Lapina_pract_2 (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина), страница 16

L 4==μ0 N 2S l 2,0 мГн .μ0 N 2I 2S= 6,2 мДж .2l2R2L9.17.=τ =ln0,92 мс .R1 + R2 R2 − R12. W=9.18. =Q LI=R 500 мкКл .9.19. Δφ = UR2 R + R2 exp  − 1t  = 490 В .R1LR + R2  LE 2 LE 2Q=1 − exp  −2t 1= 28 Дж .=30Дж;2 22R1 L  2R1R22. U=max E= 660 В .R1W9.20. 1. =9.21. 1. I = πB1r 2 L , Φ =+Φ1 Φсобств =0.2. A′ =9.22.π 2B12r 4, не зависит.2LW μ0 I 2== 2,2 ⋅ 10−5 Дж м .l 16π B 2l 2 v ( t ) v0 exp  −t.9.23. 1.= mR mv022. Q =.2759.24. 1. v ( t )= B 2l 2  FR 1−expt  .−B 2l 2  mR  2. См. рис. 9.10.FR3.

vmax = 2 2 .BlРис. 9.107610. Уравнения Максвелла. Магнитное поле в веществе   Уравнения Максвелла устанавливают связь между характеристиками E , D , B , Hэлектромагнитного поля. Ниже предложены задачи, в которых рассматривается ток смещения иобусловленное им магнитное поле (см. пример 10.1).При симметричном распределении макротоков уравнения Максвелла (закон полного тока) позволяютлегко рассчитать распределения напряжённости магнитного поля (аналогично тому, как это сделанов примере 6.2).

Материальные уравнения системы уравнений Максвелла позволяют найтимагнитную индукцию (пример 10.2). При этом следует иметь в виду, что магнитная проницаемостьферромагнетиков и магнитная индукция в них сложным образом зависят от напряжённостимагнитного поля. В качестве примера такой зависимости на рис. 10.1 приведена криваянамагничивания B(H) для мягкого железа. У сверхпроводников удельное сопротивление ρ = 0, и припомещении их в магнитное поле (которое разрушает это состояние) магнитное поле внутриотсутствует: B = 0.B, Тл1,41,21,00,80,60500100015002000 H, А/мРис.

10.1Примеры решения задачПример 10.1Длинный* цилиндрический конденсатор заряжается отЭДС, создающего в своей цепи ток I. Пренебрегая краевыминайти ток смещения в диэлектрике, заполняющемпространство между обкладками конденсатора.источникаэффектами,∂Dj см =.∂tсквозьСогласно уравнениям Максвелла плотность тока смещенияТок смещения в диэлектрике равен потоку плотности токацилиндрическую поверхность S радиуса r (рис. 10.2): ∂D=Iсм ∫=jdS ∫ =jr dS ∫ dS ;∂tSSSтак как и j , и dS направлены вдоль радиуса поверхности S,показано на рис.

10.2. В тот момент времени, когда заряд нацилиндрического конденсатора равен Q, электрическоеQDr =2πrlиРис. 10.2какобкладкахсмещение∂Dr ∂Q ∂tI,==∂t2πrl 2πrlтак как от времени зависит только заряд Q, а заряд Q в свою очередь зависит только от времени, такчто ∂Q/∂t = dQ/dt. Тогда77=IсмИтак, Iсм = I.II=dS I .2πrl ∫SdS∫=2πrlSПример 10.2Железный сердечник кольцевого соленоида (тора) имеет форму кольца средней длины l = 100 см своздушным зазором толщиной l' = 0,20 см. Поперечное сечение тора S = 30 см2. Обмотка имеетN = 800 витков, по которым идёт ток I = 2,0 А. Найти магнитный поток в сердечнике, если призаданных условиях его относительная магнитная проницаемость μ = 1000.

Краевыми эффектамипренебречь.Магнитный поток в сердечникеΦ=∫BSжжdS ,где Bж – магнитная индукция в сердечнике, Sж – сечение сердечника. Так как искривлениями линиймагнитной индукции на краях зазора можно пренебречь, то магнитный поток в сердечнике и в зазореодинаков:∫BSжжdS =∫SвозBвозdS .Учитывая, что площади сечения зазора и сердечника равны, получим Bж = Bвоз = B. Согласноматериальным уравнениям в сердечнике напряжённость магнитного поля Hж = B/μ0μ и в воздухе (взазоре) Hвоз = B/μ0.Распределение макротоков, определяющих напряжённость магнитного поля, симметрично, линиинапряжённости – окружности, концентричные самому тору. Следовательно, можно рассчитатьнапряжённость магнитного поля по закону полного тока Hdl∫ = ∑ I .LВыберем контур интегрирования L совпадающим с линией напряжённости магнитного поля посредней линии тора.

