Lapina_pract_2 (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина), страница 4

Объёмнаяплотность заряда в слое ρ = 1,3·10–6 Кл/м3.1. Найти напряжённость электрического поля в точках, удалённых от середины слоя на расстоянияx1 = 15 см, x2 = 5 см.2. Построить график Ex(x) зависимости Ex от координаты x, если ось x перпендикулярна боковымповерхностям слоя.1.25. По прямой тонкой* нити длиной l0 = 4,0 м равномерно распределён заряд с линейнойплотностью τ1 = 4,0·10–7 Кл/м. В одной плоскости с нитью перпендикулярно к ней расположентонкий* стержень длиной l = 20 см, равномерно заряженный с линейной плотностью τ2 = 1,0·10–8Кл/м. Ближайший к нити конец стержня находится от неё на расстоянии x0 = 5 см. Найти силу, скоторой поле действует на стержень.1.26.

В одной плоскости с длинной* нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью τ,расположен стержень длиной l под углом α к нити. Расстояние от нити до центра стержня равно r0.Считая стержень заряженным равномерно (заряд Q), найти силу, с которой на него действует поле, иполучить предельное выражение для неё при α → 0 и α → π/2.111.27. Две параллельные длинные* нити, находящиеся на расстоянии a1 = 10 см друг от друга,равномерно заряжены с линейными плотностями τ1 = 1,2·10–8 Кл/м и τ2 = 2,8·10–8 Кл/м.

Найти: а)силу, с которой поле действует на единицу длины каждой нити; б) работу, совершаемуюкулоновскими силами, отнесённую к единице длины при раздвигании нитей до расстоянияa2 = 15 см,1.28. Вдоль оси тонкого* равномерно заряженного кольца (Q = 2,4·10–8 Кл) радиуса r = 15 смрасположен тонкий стержень так, что один из его концов совпадает с центром кольца. Длина стержняl = 5 см, он равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 7·10–7 Кл/м.1. Найти силу, с которой поле действует на стержень.2. Что изменится, если заряд Q будет распределён по кольцу неравномерно?1.29. По сферической поверхности радиуса r0 = 10 см равномерно распределён заряд Q1 = 0,18 мкКл.На продолжении радиуса этой поверхности расположен тонкий* стержень длиной l = 10 см, покоторому равномерно распределён заряд Q2 = 3,8 нКл.

Минимальное расстояние от стержня доповерхности шара h = 10 см.Пренебрегая перераспределением заряда на обоих телах, найти силу, с которой поле действует настержень.1.30. Большая* вертикально расположенная пластина равномерно заряжена с поверхностнойплотностью σ = 7·10–8 Кл/м2.

Вдали от краёв пластины к ней прикреплена шелковая нить соднородным стержнем на конце. Нить привязана к центру стержня, масса которого m = 2,0 г, иобразует с плоскостью пластины угол α = 30°. Найти заряд стержня.ОтветыQlx11.1. 1. а) E x ( x1 ,0) =− 1=1,9 ⋅ 105 Н Кл , E y ( x1 ,0) = 0 ,2222πε0 ( l 4 − x )1E x ( x2 ,0=)Q1 x22 + l 2 4= 2,2 ⋅ 105 Н Кл , E y ( x2 ,0) = 0 ;2πε0 x 2 − l 2 4 22()Q1 l 4 + x12б) E x ( x1 ,0==2,4 ⋅ 105 Н Кл , E y ( x1 ,0) = 0 ,)2222πε0 l 4 − x1(2)Qlx2E x ( x2 ,0) =− 1=2,1 ⋅ 105 Н Кл , E y ( x2 ,0) = 0 .22πε0 x 2 − l 2 42()2. См. рис. 1.6 а; 1.6 б.Qy3. а) E y ( 0, y ) = 1, E x ( 0, y ) = 0 ;22πε0 ( y + l 2 4 )3 2б) E x ( 0, y ) =Q1l4πε0 y 2 + l 2 44.

См. рис. 1.6 в.()32, E y ( 0, y ) = 0 .12ExEx-l/2l/20x-l/20l/2xб)а)Eб)а)0в)yРис. 1.61.2. 1. E=2.Ql= 360 Н Кл .4πε0 x0 ( x0 + l )x0 1 − δ≥=19 .lδτ0 l= 4,0 ⋅ 10−10 Кл .2τ0  a l E1 − ln  1 + =70 Н Кл .2. =4πε0a l a  1.3. 1. =Q1.4. E=1.5. E=Q= 6 ⋅ 104 Н Кл .2π ε0r 22τ0l=sin17 Н Кл .2πε0r2rQ r 1.6. 1.

