Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды, страница 15

существует скалярный потенциал деформаций И1(е), 1 И~ = — С; ц1еце,,, 2 (10.4) такой что 1 дИ' дИ' дИ1 <Т~пп — 2 д +д, или о = етп епт (10.5) Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем 1 де1п дец 2 Су11 еч+ еИ '-~епиъ детп де,„п де., „'~ де„„п де 1 = — Сг1и 4 1 ~~уы — (АЙ~~11+ ~й~уй) ° 2 Легко проверить, что (10.6) (10.7) да1н дац1 для любого тензора второго ранга а. Из определения (10.6) кроме того следует, что для любого симметричного по первым и последним двум индексам тензора четвертого ранга А справедливы 1 1 1 = — Сии(2~и „, ц+2А, и) = — Сц„пе;, + — С нем, где Ь = Ь, уК З 1с З И~ З К вЂ” единичный тензор четвертого ранга с компонентами 112 Лекиия 10 соотношения Ауы~ытп = 1~~уи ~ытп = 1утп или А Д = ф А = А (10.8) т. е. тензор Ь в самом деле является единичным.

Из (10.4) следует, что тензор модулей упругости перестановочен еще и по парам индексов. Эта перестановочность эквивалентна равенству смешанных производных от И' по ~, и ~1,!. С1,и —, ' —, — — — Син,, (10 9) д~и д~иде: д~ д~и д~1, (10.10) С~у = С~!!! = С~д = Сад. Подсчитаем, сколько независимых компонент в Кз имеет тензор модулей упругости, обладающий симметрией (10.10).

В общем случае в Кз тензор четвертого ранга имеет 34 = 81 независимую компоненту. Поэтому для наглядности на плоскости набор этих компонент можно формально представить в виде матрицы 9 х 9: В силу того что С, 1,.! = С1;ц, последние три строки матрицы совпадают соответственно с ее четвертой, пятой и шестой строками, а в силу того что С; !,! = С; 1!,, последние три столбца матрицы совпадают с ее четвертым, пятым и шестым столбцами. Следовательно, независимыми будут элементы, составляющие лишь верхний левый минор 6 х 6. Наконец, условие С; 1,! = С1,1, означает, что этот минор симметричен относительно главной диагонали. Симметричная же матрица шестого порядка имеет 6 (6+ 1)/2 = 21 независимую компоненту, Рассуждая аналогично, нетрудно установить, что в К~ тензор модулей упругости С имеет шесть независимых компонент.

С!!!! С1!22 С!гзз С2211 С2222 С2233 СЗЗ!1 С3322 СЗЗЗЗ С1 211 С1222 С!233 С2311 С2322 С2333 С31! ! Сз!22 Сзгзз С2111 С2122 С2133 С32! 1 С3222 С3233 С1 311 С1 322 С!333 С2212 С2223 С2231 С3312 С3323 С3331 С1212 С1 223 С1 23! С2312 С2323 С2331 Сз!!2 Сзгаз Сз!з! С2112 С2123 С2131 С32! 2 С3223 С3231 С!зг2 С!з2з С!зз! С1 121 С1132 С1113 С2221 С2232 С2213 С3321 С3332 С3313 С!221 С1232 С1213 С2321 С2332 С2313 Сз!21 С3132 СЗ!13 С2121 С2132 С2113 С3221 С3232 С32! 3 Сг32! Сг332 Сг31з Простейшие модели твердых тел Обратный закон Гука, т.

