Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 16

Назовем величину А(') = — р = — И'(Л" (10.42) Ъ работой внутренних сил, а интегральный оператор р — потенциальной энергией деформаций. Для изотропного тела 2 — КО + рецепт Л~. 2 Ъ Пусть массовые и поверхностные силы не зависят от перемещений. Тогда изменение работы внешних сил (7.21) также есть полный дифференциал и согласно (7.17), (7.18) А(') = рЕ йЛ'+ У~) йоши:. (10.44) Ъ Е Таким образом, каждое слагаемое в (7.20) является полным дифференциалом, поэтому можно записать первый интеграл теоремы об энергии: К+ р — А(') = С, (10.45) Интегральный оператор,С называется полной энергией упругого тела или лагранжианом.

Он представляет собой константу 118 Декиия 10 д и; р,' = (Л+ р)и.,..+ рЬи;, д1 однородные граничные условия (йо = О, Уо — — 0) (10.46) хек: й=О, (10.47) ди, х б Е,: Ли~~Ц+р +иЦ =0 и однородные начальные условия (йо = О, йо = 0) 1=0: дй = О. (10.48) д1 Для рассматриваемой системы А('1 = 0 и из (10.45) и постоянства лагранжиана следует, что й=О, (~) + ~р(~) = ~~(0) + р(0). (10.49) Но кинетическая энергия К (7.16), зависящая лишь от скоростей, в силу (10.48) равна нулю при ~ = О, а при ~ ) 0 неотрицательна.

Потенциальная энергия р (10.43), зависящая от деформаций, также в силу (10.48) равна нулю при ~ = О, а при ~ ) 0 неотрицательна. Правая часть в (10.49) равна нулю, а следовательно, и левая часть этого равенства в любой момент 1 равна нулю, т.е. lС® = р® = О. Если упругие постоянные таковы, что квадратичная форма И'® положительно определена, то все скорости и деформации в теле равны нулю, или д — '/ д 'и (10.50) В случае второй краевой задачи равенства (10.50) и заключают в себе теорему единственности. В случае первой либо смешанной краевой задачи из (10.50) дополнительно следует, что -'! -'Ц интегрирования соотношения (7.20) и, следовательно, является постоянной по времени величиной. Пользуясь этим фактом, можно доказать теорему единственности решения динамической задачи теории упругости.

Действительно, предположим, что существует два решения й' и й" динамической задачи в перемещениях. Для разности этих решений й = й" — й' имеем однородную задачу, а именно: однородные уравнения Ламе (Г = 0) Простейшие модели твердых тел 119 Рассмотрим одну из простей- Я 1бок) 2 1 ших краевых задач статической М~ 1 л~' ' теории упругости: растяжение- — х ж, Х ~1 сжатие стержня (рис. 38). Пусть к торцам однородного стержня Рис. 38 с постоянным по длине круговым сечением площади 2.' приложена продольная сила Х = ХЙ1 на Х(1) и — Х = — Хк';1 на Х(2).

Внешние нормали Х® и Х(2) к обоим торцам и нормаль Х~б"') к свободной боковой поверхности имеют компоненты Л;~ = — ~Х = 41, Х1 = О, поэтому (1) (2) (бок) граничные условия (10.34) записываются следующим образом: х Е 2 ( ), х б 2 ( ): о'11 = — А1 (10.51) о12'~2 + О 131~13 Поскольку на всей поверхности стержня задается вектор напряжений, данная задача является второй краевой задачей. Решением уравнений равновесия (10.39) при отсутствии массовых сил, удовлетворяющим граничным условиям (10.51), будет, очевидно, поле напряжений Х ~т11 = — = о0 о'22 = азз = ог2 = о23 = о31 = О. (10 52) Этому полю напряжений согласно обратному закону Гука (10.25) соответствует поле деформаций 1'О 0 ~11 = в22 = ~33 = — 1~~11 в12 = ~23 = ~31 = О. Е' Е (10.53) Из (10.53) выведем механический смысл технических постоянных Е и и.

Модуль Юнга Е есть коэффициент пропорциональности между растягивающим (сжимающим) напряжением о0 и продольной деформацией ~11 при одномерном растяжении— сжатии стержня. Коэффициент Пуассона и, взятый со знаком "минус", есть коэффициент пропорциональности между поперечной к22 и продольной в11 деформациями при одномер- — Ф ном растяжении — сжатии стержня. Если сила Х растягивающая (Х ) 0), то из физических соображений ясно, что стержень удлиняется, т.е. ~11 ) О, а если сжимающая (Х ( 0), то стержень укорачивается, т.е.

з11 ( О. Таким образом, модуль Юнга — величина положительная, неравенства (10.30) для реальных Простейшие модели твердых тел Б.Е. Победря создал новую постановку задачи в напряжениях, которая лучше приспособлена для использования численных методов 140]. В ней для разыскания шести независимых компонент тензора напряжений решается шесть обобщенных уравнений совместности.

При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть: к трем условиям (10.5б) добавляются три уравнения равновесия, перенесенные на границу области Х. Не будем здесь останавливаться на подробном анализе "новой" постановки задачи теории упругости в напряженияк, ее преимуществе при численных решениях, направляя читателя к монографии 144]. Заметим только, что в литературе давно предпринимались попытки сократить число независимых дифференциальных уравнений совместности в напряжениях с шести до трех. К сожалению, такие попытки предпринимаются и теперь.

