Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 17

(11.4) Р(М,Ь,Т) дЛХ Обозначая о = (др/ди)(1, 1, 1) и интегрируя по ЛХ дифферен- циальное уравнение (11.4), будем иметь Р(лх х т) ™ 4'(х т) (11.5) где !Р— произвольная функция своих аргументов. где Х; — численное значение величины Х в системе с номе- ром г'. Пользуясь тем, что все системы внутри данного класса равноправны, можно принять за исходную первую систему.

Тогда в силу определения безразмерной величины Размерности физических величии. 125 Подставим (11.5) в (11.3) и выпишем функциональное уравнение для ф: (1 1.б) т. е. уравнение, отличающееся от (11.3) только тем, что у функции ф на один аргумент меньше, чем у р. Повторяя еще два раза такие же рассуждения, придем к тому, что р является степенной функцией по отношению ко всем своим аргументам: ;р(М,Л,Т) = СМ 1РТ'т, С = сопз1. (11.7) Формулой (11.7) представлено утверждение леммы о степенном выражении размерности. Л е м м а (о степенном выражении размерности). Размерность любой физической величины представляет собой степенной одночлен. (11.8) а в разыскиваемой [Х1] = А(о1М1) " ...

(о„М„) '", [Х1]: (д1М1 ) ' ° ° ° ' (дпМп)~™, г': 2, ° ° °, ь, (1 1.9) Это означает, например, что никакая величина не может иметь размерность з1п кг или м~ + с. Говорят, что величины Х1,...,Х1, имеют независимые размерности, если размерность ни одной из них нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Ни одна из размерно независимых величин, например Х1, не может быть безразмерной, иначе можно было бы представить [Х] — [Х ]ΠΠ— 2 Ю Докажем далее важную лемму об унарном выборе независимой размерности. Для общности изложения будем действовать в классе систем единиц измерения [М1...

М„), п > 1. Л е м м а (об унарном выборе независимой размерности) 12]. Всегда можно перейти от исходной системы к некоторой другой системе того же класса, так чтобы любая из размер- но независимых величин Х1,...,Х1п для определенности Х1, увеличила свое' значение в произвольное число А раз, а все прочие остались бы неизменными. Действительно, пусть в исходной системе единиц измерения [Х,;] = М1" Мп'" Ог1+'''+СХ;и > О, г = 1,...,К, Декиия 11 126 причем числа о, (г = 1,..., Й; 1 = 1,..., и) известны, а д надо найти.

Сравнивая (11.8), (11.9), получим систему й уравнений относительно и неизвестных. Логарифмируя каждое уравнение, выпишем получившуюся систему Й линейных уравнений относительно 1пд~,..., 1пд„ о ~ ~ 1п д~ +... + о ~,, 1п О„= — 1п А, о2 ~ 1п ц~ +... + о2„, 1п д„= О, (11.10) сц ~ 1п ц~ +... + сц,„1п о„= О. Поскольку в классе (М~... М„) максимальное число величин с независимыми размерностями равно и, т. е. Й ( и, исследуем два случая. а) й ( и. Как следует из (11.8), в любой строке матрицы (а, ), в том числе и в первой, имеется хотя бы один ненулевой элемент. Поэтому система (11.10) будет иметь решения всегда, кроме случая, когда первая строка матрицы (о.; ) есть линейная комбинация остальных й — 1 ее строк: Оы = С~ол +.

+ С~ои, (1 1.1 1) о~„= С~о2 +... + С~а~„. Потенцируем первое равенство (11.11) по основанию ЛХ~ (другими словами, возведем ЛХ~ "в обе части первого равенства (11.11)'*), второе по основанию М2 и так далее, наконец, последнее — по основанию ЛХ„. После этого перемножим получившиеся и, равенств и получим ~Х~~— : М " ... М~'" = (М " ... М~'- )с' ...

х х ... ° (М й! ЛХ )с' = 1х21с' °... ° 1х ~сй (1 1. 12) что противоречит определению независимых размерностей величин Х,. Предположение о несовместности системы (11.10) оказалось неверным. б) й = и. Система (11.10) не будет иметь решений, если определитель матрицы (а, ) равен нулю. Так как в любой ее строке, в том числе и в первой, есть хотя бы один ненулевой элемент, остаются справедливыми рассуждения пункта (а). Лекиия 11 128 Подставляя последнее соотношение (11.15) в (11.17), получим с учетом (11.13), что функция 1' обладает следующим свойством: ~(Х1,...,Х1) =Х,' ...

