Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 18

40, а). Если заряд равномерно рассредоточен вдоль прямой (осесимметричный взрыв), то Рис. 40 фронтом является цилиндр радиуса В® (рис. 40, б). Наконец, если заряд равномерно распределен по плоскости (плоский взрыв), то фронт представляет собой пару плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии 2В® (рис. 40, в). Выберем в качестве определяемой величину В и перечислим определяющие параметры.

К ним следует отнести время 1, Размерности физических величии. плотность р атмосферы, в которой произведен взрыв, а также характеризующий мощность заряда параметр .Е. Последний в зависимости от случаев а, б, в представляет собой либо энергию, либо ее линейную или поверхностную плотности соответственно. Таким образом, й = 3, Х1 = 1, Х2 = р, Хз = Е и В= ~(~,р,Е). (11.22) Размерности всех параметров задачи следующие: [г] = Т, [р] = М1 з, [Е]=Мй~ 'Т 2, [В] = Л, где %=1,2,3 для плоского, осесимметричного и точечного взрывов соответственно. Нетрудно заметить, что для любого Х тройка величин 1, р, Е размерно независима, и ее можно выбрать в качестве базиса (т = 3). Для выражения в этом базисе размерности [Л] найдем параметры о1, о2 и аз следующей степенной функции: [Л] [~]~~1 [ ~]~х~ [Е]~з Приравнивая в обеих частях равенства (11.23) показатели при ЛХ, А и Х, придем к системе уравнений: О = о2+ оз, 1 = — За2 + (Х вЂ” 1) аз, О = о1 — 2схз.

Ее решение таково: о1 = 2/(2 + Х), о2 = — 1/(2 + Х), аз = = 1/(2+ Х). Таким образом, [д] [~]212+%) ' [ ] — 12+И) ' [Е]12+Я) Единственная безразмерная величина в данной задаче имеет вид Д (Е~2/ о) (2+%) Так как к — т = 3 — 3 = О, то согласно П-теореме П = Ф, причем Ф ни от чего не зависит и равно некоторой константе С. Из (11.24) получим следующее выражение для Л: 1 щ2 2+% В = Су (11.25) Р ЧтОбы найти кОнСтанты С1, С2,СЗ, дОСтатОчнО ОСущЕСтвить по одному взрыву каждого из трех типов. Зная Е и р, надо измерить время 1„за которое фронт волны пройдет расстоя- 132 Декиия 11 ние В, между зарядом и улавливающим прибором.

Тогда из формулы (11.25) получим 1 (Р) я (11.2б) Скорость о распространения фронта получается дифференцированием по 1 обеих частей (11.25): 2Су Е (11.27) Е = г'(а, о, р, р, с), й = 5. (11.28) Как видно, о — ~ оо при ~ — О, но характер особенности и 1 ~~(~+~) зависит от Х, т. е. от формы заряда. Интересно, что для увеличения скорости о вдвое в плоском случае надо выбрать заряд в 8 раз мощнее, в осесимметричном — в 16 раз, а в СфЕричЕСки СиммЕтричнОм — в 32 рава1 Подробнее о задаче о сильном взрыве читатель может узнать из книги 151], где также опубликованы фотографии взрыва атомной бомбы в Нью-Мехико в 1945 г.

Стробоскопический анализ этих фотографий очень хорошо подтверждает формулу (11.25) для случая Я=3. По расчетам Дж. Тейлора в момент изображенного взрыва выделилась энергия порядка 10'4 кг м/с2, или 10в МДж. К таким же выводам независимо пришли Л.И. Седов и Дж. фон Нейман. Задача об обтекании шара потоком. Поместим в горизонтальный поток сжимаемого вязкого газа абсолютно твердый шар и будем удерживать его в состоянии покоя.

После того, как течение установится, со стороны окружающей среды на шар стоянная сила Е. Следовательно, 7 а ф для удержания его в покое надо приложить силу — Г (рис. 41). Величина Г = К~ может заРис. 41 висеть от радиуса шара а (характерного линейного размера), скорости и газа на бесконечности (характерной скорости) и физико-механических свойств — плотности р, динамической вязкости р и скорости звука с в газе.

