ц он является обоощением момента количества движения материальной точки и абсолютно жесткого тела. Лекция 7 д Й~ р †(г х о) Л~ = р(о х о) Л' + р г х Л' = Ж й г х р~ Л'. (7.3) Подставляя далее в (7.2) вместо У "~) выражения (6,48), получим .хй( )К,= "хам,К,= 'Г(.хР)а ~7,г х Р'+ г х ~7,Р' дЪ' = Е; х Р'Л'+ + г" х РиРЛ'. (7.4) С учетом (7.3) и (7.4) соотношение (7.2) может быть записано следующим образом: -Ф г" х р — — рà — РиР Л~ = ~Е; х Р'сЛ~.

(7.5) Ю Выражение, стоящее в скобках в левой части (?.5), в силу уравнений движения (6.58) равно нулю. Тогда по основной лемме в каждой точке О = Е; х Р' = .Е; х Е~Р'~ = Р'~ у С е,~~ Е, (7.6) откуда следует (7 7) Итак, дифференциальным следствием закона об изменении момента количества движения является симметричность тензора напряжений Коши Р ~38~. О геометрической интерпретации напряженного состояния в точке речь пойдет в следующей лекции. Заметим, что в прошлой лекции, когда говорилось о многофазной среде, предполагалось, что скорость макрочастицы совпадает со скоростью центра масс микрочастиц (6.22). Это означает, что центр масс микрочастиц совпадает с координатами макрочастицы. Если такое совпадение не осуществляется, то для распределения масс необходимо ввести еще одну характеристику — тензор моментов инерции макрочастицы, компоненты Основные постулаты (продолжение) 83 которого записываются, например, в виде 1' ( ) (М ( ) (о)'1 '?ч = ~,ра ~~~ хь Аз х1 х1 ( а=1 (7.8) где ~, — координаты микрочастицы о относительно макроча() стицы.

(М (о) 1/2 Введем гипотетический параметр 1 = (з, з, ) — длину радиуса-вектора микрочастицы а относительно макрочастицы. В этом случае первый инвариант тензора (7.8) имеет вид т 1=1н=2~р„1~. а=1 (7.9) Ъ' Е В (?.11) М вЂ” вектор распределенных обтемных моментов в теле; ~~( ) =д'Х,=СРЮ,Е,, (7.12) где ф1 — компоненты тензора моментных напряжений Я = =Е,ЗЯ'= Ц11Е,ЗЕ.. Дифференциальным следствием постулата (7.11) являются уравнения моментов.