Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 14

Тогда р, =л, +ть. (9.34) Распределение давления (9.34) характерно для гидростатики идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. 2. Определить скорость на свободной поверхности идеальной жидкости справа от вертикальной стенки (рис. Зб). Направим, как и в предыдущей задаче, ось тз = ~ вверх, а начало координат выберем в точке О.

Пусть глуоина водоема до стенки мало отличается от ~л, а после стенки равна — 6. Течение реки будем считать установившимся, а в качестве линии тока выберем линию;, принадлежащую свобод- ной поверхности как до стенки, О так и после нее. Потенциал мас- Рис. 36 совой силы (силы тяжести) имеет вид (9.30). Записывая для двух точек А и В, принадлежащих "~, интеграл Бернулли согласно (9.31) и учитывая, что р„= Рв Ратм> получим вв = о2 +2д6 (9.35) Если на свободной поверхности водоема достаточно далеко от стенки жидкость покоилась (о — 0), то из (9.35) вновь получим формулу (9.33), аналогичную формуле Торричелли.

Выражение для скорости (9.35) используется при расчете и проектировании водосливов, плотин, запруд и других гидроинженерных сооружений. Интеграл Бернулли (9.23) также находит применение в задачах, связанных с измерением скорости потока жидкости. Простейшим измерительным прибором такого рода служит трубка Пито — Прандтля (рис. 37), представляющая собой узкое цилиндрическое тело с отверстиями, через которые по нескольким Рис.

37 106 Лекция 9 каналам (коленам трубки) может течь жидкость. Трубка устанавливается вдоль стационарного горизонтального потока идеальной жидкости. Одно колено трубки выходит в ее переднюю (лобовую) часть навстречу набегающему потоку. Конец А этого колена называется точкой торможения, в ней скорость потока тормозится до нуля, а давление равно давлению торможения, или заторможенному давлению р„.

Другое колено выходит из трубки в точке В, расположенной достаточно далеко от А, так что о и р мало отличаются от скорости о . и давления р набегающего потока. Выберем линию тока, проходящую через точки А и В, и запишем для нее интеграл Бернулли в виде (9.31). Так как , будем иметь о = 2 ро (9.36) (9.39) Ъ'~ Ъ Перепад давлений Ьр пропорционален разности высот Ь6 уровней жидкости в двух коленах трубки Пито — Прандтля. Коэффицииент этой пропорциональности равен р'д, где р' = аро — плотность жидкости, находящейся в трубке (она может отличаться от жидкости в потоке). Поэтому г = у2адЬЙ.

(9.37) Рассмотрим теперь другую модель, а именно пористую среду 1111. В такой среде присутствуют две составляющие: недеформируемый каркас и поры, заполненные идеальной жидкостью, причем жидкость может фильтроваться сквозь стенки каркаса. В связи с этим модель пористой среды называется также фильтраиионной моделью. Полагается, что в некотором бесконечно малом объеме Л', окружающем точку х тела в момент 1, объем пор равен Л'1, так что известная величина м=, 0<ж(х,~) <1, дЪ; (9.38) зависит от координат и времени. В предельных случаях ж = = 0 и х = 1 имеем, очевидно, сплошной каркас без пор либо идеальную жидкость.

Общая масса т жидкости (б.1), Простейшие модели жидкостей 107 не меняется со временем, поэтому из закона сохранения массы (6.8) и леммы о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объему (6.4) следует, что д(жр) + с11ч(жрй) = О. дг (9.40) Назовем величину (9.45) д(хр) д1 + с$т~К(рР— дгас1 р)1 = О. (9.46) Если жидкость, движущаяся в порах, баротропна, то уравнение (9.46) (с учетом (9.12)) полностью описывает фильтрационную модель.

Пусть теперь тензор напряжений Коши (6.55) в жидкости не является шаровым, как в (9.6), а имеет вид Р = — рХ+т, (9.47) й= жй (9.41) скоростью фильтрации в отличие от физической скорости й. Тогда соотношение (9.40) можно переписать следующим образом: д(жр) дс + с11ч(рй) = О. (9.42) Скорость фильтрации пропорциональна силе трения Е, жидкости о стенки каркаса (закон Дарси): (9.43) где К вЂ” коэффии,иент проникания. Аналогично уравнениям движения Эйлера (9.9) запишем векторные уравнения, описывающие фильтрацию. В них уже фигурирует не физическая скорость, а скорость фильтрации: Ий 1 — > — > — = — — дгайр+ Е+ Г,р. (9,44) сй Так как фильтрация осуществляется очень медленно, инерционной левой частью в (9.44) обычно пренебрегают. Тогда с учетом (9.43) соотношение (9.44) приобретает вид 1 й = К~Š— — дгас1р Р и носит название обобщенного закона Дарси.

Подставим теперь обобщенный закон Дарси в (9.42) и полу- чим 108 Лекция 9 7- = ~-, Е' 3 Е~ =,-Ч Е1 8 Е, (9.48) есть тензор вязких напряжений, представляющий собой линейную изотропную тензорную функцию от скоростей деформации .О (4.62): тц = Л1(1г.О) С,, + 2р1К,, (9.49) д~ р = — дгас1р+ р10й+ рР, аг (9.53) или Ю 1 Р = — — дгаг1 р+ цЬс+ Г. (9.54) гй В случае несжимаемости нет смысла говорить об объемной вязкости, поэтому р1 называют просто коэффициентом вязкости или динамической вязкостью, тогда как и = р1(р носит название кинематической вязкости. Смысл этих названий станет ясным из лекции, посвященной размерностям физических величин.