Таким образом, Размерности физических величии. [Р] = [а]~'И~'[р]~з [с] = [а]" И" [р]" М = [а]" [ ] '[р]" (11.29) и получающиеся после приравнивания показателей при М, Ь и Т в каждом из равенств (11.29) три неоднородные системы линейных уравнений: 1 = Рз, — 1 = д1 + 1з2 — 31зЗ > /~2 0 ='73 1 = 71 + 'у2 — 3 !'3 — 1 = — 12> 1 = оз, 1 — с~1 + с"2 Зс~з — 2= — о2, решения: ~11 = А = 1Зз —— 1, "~! = "дз = О,;~2 — — 1, а! = аз=1.

в задаче образуются три безразмерных критерия: имеющие = о2 = 2, Итак, р с Е П1 =, П,=-, П= а2112р ' Величины, обратные П! и П2, в механике сплошной среды носят название чисел Рейнольдса (Ке) и Маха (М). Если М < 1, то имеем дозвуковой поток газа, а если М > 1, то сверхзвуковой. Согласно П-теореме Г = ро2а Ф(П1, П2)— : рю2а2Ф(Ве, М). (11.30) Таким образом, безразмерная сила П зависит только от двух параметров (й — т = 5 — 3 = 2): Ке и М. Если эффектом сжимаемости набегающего потока можно пренебречь (тогда речь идет о вязкой несжимаемой жидкости), то у функции У остается один Выпишем размерности определяющих параметров и определяемой величины: [а]=Л, [о]=1,Т 1, [р] = МЛ ~, [р] = = МГ, 'Т ', [с] =1Т ', [Е] = М1Т 2.

Любые три из первых четырех определяющих параметров размерно независимы. Результат не должен зависеть от того, какую тройку величин включить в базис, поэтому положим: Х! = а, Х2 = !!, Хз = р, Х4 = ц, Хз = с. Для выражения размерностей [р], [с] и [Е] в базисе а,о, р запишем три степенные функции: Лекиия 11 аргумент Ке 2 Ег = —, да О М= —, с аср Ке = Р Еп= = р р~2' (11.34) С теорией размерностей тесно связана теория подобия ~51~, лежащая в основе масштабного моделирования физических И= —, ыа Г = ро а Ф(Ке).

(11.31) Как показывают эксперименты, проводимые в аэродинамических трубах, при малых скоростях обтекания сила сопротивления прямо пропорциональна скорости с. Из формулы (11.31) следует, что в этом случае Ф(Ке) = С/Ке, где С вЂ” константа. Имеем Г = Своа, (11.32) т. е. при малых числах Рейнольдса сила Г не зависит от плотности среды, поэтому такое обтекание называется безынериионным. Проводя единственный эксперимент и измеряя в нем все величины, входящие в (11.32), можно вычислить постоянную С. Она равна бт. Выражение силы сопротивления при Ке « 1, К = бтроа, (11.33) называют формулой Стокса.

Из нее, в частности, при и = О следует парадокс Эйлера — Даламбера: при стационарном обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью и отсутствии источников и стоков главный вектор сил давления потока на тело равен нулю. В данной задаче встретились два безразмерных параметра — Ке и М. Число Рейнольдса по определению представляет собой величину, обратную безразмерной вязкости в базисе, состоящем из характерного линейного размера, характерной скорости и плотности. Число Маха — величина, обратная безразмерной скорости звука. В задачах, где существенно влияние силы тяжести, важную роль играет число Фруда Гг — величина, обратная безразмерному ускорению силы тяжести.

В задачах, где имеется характерная частота ~ (например, в теории колебаний), вводят в рассмотрение число Струхала ЯС, обратное безразмерной частоте. Если же в системе имеется характерная величина р размерности М1 'Т 2 (давление, упругие модули, предел текучести), то, будучи обезразмеренной в том же базисе, данная величина называется числом Эйлера Еи. Таким образом, Размерности физических величин 135 явлений.

