Lapina_pract_2 (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина), страница 9

С помощью теоремы Гаусса получаемQrQ; r ≥ r0, E r =.r ≤ r0, E r =34πε0r04πε0r 2Элементарный объём dV должен быть выбран так, чтобы в его пределах плотность энергии, аследовательно, и E, оставались постоянными. Такимтребованиям в данном случае удовлетворяет очень тонкийполый шар,концентричный с шаровым зарядом и ограниченный сферамирадиусов rи r + dr (рис. 4.2, объём dV показан штриховкой). Его объёмравен4радиуса наприращению dV объёма шара V = πr 3 при изменении3dr:4 3Рис.

4.22=dV d= 3 πr  4πr dr .Подставляя полученные значения E = |Er| и dV, получим для энергии поля W1 внутри шара (приинтегрировании по объёму шара r изменяется от 0 до r0)2rε0 0  Qr Q22.=W1 =wdV=πrdr4∫2 ∫0  4πε0r03 40πε0r0по VЭнергия поля W2 вне шара (при этом r изменяется от 0 до ∞) равна2Задачиε0 ∞  Q Q22.W2 == 4πr dr2 r∫0  4πε0r 2 8πε0r04.1. Чему равна ёмкость земного шара? Его радиус rЗ = 6,4·106 м.4.2. На два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями C1 = 100 пФ и C2 = 200 пФ поданапостоянная разность потенциалов U = 300 В.1. Найти разности потенциалов U1 и U2 на конденсаторах и их заряды.2.

Какова ёмкость системы?4.3. Конденсатор ёмкостью C1 = 100 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 90 В. Конденсаторотключают от источника и соединяют параллельно с другим конденсатором, незаряженным.Конечная разность потенциалов на конденсаторах U2 = 30 В.1. Найти ёмкость второго конденсатора.2. Найти изменение энергии системы.4.4. Конденсатор ёмкостью C1 = 0,20 мкФ, заряженный до разности потенциалов U1 = 320 В,соединили параллельно с конденсатором, заряженным до разности потенциалов U2 = 450 В. Послеэтого на батарее конденсаторов установилась разность потенциалов U = 400 В. Найти ёмкостьвторого конденсатора.4.5. Вывести формулу для ёмкости плоского конденсатора, площадь пластин которого равна S, арасстояние между ними – d.

Краевыми эффектами пренебречь. Рассчитать значение ёмкости приS = 200 см2, d = 5 мм.424.6. Вывести формулу для ёмкости сферического конденсатора, радиус внутренней обкладкикоторого равен r1, а внешней – r2.1. Рассчитать значения ёмкости при r1 = 15 см, r2 = 30 см.2. Показать, что ёмкость тонкого сферического конденсатора (т. е. с малым расстоянием междуобкладками) можно вычислять по формуле ёмкости плоского конденсатора.4.7. Вывести формулу для ёмкости цилиндрического конденсатора длиной l, радиусом внутреннейобкладки r1, внешней – r2. Концевыми эффектами пренебречь.1. Рассчитать значение ёмкости при l = 10 м, r1 = 2,0 мм, r2 = 1,0 см.2.

Показать, что ёмкость тонкого цилиндрического конденсатора (т. е. с малым расстоянием междуобкладками) можно вычислять по формуле ёмкости плоского конденсатора.4.8. Плоский воздушный конденсатор подключён к источнику с постоянной ЭДС E = 300 В. Пластиныконденсатора сближаются с постоянной скоростью v = 1,0 мм/с.1. Какой ток будет идти по подводящим проводам в тот момент, когда расстояние междупластинами x = 2,0 мм? Площадь каждой пластины S = 400 см2. Разность потенциалов на обкладкахконденсатора все время считать постоянной и равной E.2. Какую силу надо приложить к движущейся пластине, чтобы её скорость оставалась постоянной?3.

Чему равна эта сила при x = 2,0 мм?4.9. Найти ёмкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твёрдым диэлектриком, еслиграница диэлектрик-воздух перпендикулярна пластинам конденсатора. Расстояние междуобкладками d = 4,0 мм, площадь пластин S = 300 см2, относительная диэлектрическая проницаемостьε = 7.