е. тензор-функция, обратная к (10.3), записывается в виде = Л, цоц, или =,У: сг, (10.12) — > — > где 7 = 3, ЫИ, З К ®4, З К~ — тензор упругих податливостей. Тензоры четвертого ранга С и,У взаимообратны, т. е. Стт'Ы 7цттттт = 7тт"ЫСцттттт = т~ттт'птп С: 7 =,7: С = Ь. (10.13) потенциал напряже- Аналогично (10.4) введем скалярный ний и~®: 1 то = — ~ццоцстт, 2 (10.14) такой что 1 дат дто дно тйи 2 д о, ~ о, (10.15) Тогда типы симметрии тензоров,7 и С совпадают: ~уц = ~~тц = ~цИс = 7цу'. (10.1б) Отметим, что объекты С и 1 являются материальными функциями (в данном случае материальными тензор-константами) определяющих соотношений (10.3), (10.12). Если упругая среда изотропна, то компоненты С; ц представимы в виде линейной комбинации всевозможных сверток символов Кронекера 13б~: С;~ы = Л6т;6ы+ Р6;т,6,т + Р'об,т,.

(10.17) С учетом симметрии (10.10) необходимо в (10.17) положить р = = р', так что компоненты тензора модулей упругости для изотропной среды имеют вид 8 Б.В. Победри, Д.В. Георгиевский С; ц = Лбцбц+ р(6д,6 ~ + 6н6 Д = Л6, 6ц + 2рЬ( ы. (10.18) Подставим выражения (10.18) в (10.3) и получим закон Гука для изотропного материала: о., = Л06; +2ре,,, (10.19) где 0 — дилатация (5.23). Коэффициенты Л и р, называемые постоянными Ламе, представляют собой независимые материальные константы определяющих соотношений (10.19) изотропного упругого тела. Декиия 10 Разобьем тензоры деформаций и напряжений на шаровые части и девиаторы (см.

(5.25)): 1 его = 0~гу + ег~, ог~ = оА~ + зги, (10.20) 0 = -ц„ст = — ст~~, е~~ = О, эу,~ = О. Умножая обе части (10.19) на д;~, получим связь шаровых частей: а= Л+ 0:— К0, где постоянная К вЂ” модуль объемного растяжения — сжатия. Умножая далее обе части равенства (10.21) на о, и вычитая из (10.19), получим связь девиаторов э и е: з,.

=2ре; . (10.22) Постоянную Ламе р называют также модулем сдвига. Подставляя в (10.20) выражения 0 из (10.21) и е, из (10.22), получим о 1 1 ЗЛ его = дтпл + — эту = о~гу + огу ° (10.23) ЗК 2р 2и ЗЛ+2р Введем вместо Л и р так называемые технические постоян- ные: Š— модуль Юнга и и — коэффиииент Пуассона, из соотношений (10.21) Л =, р = . (10.24) (1+ и)(1 — 2и) ™ 2(1+ и) В конце этой лекции будет выявлен механический смысл упругих постоянных Е и и.

Пока же отметим, что для встречающихся в природе изотропных упругих сред коэффициент Пуассона меняется в интервале от 0 до 1/2. Подставим (10.24) в (10.23) и после преобразований придем к обратному закону Гука для изотропного материала: е;~ = — ( — Злобу+ (1+ и)оц1.

1 (10.25) Заметим, что из пяти уже введенных упругих постоянных — Л, и, К, Е, и — в качестве независимых можно выбрать любые две. Выражения для трех остальных следуют из формул (10.21) и (10.24). Найдем вид скалярных потенциалов И'(г) (10.4) и ш(ст) (10.14) для изотропной среды. Пользуясь соотношениями (10.19) 115 Простейшие модели твердых тел и (10.25), запишем 2 И" = — (ЛОд;, +2Р~,1)~,, = — ЛО + Р~;Р,~ = 2 2 = — КО + ре1,его> (10 2б) 2 1 2 и~ = о,. ( — 3иа6у+ (1+ и)о,Д = — о + 1+ ~ 3(1 — 2~) 2 1+ ~ + о.цо, = о.2+ ц з, .

