Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 13

Очевидно, что для замыкания системы (9.1), (9.2) необходимо привлечь еще шесть соотношений, определяющих конкретную среду. Они называются определяющими соотношениями и описывают модель сплошной среды. Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости 120, 23, 26, 35, 461. Определим ее как среду, в которой в любой точке -Ф на любой площадке с единичной нормалью Х вектор напряжений У~) ортогонален этой площадке, т.

е. 5(х) ~ ~(х) У (9.3) — > — 1 Коэффициент пропорциональности между векторами Ф~) и Х в (9,3) называется давлением р(х,~): У~') = рУ. (9.4) Давление образует скалярное поле в Кз, так что длина вектора Я(~) в идеальной жидкости (равная р~) зависит лишь от Лекция 9 точки пространства и не зависит от площадки, проведенной через эту точку. Так как согласно (6.48) У~) = Р'К, то из (9.4) имеем Р' = — рЕ'.

(9.5) Умножим (9.5) тензорно на Е; и воспользуемся (6.55). Получим Р Е ®Ег' (9.6) т.е. тензор напряжений Коши в каждой точке идеальной жидкости является шаровым и характеризуется одной скалярной функцией — давлением. Из (9.5) также следует, что т?,Р' = — Я,(рЕ') = — р~,Е' = — дгас1 р.

(9.7) Подставляя Я,Р' из (9.?) в (9.2), получим уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. В векторном виде они выглядят следующим образом: (9.9) Ию р р = — дгас1 р+ рК, ~Й (9.8) или, после деления на р ф 0: Ио 1 — > — = — — дгас1 р+ Е. й р Однако система четырех уравнений (9.1), (9.9) по-прежнему остается незамкнутой.

Действительно, неизвестными являются пять величин: плотность р, три компоненты вектора скорости й и давление р. Если положить, что идеальная жидкость несжимаема и однородна, то плотность является постоянной р :— ро и ее можно исключить из числа неизвестных. Тогда число неизвестных величин (три компоненты вектора о и давление р) совпадает с числом уравнений, в число которых входят три уравнения движения Эйлера (9.9) и условие несжимаемости (6.14) с11чо = О.

(9.10) Если идеальная несжимаемая среда неоднородна, то плотность р(х, Ц становится пятой неизвестной функцией. Система четырех уравнений (9.9), (9.10) замыкается пятым уравнением (6.13), которое можно записать в виде др д1 + о дгас1 р = О. (9.1 1) Простейшие модели жидкостей 101 ~ХР = (9.13) Р Из определения (9.13) следует, что 1 дгас1 Р = — дгас1 р. Р Интегрируя (9.13) при заданном определяющем соотношении (9.12), функцию давления можно записать в одном из двух видов: (9.14) (9.15) либо (9.16) Пусть массовые силы Г(х, 1) обладают скалярным потенциалом У(х, 1): Г = — дгас1 К (9.17) Тогда, подставляя (9.14) и (9.17) в уравнения движения (9.9), получим ИО сй — + дгас1 (Р+ с.г) = О.

(9.18) Возникает вопрос: можно ли ускорение й = Ю/й, входящее в (9.18), как и остальные слагаемые, представить в виде градиента некоторой скалярной функции? Покажем, что вектор ускорения со(т, ~) представим в форме Громеки-Лэмба: й1= + — дгас1Я +22 х о, -2 дс (9.19) где со — вектор вихря, определяемый в (2.29).

') Не путать функцию давления Р с давлением р! Идеальная жидкость называется баротропной, если давление является известной функцией от плотности или наоборот: р = р(р) или р = р(р). (9.12) Функция (9.12) представляет собой определяющее соотношение идеальной жидкости, замыкающее систему (9.1), (9.9). При р(р) = ро мы имеем дело с несжимаемой средой. Для баротропной жидкости удобно ввести функцию давления 'Р(х,г) такую, что ') 102 Лекция 9 Будем считать, что в актуальной конфигурации задана прямоугольная декартова система координат с единичными ортами Й, -г -Ф так, что о = о;й;, с~ = с;й,.

Преобразуем Ью компоненту вектора, являющегося суммой двух последних слагаемых в (9.19): < 2 2 — дгас1 ~о + 22 х ~ . И~ = — (исус) ~+ 2с;~~,~л)г1)~ 2 = ~СЙ,И + сгуйстпФп,т~~ = 'с~Фг',Й + (ЦпАИп ЦпМт)с~п,тц ~~Рся + ек,т~т ~п,яп — ~ь,т ~т (9.2О) и заметим, что она совпадает с Й-й компонентой конвективной производной по времени вектора скорости. Сумма частной и конвективной производных согласно (1.23) есть полная производная по времени от скорости, или ускорение ш Воспользуемся доказанным результатом и подставим ускорение в форме Громеки — Лэмба в (9.18). Получим — + дгас1 + Р+ с.г = 2й х ~~.