Метод моделирования состоит в проведении экспериментального процесса, подобного реальному. При этом подобными называются разномасштабные проиессы, математическое описание которых различается только численными значениями входящих в них размерных величин. Безразмерные же параметры (критерии подобия) П1,..., П1,, являющиеся аргументами функции Ф в соотношении (11.17), для таких процессов одинаковы. ЛЕКЦИЯ 12 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ Рассматриваемые системы характеризуются большим числом всевозможных параметров.

Это плотность р, векторы перемещений й и скорости о, тензоры напряжений Р, ~г, ~т и деформаций э, "~, е, массовые силы Г и поверхностные силы Я~"). Каждый из параметров имеет определенную тензорную природу и размерность. Среди параметров существуют так называемые основные (Е, .О, е, р и т. д.) и их потоки (т, Р, о, р и т.д.). Первые из них называются обобщенными перемещениями, а вторые — обобщенными силами. Связь между первыми и вторыми задается с помощью определяющих соотношений (см. лекцию 9).

При этом изменение работы внутренних сил записывается в виде дА® = — ~г~: ИГЛ', дА® = — о.;, де; Л', (12.1) или дА® = ррах — Л'. 1 р (12.2) Ъ' Ъ' Среди параметров системы существуют такие, которые полностью характеризуют состояние системы, т. е. зная их, можно вычислить все остальные параметры. Эти параметры называются термодинамическими параметрами состояния. Если определяющие соотношения модели связывают между собой термодинамические параметры состояния, то они называются уравнениями состояния среды. Для описания изменений параметров системы вводится понятие процесса. Это зависимость того или иного параметра от времени при некоторых условиях. Например, в упругой среде изменение со временем компонент тензора малых деформаций при постоянной температуре называется изотермическим процессом деформации.

Если изменяется со временем термодинамический параметр состояния, то говорят о термодинамическом процессе. В случае, Первый закон термодинамики если такой процесс начинается и заканчивается при одинаковых значениях параметра состояния, то он называется термодинамическим циклом. Большое значение имеет деление термодинамических процессов на обратимые и необратимые (14).

Обратимые могут протекать в любом направлении (значение параметров состояния остается прежним при замене 1 на — 1). Необратимые процессы протекают только в одном направлении и описывают выравнивание температуры, давления и т. п. В механике очень часто приходится иметь дело с неизотермическими процессами, т.е. с изменяемой со временем температурой, которая всегда считается термодинамическим параметром состояния.

Для изучения таких процессов придется рассмотреть основные законы феноменологической термодинамики. Будем считать, что понятие температуры интуитивно известно каждому читателю. Введем (также без строгого определения) понятие теплоты ф Первый закон термодинамики (он имеет много формулировок) утверждает, что теплота есть вид энергии. На основе закона сохранения энергии полная энергия будет состоять из суммы механической и тепловой энергий. Механическая энергия в статике упругого тела описывается потенциальной энергией деформации (10.42): ~(г) (12.3) Тогда полная энергия Е для неизотермического процесса должна иметь вид Е = р+ (~ = сопз1.

(12.4) Если же для рассматриваемой модели изменение работы внутренних сил не может выражаться полным дифференциалом, как это имеет место для упругой модели (10.41), то закон сохранения энергии естественно представить в дифференциальной форме Ы = — О®+ ~© (12.5) где Е называется внутренней энергией, которая зависит от температуры Т и других термодинамических параметров состояния (например, от некоторых тензоров р;, г = 1,2,...), Внутренняя энергия есть работа, которую надо совершить, чтобы перевести систему из одного состояния Т( ), р, в другое Т®, р, (о) 1 (!) Периодически действующее устройство для превращения тепла в работу — тепловая машина — может работать только Переь~й закон термодинамики 139 Используя последнее из соотношений (12.2) и принимая объем, по которому происходит интегрирование, конечным, но настолько малым, что внутри него величины р и р неизменны, получим оА® = ррЪ'с1 —. 1 (12.14) Р Учитывая первое соотношение (12.13), из которого следует, что 1 (12.15) Р имеем для совершенного газа М') =рЛ.