Lapina_pract_2 (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина), страница 8

1. F =1 Q 1−.24πε0h  5 5 3. E = 0 .Q24. A′ =.8πε0h=Eτ3.4. 1.=EРис. 3.6τ= 3,5 мВ м .πε0hFτ2= 4,2 ⋅ 10−14 Н м .2. =l 4πε0hQ1= 7 ⋅ 10−6 Кл м2 , σ2 = σ1 , σ3 = −σ1 , σ4 = σ1 .2Sσ1d2.=U =2,5 кВ .ε03.5. 1. σ1 =35Q1 + Q2Q1 − Q2= 1,0 ⋅ 10−5 Кл м2 ; σ== 0,5 ⋅ 10−5 Кл м2 ; σ3 = −σ2 , σ4 = σ1 ;22S2Sd=U1,7 кВ .(Q1 − Q=2)2ε0 S3. σ=1σ2′ d23.6. 1. == 1,6 .σ2′′ d1QQ= 7 ⋅ 10−6 Кл м2 ; σ1′′ =−σ2′ =−=−8 ⋅ 10−6 Кл м2 ;2. σ1′ = σ3′′=S (1 + d1 d2 )2SQ−σ3′ ==⋅σ2′′ =5 10−6 Кл м2 .S (1 + d2 d1 )Q 1 1 1Q; E(r3) = 180 кВ/м; E(r4) = 7 кВ/м; φ=( r3 ) − −= 1,5 кВ ;24πε0  r3 r1 r2 4πε0rQ=φ ( r4 ) = 36 В .4πε0r42.

См. рис. 3.7.Q 1 1Qr3 )3. E ( r==1,8 ⋅ 105 В м , E(r4) = 0; φ (= −= 900 В , φ(r4) = 0.3)24πε0  r3 r1 4πε0r33.7. 1. E =Q 1 1 1Q. − +  , φ ( r2 ) =4πε0  r1 r2 r3 4πε0r32. См. рис. 3.8.3. Не изменится.Q 1 1φ ( r1 )4.= −  , φ(r2) = 0.4πε0  r1 r2 3.8. 1. φ=( r1 )3.9. 1. F=F=0 , F3 =122. F3.Q1 + Q2.4πε0r 2Рис.

3.73.10.ϕ (r0 ) =Рис. 3.81  Q1 Q2  +  = 0,9 В .4πε 0  r0r 36Q1  1 1  Q1 + Q2 −  + = 2,9 кВ .4πε0  x0 r1  4πε0r2Q + Q2Q + Q2, φ (r ) = 1.2. E ( r ) = 124πε0r4πε0r3. См. рис. 3.9.   а)3.12. 1. D = D x , E = E x ; ось x перпендикулярна обкладкам;2ε0ε UD=D== 2,3 ⋅ 10−6 Кл м2 ;121+ε d2ε UРис. 3.9=E1 = 260 кВ м ;1+ε d2 U=E2 = 38 кВ м ;1+ε dб) D=ε0U =d 1,3 ⋅ 10−6 Кл м2 ; D2= ε0εU d= 9 ⋅ 10−6 Кл м2 ; E=E=U=d 150кВ м .112ε − 1 2U2. а) ΔD ==0 ; ΔE = 220 кВ м ;ε +1 dб) ΔD =−ε0 ( ε 1)U d =8 ⋅ 10−6 Кл м2 ; ΔE = 0 .3.11.

1. φ=(0)3.13.3.14.3.15.σQ;ε0εσQ.б) F =ε0а) F =а) Не изменится.б) Уменьшится в ε раз.а)=F F=F0 2 ;0 εб) =F εF=2F0 .03.16. 1. а) ΔD=( r1 )Q1Q1=6 мкКл м2 , =ΔE ( r1 ) =110 кВ м ;24πr14πε0εr12б) ΔD ( r3 ) ==0 , ΔE ( r3 )ε − 1 Q1140 кВ м ;=ε 4πε0r32Q2Q2E ( r2 ) ==220 кВ м .2 мкКл м2 , Δ=24πε0r224πr2Q1ε − 1 Q122. σ=, σ′ ( r1 ) =5 мкКл м2 ,6 мкКл м=( r1 ) =2ε 4πr124πr1Q2ε − 1 Q11,2 мкКл м2 , σ ( r2 ) == −2 мкКл м2 .σ ( r3 ) ==0 , σ′ ( r3 ) =22ε 4πr34πr23. См.