Тогда всюду на ней H коллинеарен dl и Hdl∫ = ∫ H жdl + ∫ Hвозdl= H ж ( l − l′) + Hвозl′ .Ll −l′l′Сумма токов, сцепленных с указанным контуром L, равна NI. Согласно закону полного тока иматериальным уравнениямB ( l − l′ )μ μNIBl′.=NI , B = 0μ0 μμ0l − l′ + μl′Так как тор тонкий*, максимальную индукцию можно считать одинаковой во всех точкахпоперечного сечения и Φ = BS. Итак,Задачи=Φ+μ0 μNIS= 2,0 ⋅ 10−4 Вб .l − l′ + μl′10.1.

Плоский конденсатор ёмкостью C, заряженный до напряжения U0, разряжается черезсопротивление R. Найти магнитную индукцию B внутри конденсатора на расстоянии r от центраобкладок. Пластины конденсатора – круглые диски площадью S.10.2. Пластины плоского воздушного конденсатора площадью S соединены витком провода. В цеписоздан синусоидальный ток I = Im sin ωt. Найти амплитуду напряжённости электрического поля вконденсаторе и амплитуду магнитной индукции на расстоянии r от центра обкладок.10.3.

Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однороднаяслабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения.781. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатораотсутствует.2. Найти плотность тока проводимости и тока смещения. Радиус дисков равен r, расстояние междуними – l, относительная диэлектрическая проницаемость среды – ε, удельное сопротивление – ρ.Начальная разность потенциалов между дисками равна U0.10.4.

Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков,заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью σ и относительнойдиэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между обкладками равно d. Пренебрегая краевымиэффектами, найти напряжённость магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси,если на конденсатор подано переменное напряжение U = Um cos ωt.10.5. Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины.

По нему течёт переменный токI = Im sin ωt. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида. Радиуссечения соленоида равен r0.10.6. Между полюсами электромагнита создано постоянное во времени неоднородное магнитноеполе, обладающее осевой симметрией. Его магнитная индукция зависит от расстояния от осиследующим образом: при r < r0 B0 = A r03 , при r > r0 B0 = A/r3. После выключения тока вэлектромагните магнитная индукция уменьшается со временем по закону B = B0eхр(–t/τ), где A, τ, r0известны.1. Найти распределение напряжённости электрического поля E(r) в пространстве между полюсамиэлектромагнита в некоторый момент времени после отключения тока.2. Построить графики E(r) для моментов времени t = 0 и t = τ.3.

На каком расстоянии от оси электромагнита достигается наибольшая напряжённостьэлектрического поля?10.7. На железный сердечник, имеющий форму тонкого тороида средней длины l = 40 см, навитаобмотка, состоящая из N = 400 витков. Кривая намагничивания этого сорта железа изображена нарис. 10.1. Найти магнитную индукцию и относительную магнитную проницаемость сердечника, еслиток в обмотке I1 = 0,40 А; I2 = 1,2 А.10.8.

Железное кольцо (тороид) имеет следующие размеры: средний радиус r = 15 см, площадьсечения кольца S = 2,0 см2. На кольцо навита обмотка из N = 500 витков. При каком токе магнитныйпоток в кольце Φ = 2,4·10–4 Вб? Кривая намагничивания железа приведена на рис. 10.1.10.9. Замкнутый железный сердечник кольцевого соленоида имеет длину l = 20 см, поперечноесечение S = 0,50 см2. По обмотке соленоида идёт ток I = 1,1 А, при этом магнитный поток всердечнике Φ = 7,0·10–5 Вб. Найти число витков в обмотке соленоида.