Х,„' х х Ф 11 1' 111 18 Х +" ... Х +' ' 'Х" ....Х' 'ъ.1 '... ' '1 Уд т Это важное свойство носит название обобщенной однородности функции 1'. Тем самым доказана П-теорема, являющаяся ключевой в теории размерностей 16,511. Сформулировать ее можно так. П-теорема теории размерностей. Пусть существует физическая закономерность, выраженная зависимостью некоторой величины от й, вообще говоря, размерных определяющих параметров. Тогда данную зависимость можно представить в виде обобщенной однородности, т.

е. в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных определяющих параметров, число которых меньше й на число определяющих параметров с независимыми размерностями. Формулировка и доказательство настоящей теоремы в литературе приписывается Э. Букингему. Заметим лишь, что его работа 163] по данному вопросу опубликована несколько позже, чем не получившая всемирной известности работа 160~ русского математика и инженера А. Федермана.

С помощью П-теоремы можно, не решая начально-краевой задачи и даже не располагая математической моделью явления, только из соображений размерности выводить зависимости одних физических величин от других. Так, выдающийся немецкий ученый Г. Герц, проводя анализ размерностей в задаче о контактном взаимодействии двух упругих тел, получившей в последствии его имя, вывел зависимость размеров площадки контакта, а также максимального давления на ней от силы сдавливания тел. Точное решение контактной задачи блестяще подтвердило результаты Герца.

Приведем ниже три примера, иллюстрирующие применение П-теоремы в самых разных областях механики 12, 51]. Задача о математическом маятнике. На рис. 39 изображен математический маятник, период малых колебаний Т которого является определяемой величиной. Из физического смысла следует, что Т может зависеть от массы т, материальной точки, Размерности физических величии. 129 длины 1 невесомого стержня, величины ускорения д силы тяжести и угла Оо начального отклонения. Все эти параметры следует считать определяющими независимо от того, действительно ли зависит от них Т или нет. По аналогии с соотношением (11.13) за- пишем Т = !(т,,1,д, Оо) Й = 4, (11.19) Рис.

39 и будем придерживаться описанной ранее схемы. Размерности всех параметров задачи следующие: (т~ = М, Я = А, 1д~ = ЛТ ~, 1Оо~ = 1; 1Т~ = Т. Параметров с независимыми размерностями три (т = 3): Х1 = т, Х2 = 1, Хз = д. Выразим 1Т~ через 1т~, Я, 1д~ в виде степенной функции: (Т1,=( .~ ~~~'Ц-з, (11.20) приравняем показатели при ЛХ, ! и Т в (11.20) и придем к неоднородной системе трех линейных уравнений с тремя неиз- ВЕСтНЫМИ бХ1, Оо, ОЗ.

0= о1, 0= о2+аз, 1 = — 2аз. Решение этой системы таково: о1 = О, о2 = 1/2, оз = — 1/2. Таким образом, в силу безразмерности начального угла и того, что 1Т~ = 1т)оЯ112(д~ 1~2, критерии П1 и П имеют следующий вид: П= Т/д П1 = Оо, П-теорема утверждает, что искомая связь (11.19) эквивалентна соотношению П = Ф(П1), или Т = — Ф(Оо), г (11.21) где Ф вЂ” некоторая функция всего одного (а не четырех, как !) аргумента (й — т = 4 — 3 = 1).

Из формулы (11.21) уже видно, что период малых колебаний не зависит от массы материальной точки. Осталось определить функцию Ф(Оо). Это достигается с помощью ряда опытов с математическим маятником, в которых необходимо изменять только 9 Б.Е. Победри, Д.В. Георгиевский Лекиия 11 один параметр — начальную амплитуду Оо (Оо (( 1) — и измерять тоже только одну величину — период Т. Длина 1 и ускорение д для всех таких опытов постоянны, поэтому их надо померить один раз. Опыты дадут с достаточным приближением: Ф(Оо): — 2т.

Малые колебания математического маятника оказываются изохронными, и такой маятник применим для измерения промежутков времени. Наоборот, если период Т известен, то по формуле д = = 4т21/Т2 определяется ускорение свободного падения в данной области пространства. Мысль об изохронности малых колебаний впервые пришла в голову Г. Галилею, когда он наблюдал в Флорентийском кафедральном соборе за качаниями паникадила. Задача о сильном взрыве. При сильном взрыве заряда происходит почти мгновенное выделение значительной энергии и в направлении от места взрыва начинает распространяться ударная волна.

Давление за передней поверхностью (фронтом) волны во много раз больше начального давления воздуха. В зависимости от геометрической формы заряда фронт может принимать различный вид. Если взрыв происходит в одной точке (точечный взрыв), то фронт в каждый момент времени представляет собой сферу радиуса В® (рис.