E max =E z  ±=3,5 ⋅ 105 Н Кл .=22  6 3πε0r2. См. рис. 1.7.13Рис. 1.71.7. 1. E=a2. =lРис. 1.8Q1= 160 Н Кл .4πε0 a l 2 4 + a2δ= 0,07 и 0,22 .2ττ, Eyα1 ) 0,16 Н Кл ,α2 ) 0,6 Н Кл=sin α1 + sin=( cos α2 − cos=(4πε0a4πε0aось x перпендикулярна стержню, ось y направлена вдоль стержня.τl2. а) l = a ( tg α1 + tg α2 )== 0,24 м , E x = 0,41 Н Кл ,4πε0a l 2 + a21.8. 1.=Exτ aEy = 1 − 2 2  =0,27 Н Кл , оси x и y, как указано выше.4πε0a l +a τlб) E x = 0,67 Н Кл , E y = 0 .=24πε0a l 4 + a23.=Exτ= 0,9 Н Кл , E y = 0 .2πε0aσ z1.9.

1. E =  1 −22ε0 z + r022. δ ( z1 ) =(1 + r02 z2 )=2500 и 140 Н Кл .−1 2=0,099 .2z 2 1 − 1 + r02 z 2r02 4. См. рис. 1.8.3. δ ( z2 ) =1 −()−1 2 =0,076 .Q 11 100 Н Кл ,−=E1.10. =2 24πε0l  r 2 + ( z − l 2)2r0 + ( z0 + l 2) 0 0E направлен по оси цилиндра.1.11.2=N πr=E 2,0 В ⋅ м ;а)=sin α 0,21 В ⋅ м .б) N abE=1πσr 2 sin=α 1,0 В ⋅ м ;2ε0б) N = 0 .Q1.13. 1.

E1 = 0 , E2== 9 ⋅ 104 Н Кл .4πε0r222. См. рис. 1.9.1.12.а)=N14Рис. 1.9Рис. 1.10τ1.14. 1. E = =4,0 ⋅ 105 и 7,0 ⋅ 104 Н Кл .2πε0r2. См. рис. 1.10.σr0= 200 Н Кл .ε0r22. См. рис. 1.11.σ1.16. 1. E=E== 340 Н Кл .122ε02. См. рис. 1.12 а. 1.17.E = E x ; E x ≡ E ; E3 x = −E1 x .1.15. 1. E1 = 0 , =E23σ1. а) E1 =− 1=−340 Н Кл ,2ε0σE2 =− 1 =−110 Н Кл ;2ε0E1 =− σ1 ε0 =−220 Н Кл , E2 = 0 ;в) E1 = 0=, E2 σ=220 Н Кл ;1 ε0Рис. 1.11б)3σ1σ1E2 =340 Н Кл .= 110 Н Кл , =2ε02ε02. См.

рис. 1.12 б, в, г, д.г) =E115Рис. 1.12σ1σ2= 1,7 ⋅ 10−5 Н м2 .2ε012. A′=σ1σ2Δl= 5 ⋅ 10−8 Дж м2 .2ε0 11.19. 1. E = E x ; E x ≡ E ; E1 =−E 4 =−Q1 + Q2 − Q3 ) =−7 ⋅ 104 Н Кл ; E2 = 0 ;(2ε0 S1E3 = ( Q1 − Q2 − Q3 ) =−1,2 ⋅ 105 Н Кл .2ε0 S2. См. рис. 1.13.1.18. 1.

F='16Ex,410 Н/Кл-Рис. 1.13Рис. 1.14Q + Q2Q1=−7 ⋅ 104 Н Кл .= 2 ⋅ 105 Н Кл , E r (r2 ) = 1224πε0r24πε0r12. См. рис. 1.14.1.20. 1. E r (r1 )=ρr03ρr1= −37 Н Кл .= −37 Н Кл , E r (r2 ) =3ε0r223ε02. См. рис. 1.15.1.21. 1. E r (r1 ) =5Er,10 Н/КлРис. 1.15Рис. 1.16ρr03ρr1r=()13 Н Кл .= 16 Н Кл , E=r 22ε0r222ε0См. рис. 1.16.131 Н Кл .E r (=r3 )( ρr02 + 2σr=1)2ε0r3ΔE(=r2 ) σ=ε0 300 Н Кл .См. рис.

1.17.1.22. 1. E r (=r1 )2.1.23. 1.2.3.ρx1ρd= 2200 Н Кл ; E x ( x== 5900 Н Кл .2)ε02ε02. См. рис. 1.18.1.24. 1. E x ( =x1 )1.25.1.26.ττF = 1 2 ln (1 + l x0 ) =1,2 ⋅ 10−4 Н .2πε0F=2r + l sin ατQ.ln 02πε0l sin α 2r0 − l sin α17Рис. 1.171.27. 1. F ′=2. =A′Рис. 1.18τ1τ2= 6 ⋅ 10−5 Н м .2πε0a1τ1τ2 a2ln = 2,5 ⋅ 10−6 Дж м .2πε0 a1r0τQ =1.28.