Кривая намагничиванияжелеза изображена на рис. 10.1.10.10. По длинному цилиндрическому проводу радиуса r0 = 5,0 мм идёт ток I = 40 А. Провод:а) медный (диамагнетик); б) алюминиевый (парамагнетик); в) железный (кривая намагничиванияпоказана на рис. 10.1). Плотность тока считать постоянной по сечению провода.1. Найти напряжённость магнитного поля H и магнитную индукцию B на расстояниях r1 = 2 мм,r2 = 5 мм и r3 = 8 мм от оси провода.2. Построить графики зависимостей H(r) и B(r).10.11. Сердечник соленоида имеет форму тора средней длины l = 100 см с воздушным зазоромl' = 0,20 см.

Поперечное сечение тора S = 3,0 см2. Обмотка имеет N = 800 витков, по которым идёт токI = 2,0 А. Сердечник выполнен из железа, кривая намагничивания которого изображена на рис. 10.1.Найти магнитный поток в сердечнике и относительную магнитную проницаемость.10.12. В тонком замкнутом железном сердечнике длиной l = 0,60 м, снабжённом обмоткой,создаётся магнитное поле с индукцией B = 1,4 Тл. Какой длины воздушный зазор нужно сделать всердечнике, чтобы при том же токе магнитная индукция уменьшилась вдвое? Рассеяниеммагнитного поля в зазоре пренебречь.7910.13. Шар (μ ≈ 1) помещён в однородное магнитное поле и при охлаждении переходит всверхпроводящее состояние. Нарисовать линии магнитной индукции: а) до охлаждения; б) послеохлаждения.10.14.

Длинный массивный сверхпроводящий цилиндр внесён в постоянное однородное магнитноеполе с индукцией B , направленной параллельно оси цилиндра. Найти силу, действующую наединицу площади боковой поверхности цилиндра (давление).10.15. Над плоской поверхностью сверхпроводника параллельно ей расположен тонкий прямойпровод с током I.1.

Найти линейную плотность поверхностного тока в сверхпроводнике на расстоянии r от провода,если он закреплён на высоте h от сверхпроводника.2. На какой высоте h над поверхностью сверхпроводника будет свободно висеть ("парить") провод,если I = 20 А, а линейная плотность провода ρ = 2·10–3 кг/м.Ответы10.1.=B10.2.μ0U0r t exp  −.2Rs RC Em =ImμI r, Bm = 0 m .ε0ωS2S10.3.

1. См. пример 10.1.U t 2. jпр =− jсм =0 exp  −.ρl RC 10.4.=H Hm cos ( ωt + α ) , Hm =Umr σ 2 + ( ε0εω )2d10.5. r < r0, j = j0r j = j0r; r > r0, j = j0 r02 r ; j0 =10.6. 1. r < r0, E = E0E0 =10.7.A exp ( − t τ )ε0εω.σε0 μ0nImω2 sin ωt .2.μ1H = NI l ; B1 = 1,0 Тл;=μ2 = 870.10.9.=N, tg α =3( r r0 ) − 2r; r > r0, E = E0;2r0( r r0 )2τr022. См. рис. 10.3.4 3. E max = E  r0  .3 10.8.=I2B1=2000 ;μ0 H1B2 = 1,3 Тл;Рис. 10.32πr  Φ =H1,5 А .N  S l Φ=H300 .I  S Ir1II=510 А м ,=H2 = 1300 А м ,=H3 = 800 А м ;22πr02πr02πr3–4–3а), б) B = μ0 μH ; B1 = 6,4·10 Тл; B2 = 1,6·10 Тл; B3 = 1,0·10–3 Тл;10.10. 1.=H180в) B1,2 = B ( H ) ; B1 = 1,1 Тл; B2 = 1,3 Тл; B2,3 = μ0 H ; B2 = 1,6·10–3 Тл;B3 = 1,0·10–3 Тл.2.

См. рис. 10.4 и 10.5.10.11. =Φ BS ( H ж=) 2,6 ⋅ 10−4 Вб , Hж находится из графического решения уравненияμ0B NI − H ж ( l − l′ )  =B ( H ж ) , Hж = 230 А/м;=μ = 2900 .l'μ0 H жРис. 10.4Рис. 10.5H ( B ) − H ( B 2)=10.12. l′ l = 1,6 мм .B− H ( B 2)2μ010.13. См. рис. 10.6.Рис. 10.610.14.f=B2.2μ0Ih.πr 2μ0 I 22.=h = 2 мм .πρg10.15.

1. i =81.