Искажением поля у краёв пластин конденсатора пренебречь.4.10. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 600 В,находятся два слоя диэлектриков: стекло (ε1 = 7) толщиной d1 = 7,0 мм и эбонит (ε2 = 3,0) толщинойd2 = 3,0 мм. Площадь каждой пластины конденсатора S = 400 см2. Найти: 1) ёмкость конденсатора; 2)величины электрического смещения и напряжённости поля в каждом слое; 3) плотность энергииэлектрического поля в каждом из диэлектриков.4.11. Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 3,0 см; r1 = 9,0 см.

Пространство междуобкладками заполнено двумя концентрично расположенными слоями диэлектрика толщинойΔ = 3,0 см каждый. Относительная диэлектрическая проницаемость первого слоя, прилегающего квнутренней обкладке конденсатора, ε1 = 4, диэлектрическая проницаемость второго слоя ε2 = 6.Найти ёмкость конденсатора.4.12.

Коаксиальный кабель состоит из центральной жилы радиуса r1 = 2,0 мм и оплётки радиусомr2 = 10 мм. Пространство между ними заполнено двумя слоями диэлектрика. Относительнаядиэлектрическая проницаемость первого слоя, примыкающего к жиле, ε1 = 4, диэлектрическаяпроницаемость второго слоя ε2 = 7.

Радиус границы раздела r0 = 5,0 мм. Найти ёмкость кабеля наединицу его длины.4.13. Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 3,0 см; r2 = 5,0 см. Пространство междуобкладками заполнено наполовину парафином. Границу диэлектрик-воздух можно считать плоскойи искривлением силовых линий на границе пренебречь. Относительная диэлектрическаяпроницаемость парафина ε = 2,0. Рассчитать ёмкость конденсатора.4.14. В плоский конденсатор ёмкостью C0, заряженный до разности потенциалов U0, вводятпараллельно его обкладкам медную пластину той же площади, что и обкладки.

Толщина пластины вn раз меньше начального расстояния между обкладками.1. Найти изменение ёмкости конденсатора.2. Найти изменение энергии конденсатора в двух случаях: а) конденсатор предварительноотключают от источника; б) конденсатор все время остаётся соединённым с источником ЭДС.4.15.

Пространство между обкладками плоского конденсатора (S = 200 см2; d = 2,0 мм) заполненодиэлектриком, проницаемость которого изменяется в направлении, перпендикулярном обкладкам,43по линейному закону от ε1 = 2 вблизи одной обкладки до ε2 = 6 вблизи другой. Найти ёмкостьконденсатора.4.16. Найти работу, которую совершает электростатическое поле при сближении пластин плоскоговоздушного конденсатора с расстояния d1 = 4,0 мм до расстояния d2 = d1/2, если конденсаторзаряжен до разности потенциалов U = 300 В. Площадь каждой пластины S = 400 см2.

Рассмотреть дваслучая: а) конденсатор перед раздвижением пластин отключается от источника; б) конденсатор всёвремя подключён к источнику.4.17. Плоский воздушный конденсатор (площадь обкладок S = 200 см2 каждая и расстояние междуними d = 5 мм) заряжен до разности потенциалов U = 600 В. В пространство между обкладками,параллельно им, вносят металлическую пластину такой же площади, толщиной l = 2 мм.

Найтиработу, совершаемую при этом полем, если: а) конденсатор заряжают и перед введением пластиныотключают от источника ЭДС; б) конденсатор все время соединён с батареей.4.18. Воздушный конденсатор емкостью С = 0,20 мкФ заряжен до разности потенциалов U = 600 В.Найти изменение энергии конденсатора и работу, совершаемую полем при заполненииконденсатора диэлектриком (ε = 2,0). Рассмотреть два случая: а) конденсатор перед заполнениемотключают от источника ЭДС; б) конденсатор все время подключён к источнику.4.19. Плоский конденсатор, которому сообщён заряд Q = 8·10–7 Кл, заполнен двумя слоямидиэлектрика – стеклом и фарфором.