рис. 3.10.в) ΔD=( r2 )37r, смr, смr, смРис. 3.10εr2=φ φ=830 В .3.17.0r2 + ( ε − 1) r13.18.φ =φ0 −ε −1( φ1 − φ2 ) =520 В .ε3.19. 1. D ( r=ρr1 =2 8,7 ⋅ 10−17 Кл м2 ; E ( r=1)1)ρr1= 1,4 ⋅ 10−6 В м ;2ε0ερr02ρr022−17D ( r== 8,7 ⋅ 10 Кл м ; E ( r== 1,0 ⋅ 10−5 В м .2)2)2r22ε0r2ρr 2  rr 2 12. U =0 ln 2 +  1 − 12   =6 ⋅ 10−7 В .2ε0  r0 2ε r0  3. См. рис. 3.11.3.20.Q1 + Q2= 2,0 ⋅ 10−7 Кл м2 ;2SQ1 − Q2= 1,0 ⋅ 10−7 Кл м2 ;σ=22Sσ4 = σ1 ;ε −1σ2′ = σ3′ = σ2= 5 ⋅ 10−8 Кл м2 .εσ=1σ3 = −σ2 ;3.21. 1.

Q =2πε0 ( ε + 1) r0φ =9,0 ⋅ 10−9 Кл .2. σ=ε0φ =r0 5,3 ⋅ 10−7 Кл м2 ;1σ=ε0εφ =r0 1,0 ⋅ 10−6 Кл м2 .2Q ε −1= 1,2 ⋅ 10−6 Кл м2 ;22πh ε + 1Qh ε − 1= 2,5 ⋅ 10−7 Кл м2 .σ′ ( r=)32πr ε + 1ε −12. ==Q′Q 6,7 ⋅ 10−9 Кл .ε +13.22. 1. а) σ′ ( h=)= ε0E0 sin2 α + ε 2 cos2 α=3.23. 1. Dб)Рис. 3.1138= 2,3 ⋅ 10−11 Кл м2 ; tg β =tg α, β = 41°;εE0sin2 α + ε 2 cos2 α = 1,3 В м ; γ = δ ;εP=1,26 ⋅ 10−11 Кл м2 ; δ = β .( ε − 1) ε0E0 =E=σ′2. =ε −1ε0E0 sin=α 7,7 ⋅ 10−12 Кл м2 .ε3.24. 1. =Eв U=d 26 кВ см , нет.ε2. Eв U= 31,4 кВ см , да.=εd1 + d2394. Ёмкость.

Энергия электростатического поляЁмкость конденсатора можно рассчитать, используя соотношение между его зарядом и разностьюпотенциалов между его обкладками (см. пример 4.1).Энергия электростатического поля заряженного конденсатора может быть выражена через егоёмкость и заряд или разность потенциалов на обкладках.Если обкладки конденсатора или диэлектрик в промежутке между ними перемещаются бесконечномедленно под действием приложенных к ним внешних сил, то изменение энергии конденсатора ΔWравно их работе и работе сил стороннего электрического поля в источнике, если он есть (см. пример4.2):(4.1)=ΔW Aвнеш + Aист .Энергия электростатического поля в некотором произвольном объёме может быть рассчитана поизвестным значениям плотности энергии поля (см.

пример 4.3).Примеры решения задачПример 4.1Найти ёмкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твёрдым диэлектриком, границакоторого параллельна пластинам конденсатора. Расстояние между обкладками d = 4,2 см; площадьпластины S = 300 см2; относительная диэлектрическая проницаемость ε = 7. Искажением поля у краёвпренебречь.Рис. 4.1Пусть конденсатор имеет на обкладках заряды Q и –Q (рис. 4.1), тогда ёмкость C = Q/U. Вычислимразность потенциалов между обкладками, созданную этими зарядами:U=(2) Edl∫ .(1 )Интегрирование ведется от обкладки 1 (например, с зарядом Q) до обкладки 2.