(9.21) д ! (2 д1 2 Рассмотрим два частных случая интегрируемости уравнения (9.21). 1. Пусть движение идеальной баротропной жидкости установившееся, т. е. выполняется условие (2.11). Спроектируем в каждой точке среды векторное уравнение (9.21) на линию тока (или на траекторию, совпадающую в силу стационарности с линией тока), которая проходит через эту точку. Так как по определению линии тока вектор о направлен в каждой точке и в каждый момент времени по касательной к этой линии, проекция правой части (9.21) равна нулю. В результате будем иметь ! 2 дгас1 +Р+ с,г = О, 2 (9.22) или (9.23) где С вЂ” постоянная величина вдоль каждой линии тока.

Она не является константой для всей области течения. Первый интеграл (9.23) уравнений движения (9.21) называется интегралом Бернулли. Он справедлив не только для линии тока, но и для каждой вихревой линии, т.е. линии, касательная к которой параллельна вектору Ы. В этом случае С постоянна вдоль каждой вихревой линии. Простейшие модели жидкостей 103 2.

Возвратимся к уравнениям движения (9.21) и предположим, что течение идеальной баротропной жидкости потенциально: (9.24) о = ртас1~р. Тогда 2Ы = го1 угаду = — О. Подставим (9.24) в (9.21) и получим огай( + — дгайр~~+Р+У) =О, 19.251 или счев 1 2 + — дгас1 р~ + Р + Г = 1'®. д1 (9.26) Первый интеграл (9.26) уравнений движения (9.21) называется интегралом Коши — Лагранжа. Функция 1" ® определена во всей области течения Г. Для нахождения константы С в интеграле Бернулли (9.23) и функции г'® в интеграле Коши — Лагранжа (9.26) необходимо использовать начальные и граничные условия. Начальные условия задаются в момент времени ~ = О во всех точках Ъ'.

1=0: о=о~(х). (9.27) Граничные условия задаются в любой момент времени, но лишь на границе Е = Е,, 0 Х, области Ъ". В случае идеальной жидкости возможно задание либо нормальной скорости о1~) = о Х: ..-.Х.: .~') =.,(х-,~), (9.28) либо давления р: х Е Е,: р=ро(х,г). (9.29) Граничные условия (9.28) называются кинематическими, а условия (9.29) — статическими. В (9.28), естественно, предполагается, что в точке х б Е, су1цествует единичная нормаль Х. В особых же точках, таких как ребра, угловые точки, точки возврата, граничные условия имеют другой вид, на котором сейчас останавливаться не будем. Приведем далее примеры задач механики идеальной жидкости, допускающих решение на основе первых интегралов уравнений движения, в частности интеграла Бернулли.

Во всех задачах будем полагать, что жидкость однородна и несжимаема, поэтому, как следует из (9.15), Р = р/ро. Лекция 9 Г = д~. (9.30) Выберем линию тока ",, начинающуюся в точке А на верхней поверхности жидкости и выходящую через отверстие в точке В. Будем полагать, что резервуар достаточно большой и скорости точек верхней поверхности равны нулю (действительно, они много меньше искомой скорости истечения), поэтому движение за небольшой промежуток времени можно считать установившимся. Следовательно, вдоль линии у справедлив интеграл Бернулли (9.23). Запишем его для двух точек, А и В, принадлежащих + '+д.

= + "+д~ . (9.31) Ро ' 2 Ро Так как г, = 6, г = О, о , = О, из (9.31) получим !!. = (9.32) Выражение (9.32) и является ответом в данной задаче. Если внешние давления в точках А и В одинаковы и равны, например, атмосферному, то о = ~/2д6. (9.33) Любопытно, что формула (9.33) в точности совпадает с известной из классической механики формулой Торричелли для скорости материальной точки, брошенной с высоты 6 из состояния покоя. Можно поставить и иную задачу: каким должно быть минимальное давление р вокруг резервуара, для того чтобы тяжелая жидкость не вытекала из него? Для ответа надо вос- 1. Тяжелая жидкость вытекает из открытого резервуара, показанного на рис. 35, через малое отверстие в боковой стенке.

Найти скорость истечения в тот момент, когда расстояние от этого отверстия до верхней границы жидкости равно 6. Направим ось хз = ~ вверх и выберем начало координат на уровне отверстия, как указано на рис. 35. Единственной массовой силой является сила тяжес- > ти Г = — доз, обладающая потенциа- лом 105 Простейшие модели жидкостей пользоваться решением (9.32) и положить в нем )о ! = О.