Площадь каждой пластины конденсатора S = 400 см2;стеклянная пластинка (ε = 7) имеет ту же площадь, толщину l = 0,10 см и располагается параллельнообкладкам конденсатора. Какую работу должны совершить внешние силы, чтобы удалить изконденсатора, предварительно отключённого от источника ЭДС, стеклянную пластинку?4.20. Пространство между обкладками плоского заряженного конденсатора заполнено эбонитом.Относительная диэлектрическая проницаемость эбонита ε = 2,7; расстояние между обкладкамиконденсатора d0 = 5,4 мм. Как нужно изменить расстояние между обкладками конденсатора послеудаления эбонита, чтобы энергия конденсатора осталась неизменной? Рассмотреть три случая: а)конденсатор предварительно отключается от источника ЭДС; б) конденсатор все время остаётсясоединённым с источником; в) пластины конденсатора соединены с источником ЭДС во времяудаления диэлектрика и отсоединены к моменту смещения пластин.4.21.

Два плоских воздушных конденсатора ёмкостью C1 = 2,0 мкФ и C2 = 1,0 мкФ соединеныпараллельно, заряжены до разности потенциалов U0 = 600 В и отключены от источника ЭДС.1. Какова будет разность потенциалов на конденсаторах, если расстояние между обкладкамиконденсатора C1 увеличить в 2 раза?2. Чему будет равно изменение энергии конденсатора C1 и всей системы?3. Какую работу совершат внешние силы при раздвижении обкладок конденсатора?4.22. Длинный металлический цилиндр радиусом r0 = 6 см равномерно заряжен с поверхностнойплотностью σ = 2,4·10–12 Кл/м2. Найти энергию поля, приходящуюся на единицу длины цилиндра впространстве между двумя эквипотенциальными поверхностями с потенциалами φ1 = –3 В и φ2 = –6В (φ = 0 на оси цилиндра).4.23. В вакууме образовалось скопление зарядов с постоянной объёмной плотностью ρ заряда,имеющее форму шара радиуса r0.1. Найти энергию электростатического поля во всём пространстве.2.

Найти изменение энергии при делении скопления на два равных, бесконечно удалённых друг отдруга шара.Ответы4.1.=C 4πε0=r3 7,5 ⋅ 10−4 Ф .44C2C14.2.=1. U1 U=200В , U2 U==100 В .C1 + C 2C1 + C 22. C=C1C2=67 пФ .C1 + C 24.3. 1.=C2 C1 (U1 U=200 пФ .2 − 1)C U22. ΔW =1 1 (U1 U2 − 1) =−2,7 ⋅ 10−7 Дж .2U − U14.4.=C2 C=0,32 мкФ .1U2 − U4.5. =C ε=35 пФ .0S dr1r2.r2 − r12.

C = 33 пФ.4.6. 1. C = 4πε04.7. 1. C = 2πε0l ln ( r2 r1 ) .2. C = 350 пФ.24.8. 1. =I ε0 S vE x=2,6 ⋅ 10−8 А .2. F =3. =F4.9.=1. C4.10.1. C=2. D=1=E13. w1=4.11.C4.12.Cl4.13.ε0 SE22( d − vt )2.ε0 SE 2= 4,0 ⋅ 10−3 Н .2x 2ε0 S ε + 1= 260 пФ .d 2ε0ε1ε2S=180 пФ .ε1d2 + ε2d1ε0ε1ε2UD== 2,6 мкКл м2 ,2ε1d2 + ε2d1ε2Uε1U=43 =кВ м , E2 =110 кВ м .ε1d2 + ε2d1ε1d2 + ε2d1ε0ε1ε22U 2ε0ε12ε2U 23,==w=0,057Джм0,133Дж м3 .2222( ε1d2 + ε2d1 )2( ε1d2 + ε2d1 )( r1 + Δ )( r1 + 2Δ ) 22 пФ .πε0ε1ε2r14=Δ ε1r1 + ε2 ( r1 + 2Δ ) 2πε0ε1ε2=170 пФ м .ε1 ln ( r2 r0 ) + ε2 ln ( r0 r1 )C =2πε0 ( ε + 1)r1r2=12 пФ .r2 − r14.14.