Напряжённостьэлектрического поля E в любой точке на траектории интегрирования 1-2 в пространстве междуD ( A)обкладками равна E ( A ) =. Рассматриваемое распределение свободного заряда не обладаетε ( A ) ε0симметрией, достаточной для использования теоремы Гаусса для расчёта. Воспользуемся принципом=суперпозиции: D( A ) D1 ( A ) + D2 ( A ) , где индексы 1, 2 соответствуют номеру обкладки.Электрическое смещение поля, созданного зарядом +Q, равномерно распределено по плоскости, т.

е. Qвследствие симметрии D1 = D1 x , по теореме Гаусса D1 x =, x > 0, ось x показана на рис. 4.1. В2SQQпространстве между обкладками D2 x =и Dx = − . Поле D внутри конденсатора однородно.S2SНапряжённость электрического поля различна на разных участках: в диэлектрике (0 < x < d/2)40QQ, в воздухе (d/2 < x < d) E x =(в пределах каждого слоя поле однородно). Поэтомуε0 Sε0εSразность потенциаловEx =(2) и ёмкостьd2d dQdxQdx Q d  1U =∫ Edl =∫ E x dx =∫+∫=+ 1ε εS d 2 ε0 S ε0 S 2  ε00 0(1 )ε0 S 2ε= 116 пФ .d ε +1Эту же задачу можно решить, используя известную формулу для ёмкости плоского конденсатора.Допустим, что на границе раздела воздух-диэлектрик имеется электрическое поле. При этомконденсатор можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора ёмкостями=C Q=Uε0εSεSи C2 = 0d2d2соответственно.

Это можно сделать, так как разность потенциалов между обкладками складываетсяиз разностей потенциалов на "обкладках" этих половин. Общая ёмкость вычисляется по формулеC1 =C=C1C2.C1 + C 2Пример 4.2Найти работу, которую нужно совершить, чтобы раздвинуть пластины плоского воздушногоконденсатора с расстояния d1 до расстояния d2, если конденсатор заряжен до разности потенциаловU.

Площадь каждой пластины S. Рассмотреть два случая: а) конденсатор перед раздвижениемпластин отключают от источника; б) конденсатор всё время подключён к источнику.При раздвижении пластин внешняя сила направлена против силы взаимодействия пластин (силыпритяжения), т. е. совершает положительную работу Aвнеш > 0. Работу внешних сил найдем изуравнения энергетического баланса (4.1):Aвнеш= ΔW − Aист .В первом случае источник ЭДС отсутствует и Aист = 0, ёмкость конденсатора изменяется от C1 до C2,заряд Q = C1U не изменяется.

ПоэтомуQ 2  1 1  C1U 2  C1 − = − 1 .2  C 2 C1 2  C2Используя выражение для ёмкости плоского воздушного конденсатора C1 = ε0S/d1, получаемAвнеш = ΔW ==Aвнешε0 SU 2  d2 − 1 > 0 ,2d1  d1так как d2 > d1.Во втором случае источник ЭДС имеется, при изменении ёмкости заряд изменяется (в данном случаеуменьшается): ΔQ = Q2 – Q1 = U(C2 – C1). При этом сторонние силы совершают работу по переносуэтого заряда Aист = UΔQ (при условии, что все процессы происходят так медленно, что ток в цепипрактически отсутствует).

Уравнение энергетического баланса дастAвнеш = ΔW − Aистε0 SU 2 d2 − d1U22=>0.( C 2 − C1 ) − U ( C 2 − C1 ) =22d1d2Пример 4.3В вакууме образовалось скопление электронов с постоянной объёмной плотностью заряда, имеющееформу шара радиусом r0. Суммарный заряд электронного облака равен Q. Найти энергиюэлектростатического поля в пространстве, занятом зарядом, и вне его.Энергия электростатического поля в произвольном объёме V находится по формуле41W=∫ w dV ,eпо V1где we = ε0E 2 – объёмная плотность энергии, E – напряжённость электрического поля в2элементарном объёме dV. Распределение заряда обладает центральной симметрией, E = E r ( r ) – силовые линии направленывдоль радиусов-векторов точек, исходящих из центра, и напряжённость электрического поля зависиттолько от координаты r по оси вдоль радиуса-вектора.