В 19] приведены контрпримеры, демонстрирующие, что при таком сокращении нарушается корректность постановки задачи в напряжениях. Итак, для односвязного тела в трехмерном евклидовом пространстве существует шесть функционально независимых дифференциальных уравнений совместности деформаций (а значит, и напряжений) для существования однозначного поля перемещений. Этот чисто геометрический факт и связан он с тем, что тензор кривизны Римана 148] в трехмерном пространстве имеет шесть независимых компонент.

До сих пор в этой лекции изучалась линейная упругая среда и использовались для этого малые деформации. Рассмотрим теперь модель нелинейной упругой среды [12, 27, 34, 64], примером которой могут служить резина и некоторые другие эластомеры. Термин "геометрическая нелинейность" означает, что неравенство (5.1) не имеет места, а значит, деформации связаны с перемещениями не соотношениями Коши (5.5), а общими нелинейными соотношениями (4.10). В МСС существует и другое понятие — "физическая нелинейность", означающее, что определяющие соотношения среды, в отличие от (10.3) и (10.12), представляют собой нелинейные тензор-функции или функционалы.

Выберем отсчетную конфигурацию с базисом недеформированного состояния е, и вспомним уравнения движения сплошной среды (7.25) в отсчетной конфигурации. Напряженное состояние характеризуется тензором напряжений Пиолы ~г (7.28). Сплош- 122 Лекиия 10 ная среда называется упругой, если существует скалярный потенциал деформаций И"(Г), такой что (10.57) Тогда изменение работы внутренних сил (7.45) записывается следующим образом: дА(0 = — оР~ т: ГсЛо = — .4ЕЛ<о —— т.. ОИ дЕ 1'о 1'о — с1И'сЛ о = — с~ И'сЛ о = — <Йр, (10.58) и, следовательно, 1(1) (10.59) где интегральный оператор оо, как и в линейном случае (10.42), носит название потенциальной энергии деформации. Упругая среда считается заданной, если известен потенциал И'®.

В качестве меры деформации удобнее выбрать не Г, а правый тензор Коши — Грина (4.22), являющийся симметричным. Образуем новый скалярный потенциал И"(С): И'(Е) = И'(С) = И'(А1, У2, 1з), (10.б0) где 11, 12, 1з — инварианты (4.50) тензора С. ЛЕКЦИЯ 11 РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Физические величины, рассматриваемые в механике, различаются не только своей геометрической структурой (скаляры, векторы, тензоры второго ранга и т.п.), но и "наименованием".

Некоторые из них безразмерны (угол в радианах, компоненты тензора деформаций), другие имеют размерность. Например, плотность р можно измерять в г/см, можно в кг/м, а можно з з и в кГ с2/см4. Очевидно, что первые две размерности различаются между собой только величиной: масштабом массы (1 кг = 1000 г) и масштабом длины (1 м = 100 см). Третья же размерность отличается от первых двух своей природой.

В ней участвуют сила, время и длина. Таким образом, размерности физических величин связаны с комбинациями единиц измерения — эталонных масштабов, служащих для измерения. Можно выбрать основные масштабы, или основные единицы измерения. Тогда другие единицы будут производными. Если какую-то производную единицу нельзя выразить в системе основных, то система не является полной.

В задачах механики в качестве основных единиц часто выбирают единицы измерения ЛХ, Л, Т соответственно для массы (т), длины ® и времени ® ') . В абсолютной физической системе (СГС) ими являются грамм, сантиметр и секунда, а в Международной системе (СИ) — килограмм, метр и секунда. Основные единицы измерения считаются эталонными и выбираются по договоренности.

Так, договорились считать 1/31556925,9747 тропического года, рассчитанную для 1900 г., эталоном времени и назвать одной секундой, а 1650763,73 длины волн излучения в вакууме атома криптона-86 эталоном длины и назвать одним метром. Назовем классом систем единиц измерения совокупность систем единиц измерения, различающихся между собой только величиной, но не природой основных единиц измерения. Так системы ') Хотя при рассмотрении "сложных" моделей данная система может оказаться неполной. Лекиия 11 СГС и СИ принадлежат одному классу, называемому ~МХТ).

Именно к этим системам относится приведенный пример с двумя первыми размерностями плотности Р. В другой известный класс (ГХ,Т) входят системы, где основными служат единицы измерения силы, длины и времени. К этому классу относится третья размерность плотности р в примере. Размерностью (Х1' физической величины Х называется функция, определяющая, во сколько раз изменяется численное значение этой величины Х при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса. Безразмерными же будут величины, численные значения которых одинаковы во всех системах единиц измерения данного класса. Выберем в классе (МХТ) две системы единиц измерения и выразим размерность ~Х] физической величины Х в этих системах. Согласно определению размерности Х1'Р(и! Х'1 Т1) Х2Р(М2 ~~21Т2)1 (11 1) (м,х,,т~ ~!'Р~и 'х, 'т / (11.2) Сравнивая (11.1) с (11.2), получим функциональное урав- нение М, Л, т,~, Р(М1,Х,1,Т1) Л'Х2 Ь2 Т2 ! ~Р(ЛХ2, Ь2, Т2) (1 1.3) Для его решения продифференцируем обе части (11.3) по ЛХ! и положим после этого ЛХ! =ЛХ2=М, Е1=Е2=Х, Т! =Т2=Т: (1, 1, 1) = (М, Х,,Т).