Lapina_pract_2 (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина), страница 6

Некоторое распределение зарядов создаёт электростатическое поле, потенциал которогозависит только от координаты x так, как это представлено на рис. 2.4 а, б.1. Начертить график зависимости проекции силы Fx, с которой поле действует на протон, откоординаты x протона.2. Как будет изменяться сила, с которой поле действует на протон, при приближении d к нулю?3.

Какие распределения зарядов позволяют получить такие поля?Бесконечно широкий Потенциальный барьерпотенциальный барьерконечной шириныа)б)Рис. 2.42.25. Каковы энергия и скорость электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциаловU = 300 В?2.26. Две параллельные пластины, расстояние между которыми l = 10 см, имеют равныеразноименные, равномерно распределенные заряды (плоский конденсатор).

В середину междуними, параллельно им, влетает пучок электронов, прошедших ускоряющее электрическое поле сразностью потенциалов U0 = 500 В. Какую минимальную разность потенциалов надо создать междупластинами, чтобы электроны не вылетели из пространства между ними? Длина пластин b = 5 см.23ОтветыQ21  Q12.1.

1. а) φ ( x , y ) = −=50 кВ ;12224πε0  x + y x + x 2 + y2  2 Q 1  Q1б) φ ( x ,0=− 2 = 4,4 кВ ; x = –0,24 м.)4πε0  x1 x − x2 2. См. рис. 2.5.()zРис. 2.5=φ2.2.φ2.3.=Рис. 2.6Ql ln  1 +  .4πε0l x0 τ a l 1 +  ln  1 + =− 1 16 В .4πε0 l a  Q= 8 кВ .4πε0r2. Не изменится.2.4. =1. φ2.5. 1. φ ( z ) =Q4πε0 r + z2, Ez ( z ) =22. Не изменится.Q2.6. 1. φ ( z ) =.4πε0 r 2 + z 22.

См. рис. 2.6.Qz3. E z ( z ) =.324πε0 r 2 + z 2(Qz(4πε0 r 2 + z 2)32.)4. Ничего не изменится.2.7. 1. а) φ ( x ,0) =φ ( x ,0) = −(Ql4πε0 x 2 − l 2 4(Ql4πε0 x 2 − l 2 4)), x ≥ l/2;, x ≤ –l/2;24φ ( x ,0) =Q x(2πε0 l 2 4 − x 2), –l/2 ≤ x ≤ l/2;ось x направлена вдоль дипольного момента.б) φ ( 0, y ) = 0 .2. См. рис. 2.7.Рис. 2.7(Рис.

2.8)σr 2 + z2 − z ,2ε0а) φ = 510 В;б) φ = 90 В.2. Указание: по формуле Тейлора 1 + x =1 + x 2 при малых x.3. См. рис. 2.8.Q2.9. =1. φ = 54 кВ .4πε0r2. Не изменится.2.8. 1. φ=(z)Q 1 1−21 кВ .2.10. 1. φ ( r1 ) = 0 , φ ( r2 ) =  −  =4πε0  r2 r0 2. См.

рис. 2.9, кривая а.QQ3. =φ ( r1 ) = 30 кВ , =φ ( r2 ) = 9 кВ , см. рис. 2.9, кривая б.4πε0r04πε0r22.11.φ (r ) =rτln 0 ;2πε0 rа) φ ( r1 ) = 8,0 кВ , φ ( r2 ) = −3,7 кВ ;б) φ ( r1 ) = 24 кВ , φ ( r2 ) = 13 кВ .25Рис. 2.92.12. 1. φ ( r1 ) = 0 , φ ( r2 ) =Рис. 2.10σr0 r0ln = −24 кВ .ε0r2. См. рис. 2.10.3. Нельзя.σx2.13.; φ ( x1 ) = −67 В ; φ ( x2 ) = −34 В .φ( x ) = −2ε0ρr02  r 1 ρr 2−2.14. 1. φ ( r ) = −, r ≤ r0; φ ( r ) = ln +  , r ≥ r0.2ε0  r0 2 4ε02. См. рис.

2.11.3. Нельзя.ρr02  33+ ln = 23 кВ .4. φ ( r0 2) − φ (3r0 2)=2ε0  82Рис. 2.11Рис. 2.12ρx 2ρd d, |x| ≤ d/2; φ ( x ) =−x −  , |x| ≥ d/2.2ε02ε0 42. См. рис. 2.12.3. Нельзя.7 ρd 2=15 В .4. φ ( d 4 ) − φ (3d 4 ) =32 ε02.15. 1.