(10.27) Из (10.26) следует, что условия положительной определенности квадратичной формы И'(Д следующие: ~>0, ~>0, (10.28) а из (10.27) видно, что квадратичная форма и (ст) положительно определена в каждом из двух следующих случаев: Е>0, — 1<~ < —. 1 2 (10.29) либо Е < О, и б ( — схз; — 1)11 —; +ос . (10.30) 1 С учетом ранее сделанного замечания о значениях коэффициента Пуассона для реальных материалов (О < и < 1/2) можно утверждать, что из систем (10.29), (10.30) физически реализуется только первая. Так как р = Е/~2(1+ и)~, К = Е/(3(1 — 2и)~, то условия (10.28) совпадают с объединением условий (10.29), (10.30).

Это естественно, поскольку, как следует из (10.3), (10.4) и (10.12), (10.14), И~® = ш(о.) для любого напряженно- деформированного состояния в упругом теле. Итак, шесть определяющих соотношений линейного упругого материала — (10.3) либо (10.12), а в случае изотропии — (10.19) либо (10.25), замыкают систему (10.2), (5.5) пятнадцати уравнений в области Ъ", О начальных и граничных условиях уже говорилось в предыдущей лекции. В отличие от (9.27), теперь надо задавать и перемещения, и скорости частиц в начальный момент времени: ~ = 0: й = йо(х), = 7о(х). (10.31) д1 Это вызвано тем, что уравнения (10.2) имеют второй порядок по времени.

Граничные же условия на кинематической Х„ и 116 Лекция 10 х ~ Е~: й = йо(К ~). х ~ Е,: Ь(") = 5о(х,~). (10.32) (10.33) В компонентах векторное условие (10.33) имеет вид ~ ~ ~я: ау'Ц = 50г(~ ~) (10.34) Как и ранее, если 2,'„= 2.', то задача называется первой краевой, если Е, = 2.', то второй краевой, если Х, ~ Я и Е, ~ Я вЂ” то смешанной. Подставим соотношения Коши (5.5) в (10.19): ого = ЛЩе,ау + р(У"Ц + Ц,1) (10.35) а затем (10.35) — в уравнения движения (10.2). В результате получим уравнения Лале движения изотропного упругого тела [5]: д и; р ' = (Л+ р)и д, + рЬи, +рГ; (10.36) д~2 Их можно написать и в векторной форме дй р = (Л+ и) дгаг1 Йчй+ рЬй+ рР.

д1 Для записи статических граничных условий (10.34) в терминах перемещений подставим в них выражения (10.35): ~ ~ 2 в: ЛииЯ~г'+ Р + 'Ц,Л~ = ~от(~ г) (10.38) Таким образом, начально-краевая задача теории упругости в перемещениях состоит в решении трех уравнений Ламе (10.36) при выполнении начальных условий (10.31) и граничных условий (10.32), (10.38).

Если изучается не движение, а состояние покоя тела в поле внешних сил, т. е. (дй/д~)(х, Х) = О, то вместо уравнений движения записываются уравнения равновесия с; .+рР';=О, (10.39) а вместо динамических уравнений Ламе (10.36) — статические уравнения (10.37) (Л+ р)и~,~'г'+ Р~иг + Р~1 = О. (10.40) статической Е, частях поверхности 2,' = дЪ' записываются по аналогии с (9.55), (9.56): Простейшие модели твердых тел (10.43) Начальных условий (10.31) уже задавать не требуется.

Соответствующие краевые задачи (10.39), (5.5), (10.19), (10.32), (10.34) и (10.40), (10.32), (10.38) называются статическими задачами теории упругости. Если массовые и поверхностные силы зависят от времени столь незначительно, что силами инерции (правыми частями уравнений (10.2) и (10.3б)) можно пренебречь, то говорят о квазистатике и квазистатических задачах теории упругости. Обратимся теперь к интегральному равенству (7.20), выражающему теорему живых сил, или теорему об энергии в МСС. Для изотропной упругой среды изменение работы внутренних сил (7.19) имеет вид дА ' = — ст, е, (Л1 = — ец сЛ~' = (1) дег1 — ~1т Д = — д И1 Л1 = — — ар (10.41) Ъ Ъ и является полным дифференциалом.