Итак, замкнутая система уравнений вязкой несжимаемой жидкости представляет собой векторное уравнение (9.53) или (9.54) и условие несжимаемости (9.10). При этом разыскиваются четыре величины; компоненты вектора скорости й и давление р. К = — Я~ + Ъ'~,), 1гй = Жало, о = Ъ;Е'. (9.50) Соотношения (9.49) являются определяющими соотношениями среды, называемой ньютоновской вязкой жидкостью или просто вязкой жидкостью 17, 20, 23, 26, 53]. Коэффициенты Л1 и р1, являющиеся материальными константами определяющих соотношений (9.49), характеризуют жидкость и называются соответственно объемной и сдвиговой вязкостью. Подставляя (9.48) и (9.49) в (9.47), выпишем компоненты тензора Р: Р, = ( — р+ Л11г.О) С; + 2р101 .

(9.51) Для вывода уравнений движения такой среды подставим в общие уравнения (9.2) векторы напряжения Р' = Р'~Ц, вычисленные на основании (9.51). Получим уравнения движения сжимаемой вязкой жидкости: дс р = — дгаг1 р+ (Л1+ и1) дгаг1 йч ю +,и1Ьо + рР. (9.52) ~Ю Если же среда несжимаема, т.е. йчо = О, то из (9.52) следуют уравнения движения Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости: Простейшие модели жидкостей 109 Если в отличие от (9.49) тензор-функция, связывающая т и .О, нелинейна, то жидкость называется нелинейно-вязкой или неньютоновской 18].

Обратимся теперь к начальным и граничным условиям, необходимым для постановки начально-краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку уравнения Навье— Стокса (9.54), как и уравнения Эйлера (9.9), имеют первый порядок по времени, начальные условия (9.27) остаются в силе. По координатам уравнения (9.54) имеют второй порядок (оператор Лапласа), поэтому граничных условий (9.28), (9.29) уже недостаточно.

Кинематические условия на границе Х, вязкой жидкости имеют следующий вид: х Е Х,) . о = оо(х, ~). (9.55) Чаще всего по границе Х, вязкая жидкость соприкасается с твердым телом ("стенкой"), движущимся со скоростью ~70(х,1), поэтому условия (9.55) называют также условиями прилипания.

Статические граничные условия записываются следующим образом: ;,х,. Ф ) =ь;(х,,). (9.5б) Если вектор Яо(х,1) нулевой, то Е, называется свободной поверкностью. Если Х, = Е, то говорят о первой краевой задаче, если Х, = Х, то о второй краевой задаче, если же Х, ф Я и Х,. ф Я вЂ” то о смешанной краевой задаче. ЛЕКЦИЯ 10 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Продолжим начатое в прошлой лекции изучение моделей сплошных сред и перейдем от жидкостей к твердым деформируемым телам.

В механике сплошной среды часто твердые тела отличают от жидкости не по агрегатному состоянию вещества. Обычно, если используется лагранжев подход и кинематика деформирования описывается вектором перемещения и тензором деформаций, то говорят о твердом теле 147~. Если же используется эйлеров подход и кинематика характеризуется вектором скорости и тензором скоростей деформаций, то речь идет о жидкости или газе.

При этом, как правило, несжимаемая среда называется жидкостью, а сжимаемая — газом. Будем изучать малые деформации и введем прямоугольную декартову систему координат. Частную производную по координате будем обозначать запятой в индексе. Тогда уравнения движения (6.58) в компонентах записываются следующим образом: И~~, Р = ог',~,~ + Р~г ~Й (10.1) или, с учетом (1.18), д~~ 2 04 Д~2 (10.2) Три уравнения движения (10.2) и шесть соотношений Коши (5.5) содержат пятнадцать неизвестных величин: по шесть компонент симметричных тензоров напряжений с ц (8.43) и малых деформаций ы, (5.4), а также и три компоненты вектора перемещений и,. Напомним, что плотность р не входит в число неизвестных, а определяется из уравнения неразрывности (6.17) в лагранжевых координатах после нахождения деформаций и дилатации 0.

Система (10.2), (5.5) незамкнута, и для ее замыкания сплошную среду необходимо конкретизировать, т.е. задать определяющие соотношения среды. В предыдущей лекции уже встречались подобные соотношения для идеальной баротропной жидкости (9.12) и для ньютоновской вязкой жидкости (9.49). Простейшие модели твердых тел Рассмотрим линейное упругое тело 11, 22, 28, 33, 43, 54, 57, 58~, т. е. среду, в которой тензоры о и е связаны линейной, вообще говоря, анизотропной тензор-функцией. Общий вид такой функции следующий: о,''=С, цец, или о =С:е.

(10.3) Шесть независимых соотношений (10.3) носят название закона Гука для анизотропного упругого тела 125~, а тензор четвертого — Ф вЂ” > ранга С = С, цК; З й З й1„. З ~~ называется тензором модулей упругости. В силу симметрии а; = а1; он, очевидно, симметри- чен по первым двум индексам, а в силу симметрии е; = е,;— по последним двум. Пусть тензор-функция (10.3) является потенциальной, т. е.