φ ( x ) = −ρr 3ρ3r02 − r 2 , r ≤ r0; φ ( r ) = 0 , r ≥ r0.3ε0r6ε02. См. рис. 2.13.2.16. 1.=φ (r )()260)3. φ (=ρr02= 34 В .2ε0ϕ, В30201001Рис. 2.131 Q Q Q + Q2−3,0 кВ ; φ ( r4 ) = 12.17. 1. φ ( r3 ) =  1 + 2  == −3,6 кВ , |x| ≥ d/2.4πε0  r3 r2 4πε0r41  Q1 Q2  += 0.4πε0  r1 r2 3. См. рис.

2.14.r1 )2. φ (=Рис. 2.144. См. рис. 2.15.2.18. 1. φ ( r=)1  2 1 2ρr1 − ρr + 2σr2  , r ≤ r1, φ ( r3 ) = −19 кВ , φ ( r4 ) = −18 кВ ;2ε0 3ρr13 σr2+, r1 ≤ r ≤ r2, φ ( r5 ) = −3,4 кВ ;3ε0r ε01=φ (r )( ρr13 + 2σr22 ) , r ≥ r2, φ ( r6 ) = 2,7 кВ .3εr02. См. рис. 2.16.φ=(r )27Рис. 2.155Er,10 В/м2-2-4-6Рис. 2.162.19.φ (r ) =QQ, r ≤ r0; φ ( r ) =, r ≥ r0.4πε0r4πε0r0a( σ1 − σ2 ) ,2ε0а) U = –3,4 В;б) U = 0;в) U = 6,8 В;г) U = 10 В.2.

См. рис. 2.17; φ = 0 на левой пластине потенциал левой пластины с плотностью заряда σ1.dd2.21. 1. =U12,3 В ; =U27 В.( σ1 − σ2 − σ=( σ1 + σ2 − σ=3)3)2ε02ε02. См. рис. 2.18, φ = 0 на левой пластине потенциал левой пластины с плотностью заряда σ1.τ r2.22.grad φ =10 В м .−=2πε0 r 22.20.=1. U2.23. 1. а) E x = −a ;б) E x = ax .2.

а) Равномерно заряженная плоскость;б) объёмный заряд постоянной плотности.3. а) [a] = В/м, [c] = В;б) [a] = В/м2, [c] = В.28Рис. 2.17Fx0Рис. 2.18Рис. 2.192.24. 1. См. рис. 2.19.2. Fx → 0.3. а) Заряженный плоский конденсатор;б) две большие параллельные плоскости с одинаковыми (по знаку и модулю) зарядами.2.25.vW= eU= 300 эВ= 4,8 ⋅ 10−17 Дж ; =U12.26.

=2=U l 2 40 В .2 0b2eU m=1,0 ⋅ 107 м с .e293. Электростатическое поле в веществеПри равновесии зарядов на проводнике и при внесении проводников в электростатическое поленапряжённость поля внутри проводника равна нулю, а потенциалы всех точек проводника равны (см.пример 3.1).В диэлектриках, находящихся в электростатическом поле, напряжённость может быть найдена поизвестным значениям электрического смещения D . Если конфигурация зарядов, создающихэлектрическое поле, обладает симметрией, то для нахождения электрического смещения Dиспользуют обобщённую теорему Гаусса (см.

пример 3.2).Примеры решения задачПример 3.1Внутри металлического шара имеется асимметрично расположенная сферическая полость, в центрекоторой находится точечный заряд Q = l,2 ·10–8 Кл (рис. 3.1). Найти напряжённость и потенциалэлектрического поля вне шара на расстоянии r0 = 10 мм от его центра. Как изменится распределениезарядов, если шар соединить с Землёй?Рис. 3.1Так как шар металлический, то на его внутренней и внешней поверхностях возникнутиндуцированные заряды Q1 и Q2, вследствие чего напряжённость результирующего поля в толщешара станет равной нулю.Для нахождения заряда Q1 используем теорему Гаусса. Вспомогательную поверхность S1 проведём втолще металла, где E = 0 (рис.

3.1):  Q + Q12=EdS=0 , следовательно, Q1 = –Q.S∫ε0( 1)Согласно закону сохранения заряда Q1 + Q2 = 0 (так как металлический шар не был заряжен),получим Q2 = –Q1. Заряды Q1 и Q2 распределяются по поверхностям полости шара равномерно, таккак заряд Q находится в центре полости, а поверхности сферические. Для нахождениянапряжённости проведём вспомогательную поверхность S2 через точку, в которой найдём E и,используя теорему Гаусса  Q + Q + Q12,EdSEcos, dS =S∫ rε02( )получимQ=11 кВ м .4πε0r02Выбирая потенциал, равный нулю, в бесконечности, потенциал в точке r = r0 находим по формуле=E ( r0 )φ=( r0 )∞∞QdrE dr ∫ =∫=4πε rrr0002Q= 11 кВ .4πε0r030При соединении шара с Землёй заряд на внешней поверхности шара исчезнет, так как свободныеэлектроны Земли нейтрализуют заряд шара Q. Потенциал шара будет равен потенциалу Земли(обычно φЗ = 0).

