Lapina_pract_2 (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина), страница 5

Так,Er =для области r < r1φ=(r )00dr∫=rдля r1 < r < r2для области r ≥ r2r10,0Q1drQ1  1 1 φ ( r=+ ∫ 0dr=) ∫ − ,24πε0r4πε0  r r1 rr=φ (r )r2r01Q1 + Q2Q1dr1 Q +Q Q Q +=+dr∫r 4πε0r 2 ∫r 4πε0r 2 ∫r 0dr 4πε0  1 r 2 − r11 − r22  .5Er,10 Н/Кл1050-5Рис. 2.2Рис. 2.3На рис. 2.3 изображён график φ(r) при заданных значениях r1, r2, Q1, Q2. Потенциал бесконечноудалённых точек положительный, это означает, что при переносе единичного заряда к центру полесовершает положительную работу (действительно, dr < 0, Er < 0, dA < 0).20Задачи2.1.

Два точечных заряда расположены на оси x декартовой системы координат. Заряд Q1 = 4,0·10–7Кл находится в точке x1 = 0, заряд Q2 = –2,0·10–7 Кл – в точке x2 = –70 мм.1. Найти потенциал: а) в точке с координатами x = 20 мм, y = 50 мм; б) в точке, в которойрезультирующая напряжённость поля E = 0 [φ(∞) = 0].2. Построить график зависимости потенциала φ от координаты x для точек, расположенных вдольоси абсцисс.2.2. По тонкому* стержню длиной l равномерно распределён заряд Q.

Найти потенциал в точке,лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 от его ближайшего конца.2.3. Тонкий* стержень длиной l = 10 см заряжен положительным зарядом с линейной плотностьюxτ = τ0 , где τ0 = 8 нКл/м (РИС. 1.5). Найти потенциал в точке, находящейся на продолжении стержняlна расстоянии a = 20 см от его правого конца.2.4. По тонкому* полукольцу радиуса r = 80 мм равномерно распределён заряд Q = 7·10–8 Кл.1. Найти потенциал в центре полукольца.2. Как изменится ответ, если полукольцо заряжено неравномерно?2.5.

По тонкому* полукольцу радиуса r равномерно распределён заряд Q. Из центра полукольцавосстановлен перпендикуляр к плоскости полукольца. Ось z направлена по перпендикуляру, началокоординат в центре полукольца.1. Найти потенциал φ и проекцию вектора напряжённости электрического поля Ez как функциюкоординаты z точек, лежащих на оси z.2. Что изменится, если заряд Q распределить по полукольцу неравномерно?2.6.

По тонкому* кольцу радиуса r равномерно распределён заряд Q.1. Найти потенциал поля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии z от его центра.2. Построить график зависимости потенциала φ от координаты z точек, лежащих на оси кольца (ось zнаправлена по оси кольца, начало координат совпадает с его центром), считая: а) φ = 0 при z = 0; б)φ = 0 при z → ∞.3. Найти напряжённость поля в точках, лежащих на оси, дифференциальную связь между φ и E.4. Что изменится в решении задачи, если заряд будет распределён по кольцу неравномерно?2.7. Поле создано диполем с электрическим моментом p = Ql.1. Найти потенциалы точек, лежащих: а) вдоль оси диполя (ось x) и б) на перпендикуляре к оси,проходящем через середину диполя.2.

Построить графики зависимостей φ(x) и φ(y) для указанных точек.2.8. Тонкий диск радиуса r = 20 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ = 50 нКл/м2.1. Найти потенциалы в точках, лежащих на оси диска на расстояниях: a) z1 = 0,l r; б) z2 = 3r от егоцентра.2. Показать, что при z >> r потенциал меняется с расстоянием, как в поле точечного заряда.3. Построить график зависимости потенциала φ от расстояния z до точек, расположенных на осидиска.2.9. По полусфере радиуса r = 10 см равномерно распределен заряд Q = 6·10–7 Кл.1.

Найти потенциал в центре полусферы.2. Как изменится ответ, если заряд Q распределить по поверхности полусферы неравномерно?2.10. По сфере радиуса r0 = 30 мм равномерно распределен заряд Q = 1,0·10–7 Кл.1. Найти потенциал в точках, расположенных на расстояниях r1 = 20 мм и r2 = 10 мм от центра сферы.Начало отсчета потенциала выбрать в центре сферы.2. Построить график φ(r).3. Те же вопросы при начале отсчета потенциала в бесконечности.212.11. Тонкая* длинная* нить равномерно заряжена с линейной плотностью τ = 4,0·10–7 Кл/м.а) Найти потенциал в точках, расположенных на расстоянии r1 = 20 мм и r2 = 10 мм от нити. Началоотсчета потенциала в точке на расстоянии от нити r0 = 60 мм.б) Вычислить потенциал в каждой точке, приняв r0 = 60 см.2.12.