1. F = 1 −5 ⋅ 10−5 Н .224πε0r0 r0 + l 2. Составляющая силы вдоль стержня не изменится, появится составляющая поперёк стержня.1.29.=F1.30.Q=Q1Q2= 1,0 ⋅ 10−4 Н .4πε0 ( r0 + h)( r0 + h + l )12ε0mg tg=α 3,0 ⋅ 10−6 Кл .σ182. Потенциал. Работа сил электростатического поляПотенциал, создаваемый точечным зарядом Q в точке A, находящейся на расстоянии r от этогоQзаряда, равен ϕ (A) =, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ(∞) = 0.4πε 0 rПотенциал, создаваемый в точке A произвольным зарядом, можно найти на основании принципасуперпозиции (см. пример 2.1).Зная распределение потенциала φ(x, y, z), можно найти составляющие вектора напряжённостиэлектростатического поля, пользуясь дифференциальной связью потенциала и напряжённости (см.пример 2.2).Потенциал и разность потенциалов можно рассчитать, зная напряжённость электростатическогополя, так как они взаимосвязаны.Примеры решения задачПример 2.1По тонкому* стержню длиной l = 20 см равномерно распределён заряд Q = l,0 мкКл.

Найтипотенциал в точке A, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 = 10 см от его ближайшегоконца (рис. 2.1). Пользуясь дифференциальной связью напряжённости и потенциала, найтинапряжённость электрического поля в точке A.Рис. 2.1Наиболее рационально в данном случае найти потенциал φ(A), исходя из принципа суперпозициипотенциала: φ ( A ) = ∫ dφ ( A ) . Введем ось x, как на рис. 2.1. Мысленно разделим стержень на стольпо Qмалые участки dx, что сосредоточенный на участке dx заряд dQ можно считать точечным. ПосколькуQзаряд распределен по стержню равномерно, то Q/l = dQ/dx, откуда dQ = dx .

В точке A этот заряд dQldQсоздаёт потенциал dφ ( A ) =[считаем, что φ(∞) = 0], здесь r – расстояние от участка dx до точки4πε0rA, r = l + x0 – x.Потенциал, создаваемый всеми зарядами стержня, найдём интегрированием:dQ=φ ( A ) ∫=dφ ( A ) =∫4πε0rпо Qпо QlQdx∫ 4πε lr .00Учтём, что расстояние r от произвольного заряда dQ до точки A различно, и перейдем кинтегрированию по r (dr = –dx, пределы интегрирования по r примут значения при x = 0 r = l + x0, приx = l r = x0) (рис. 2.1). Тогдаx0l + x0Q drQφ ( A) =−∫==ln30 кВ .x04πε0l r 4πε0ll + x0∞Конечно, можно найти φ(A) из интегральной связи напряжённости и потенциала φ ( A ) = ∫ E x dx , ноAдля этого нужно сначала вычислить Ex(x) (тоже с помощью принципа суперпозиции), этот путьдлиннее.При x >> l заряд стержня можно считать точечным, действительно, в этом случаеQQ[здесь использовано разложение в ряд Тейлора ln(1 + x) = x приφ=ln (1 + l =x0 )( A)4πε0l4πε0 x0малых x].

Зная φ(x), найдём19dφd  Qx QQEx =−=− ln, E x ( A) =.=dxdx  4πε0l x − l  4πε0 x ( x − l )4πε0 x0 ( x0 − l )Отметим, что это выражение для Ex справедливо только для точки на продолжении стержня.Пример 2.2Найти потенциал как функцию расстояния от центра двух концентрических сфер радиусамиr1 = 10 см и r2 = 20 см, равномерно заряженных зарядамиQ1 = 1,0·10–6 Кл и Q2 = –3,0·10–6 Кл. Начало отсчёта потенциала принять в центре сфер [φ(0) = 0].Расчёт потенциала из принципа суперпозиции φ = ∫ dφ представляет здесь математически сложнуюпо Qзадачу. Высокая симметрия заряда позволяет легко рассчитать напряжённость электрического поля ивоспользоваться связью потенциала и напряжённости в интегральной формеr0φ ( r ) =φ ( r ) − φ ( r0 ) =∫ E l dl , φ ( r0 ) = 0 .rПрименяя теорему Гаусса, найдёмна участке 0 < r < r1,Er = 0Q1на участке r1 < r < r2,4πε0r 2Q + Q2при r > r2.Er = 14πε0r 2Полученные зависимости Er(r) для конкретных заданных значений приведены на рис.

2.2.Вычисляя потенциал φ(r), отметим, что соответствующий интеграл представляет собой площадь,ограниченную кривой Er(r) (рис. 2.2).Математическое выражение для потенциала, как и Er(r), будет иметь для разных областей различныйвид.