Внутри полости поле останется прежним.Пример 3.2Большой* плоский слой толщиной d из изотропного диэлектрика с относительной диэлектрическойпроницаемостью ε заряжен с постоянной объёмной плотностью ρ. Найти напряжённостьэлектростатического поля внутри и вне слоя.Напряжённость электростатического поля E ( A ) в точке A в присутствии изотропного диэлектрикаможет быть найдена по известным значениям электрического смещения D ( A ) в той же точке:D ( A)E ( A) =,ε ( A ) ε0где запись ε(A) подчёркивает, что значение диэлектрической проницаемости берётся в той же точкеA. Пользуясь симметрией заряда, найдем D ( A ) с помощью обобщённой теоремы Гаусса свобDdS∫ = Qохв .

Введём ось x, направленную перпендикулярно поверхности слоя с началом на среднейплоскости слоя, которая показана на рис. 3.2 штриховой линией.D, EdSРис. 3.2Свободный заряд, создающий поле, обладает плоской симметрией – объёмная плотность заряда ρзависит только от значений x, не зависит от положения точки в плоскости, параллельной поверхностислоя, и значенияρ(x) одинаковы при отражении в средней плоскости ρ(x) = ρ(–x). Электрическоесмещение D имеет составляющую только вдоль оси x: D = Dx(x).

Вычислим поток D сквозьповерхность цилиндра с основаниями Sосн, параллельными поверхностям слоя (рис. 3.2, на нём такжепоказаны векторы внешней нормали dS ): πDdS∫ =по ∫S DdS cos 2 + 2по ∫S DdS cos0 =2Dx ( x ) Sосн ,бокоснсвобQохв. Свободный заряд,так как во всех точках основания Dx(x) равны. По теореме Гаусса Dx =2S оснсвобохваченный поверхностью интегрирования, зависит от координаты x: Qохв= ρVзар , где Vзар – объём,свобсодержащий Qохв, на рис. 3.2 он показан сплошной штриховкой, Sосн взяты разные для наглядности.При x ≤ d/2 Vзар = 2xSосн, при x ≥ d/2 Vзар = Sоснd. Итак,ρVзар  ρx , − d 2 ≤ x ≤ d 2 ( внутри слоя ) ;= x ≥ d 2 ( вне слоя ) .2S осн  ρd 2,График Dx(x) имеет вид, приведённый на рис.

3.3 а. Найдём теперь E . Так как диэлектрик изотропный, E ↑↑ D , т. е. E = E x – силовые линии направлены параллельно оси x. Ex зависит толькоD=x (x)31от x. Внутри слоя E x ( x ) =ε = 2).ρxρd, вне слоя E x ( x ) =. График Ex(x) приведён на рис. 3.3 б (на рисункеε0ε2ε0Рис. 3.3Отметим, что на границе диэлектрика Dx изменяется непрерывно, а Ex терпит разрыв, чтообусловлено возникновением поляризационного заряда. Зная распределение E(x), можно найтираспределение потенциала (например, как в примере 2.2), найти силы взаимодействия объёмногозаряда с другими зарядами.Задачи3.1. В однородное электрическое поле помещён металлический шар.1.

Проведите силовые линии и эквипотенциальные поверхности внутри и вне проводника.2. Представьте себе, что индуцированные заряды проводника "заморожены", после чего первичноеэлектрическое поле выключено. Как будет выглядеть остаточное электрическое поле внутри и внепроводника?3.2. Два уединённых металлических шарика радиусами r1 и r2, имеющие одинаковые заряды Q,соединяются длинной проволокой (зарядом на ней можно пренебречь).1. Найти заряды на шариках после соединения.2. Каковы заряды на шариках, если меньший из них после соединения окружить металлическойзаземлённой сферой радиусом r3 (r3 = r1)?3.3.

Точечный заряд Q > 0 расположен на расстоянии h от большой* проводящей плоскости.1. Нарисовать силовые линии поля и найти силу, с которой плоскость действует на заряд Q.2. Найти напряжённость электрического поля в точке C, равноотстоящей от плоскости и от заряда Qна расстояние h.3. Рассчитать напряжённость электрического поля в симметричной точке C', расположенной подругую сторону плоскости.4. Найти работу A' внешних сил, совершаемую при перемещении заряда Q в бесконечность.3.4. Прямой длинный* провод, равномерно заряженный с линейной плотностью τ = 4,8·10–12 Кл/мнатянут параллельно земной поверхности на высоте h = 5 м.1. Чему равна напряжённость поля у поверхности Земли непосредственно под проводом?2. Найти величину электрической силы, с которой поле действует на единицу длины провода.Собственным полем Земли пренебречь.3.5.