Длинный* цилиндр радиусом r0 = 30 мм равномерно заряжен по поверхности с плотностьюσ = 6·10–9 Кл/м2.1. Найти потенциалы в точках на расстояниях r1 = 20 мм, r2 = 10 см от его оси. Начало отсчётапотенциала принять на оси цилиндра.2. Построить график φ (r).3. Можно ли выбрать начало отсчета потенциала в бесконечно удалённой точке? Ответ объяснить.2.13. Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ = 6·10–9 Кл/м2. Найтипотенциалы в точках, расположенных на расстоянии x1 = 20 см, x2 = 10 см от неё. Начало отсчётапотенциала принять на плоскости.2.14.

Объёмный заряд постоянной плотности ρ имеет форму длинного* цилиндра радиусом r0.1. Найти потенциал как функцию расстояния от оси цилиндра. За точку с нулевым потенциаломпринять ось цилиндра, φ(0) = 0.2. Построить график φ(r).3. Можно ли в данном случаем начало отсчёта потенциала отнести к бесконечности?4. Вычислить разность потенциалов между точками, отстоящими от поверхности цилиндра на r0/2внутрь и наружу, если r0 = 30 см, ρ = 6·10–6 Кл/м3.2.15. Объёмный заряд постоянной плотности ρ имеет форму большого* плоского слоя толщиной d.1. Найти потенциал как функцию расстояния x от середины слоя по нормали к его поверхностям.Начало отсчета потенциала принять в середине слоя, φ(0) = 0.2.

Построить график φ(r).3. Вычислить разность потенциалов между точками, отстоящими от поверхности слоя на d/4 внутрь инаружу; d = 1,0 см; ρ = 6·10–6 Кл/м3.2.16. Объёмный заряд постоянной плотности ρ имеет форму шара радиуса r0.1. Найти потенциал как функцию расстояния r от центра шара. Начало отсчёта потенциала выбрать набесконечности, φ(∞) = 0.2. Построить график φ(r).3. Вычислить потенциал центра шара, если r0 = 1,0 см; ρ = 6·10–6 Кл/м3.2.17. Сфера радиуса r1 = 2,0 см, равномерно заряженная зарядом Q1 = 10 нКл, окруженаконцентрической сферой радиуса r2 = 4,0 см, равномерно заряженной зарядом Q2 = –40 нКл.1. Найти потенциал точек, находящихся на расстоянии r3 = 3,0 см и r4 = 5,0 см от центра сферы.2.

Найти потенциал внутренней сферы.3. Построить графики зависимости проекции вектора напряжённости электрического поля Er ипотенциала φ от расстояния r.4. Построить эти же графики при увеличении абсолютной величины заряда Q вдвое.2.18.Электронноеоблакопостояннойобъёмнойплотностизаряда–43ρ = –6·10 Кл/м имеет форму шара радиуса r1 = 3,0 см. Концентрично этому облаку расположенатонкая сфера радиуса r2 = 7,0 см, равномерно заряженная с поверхностной плотностью σ = 1,5·10–6Кл/м2.1.

Найти потенциал поля в точках r3 = 0, r4 = 1,0 см; r5 = 4,0 см; r6 = 8,0 см (r – расстояние от центраобъёмного заряда до рассматриваемой точки).2. Построить графики зависимости проекции; напряжённости электрического поля Er и потенциала φот расстояния r.2.19. По сфере радиуса r0 равномерно распределён заряд Q. Пользуясь принципом суперпозиции,рассчитать потенциал как функцию расстояния r от центра сферы.22Указание. Боковая поверхность шарового слоя высоты dh равна S = 2πr0dh.2.20. Две тонкие* большие* пластины, равномерно заряженные с поверхностными плотностямиσ1 = 2,0 нКл/м2 и σ2, расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 30 мм.1. Найти разность потенциалов между пластинами.2. Построить график изменения потенциала вдоль прямой, перпендикулярной пластинам, считаяпотенциал одной из них равным нулю.

Рассмотреть случаи: а) σ2 = 4,0 нКл/м2; б) σ2 = σ1; в) σ2 = –σ1;г) σ2 = –4,0 нКл/м2.2.21. Три одинаковые тонкие* пластины расположены, параллельно друг другу на расстоянииd = l,0 мм одна от другой (очень малом по сравнению с линейными размерами пластин).1. Найти разности потенциалов U1 и U2 между соседними пластинами, если на первой находитсяравномерно распределенный заряд с плотностью σ1 = 20 нКл/м2, на второй σ2 = 40 нКл/м2, на третьейσ3 = –60 нКл/м2.2. Построить график изменения потенциала φ вдоль оси x, перпендикулярной плоскости пластин(φ = 0 на одной из пластин).2.22. Длинная* тонкая* прямая нить равномерно заряжена с линейной плотностью τ = 1,0 нКл/м.Каков градиент потенциала в точке, удалённой на расстояние r = 10 см от нити. Указать направлениевектора grad φ.2.23.

Потенциал электростатического поля в некоторой области зависит только от координаты xследующим образом: a) φ = ax + c, x > 0; б) φ = –ax2/2 + c.1. Чему равна напряжённость такого поля?2. При каком распределении зарядов может быть такое поле?3. Какова размерность коэффициентов a и c, чем они определяются?2.24.