Задачник по электричеству и магнетизму (И.В. Авилова и др.), страница 2

рис. к задаче 1.3).1. Определите силу, действующую на точечный заряд q = 1,010– 9 Кл, находящийся вточке с координатой z0 = 5,0 см.2. Найдите работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки скоординатой z0 в центр кольца.73. Рассчитайте силу, действующую на тонкий стержень длиной ℓ = 12 см,расположенный вдоль оси кольца. По стержню равномерно распределен зарядQ0 = 1,010– 8 Кл. Ближайший к кольцу конец стержня имеет координату z0.1.13. Тонкий стержень длиной ℓ равномерно заряжен с линейной плотностью заряда (см.

рис.).1. Определите силу, действующую на точечный заряд q, находящийся в точке скоординатой х0.2. Найдите работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки скоординатой х0 в бесконечно удаленную точку.1.1qLℓℓ0К задаче 1.13x0xx0К задаче 1.144. Два тонких стержня длинами ℓ и L расположены на расстоянии x0, как показано нарисунке. Заряды стержней Q1 и Q2 распределены равномерно. Определите силувзаимодействия стержней.82.

Теорема Остроградского-Гаусса дляэлектростатического поля в вакуумеПотоком вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольнуюповерхность называется величина  e   E , dS,S где dS  вектор внешней нормали к элементарной площадке поверхности S, E  векторнапряженности электростатического поля в точках этой площадки.Для расчета потока вектора напряженности в вакууме используется теоремаОстроградского-Гаусса  QохвE , dS  0 ,S где 0  8,85  10 12 Ф/м.Для ряда симметричных заряженных систем возможен выбор поверхностиинтегрирования, позволяющей по известному потоку определять напряженность.В случае центральной симметрии заряженных систем (сфера, шар, шаровой слой)в качестве поверхности интегрирования выбирается сфера с тем же центром.При осевой симметрии задачи поверхность интегрирования представляет собойцилиндр, высота которого много меньше высоты системы, а основания располагаютсядалеко от краев цилиндрических заряженных тел.При решении плоских задач (поле плоскости, заряженного слоя или системыплоскостей) поверхность интегрирования также можно выбрать цилиндрической, норасположить основания цилиндра параллельно плоским заряженным поверхностям.dSdSdSdSdSРис.

2.1Примеры выбора поверхности интегрирования для использования теоремыОстроградского-Гаусса приведены на рис. 2.1.Расчет распределения потенциала при известной зависимости напряженности откоординаты проводится с использованием интегральной формы связи.21  2  1  2E , dr   Er dr .192.1. В однородном электрическом поле с напряженностью E  700 В/м находятся:а) круглая площадка радиусом R  3,0 см, расположенная нормально к линиямнапряженности;б) прямоугольная площадка со сторонами a  3,0 см и b  2,0 см, расположенная так,что линии напряженности образуют угол   30 с ее плоскостью.Определите поток вектора напряженности электрического поля через каждую изуказанных поверхностей.2.2.

Определите поток вектора напряженности Е0 однородного электростатическогополя через заданные поверхности:а) полусферы радиусом R, плоскость основания которой составляет угол  с силовымилиниями поля;б) куба с ребром а, две грани которого перпендикулярны силовым линиям.2.3. Сфера радиусом R равномерно заряжена положительным зарядом Q.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось ипостройте график Er(r).2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r).

Примите () = 0.2.4. В центре сферы радиусом R = 2 см находится точечный заряд Q1  2  108 Кл.По сфере равномерно распределен заряд Q2  1  108 Кл.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите () = 0.2.5. Две концентрические сферы радиусами R1 и R2 заряжены равномерно содинаковыми поверхностными плотностями заряда  > 0.1.

Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.2.6. В вакууме образовалось скопление электронов с постоянной объемной плотностьюзаряда   1,4  10 6 Кл/м3, имеющее форму шара радиусом R  0,5 см.1.

Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите () = 0.2.7. Скопление положительных зарядов имеет форму шара радиусом R1 и заряд Q1.Скопление окружено тонкой оболочкой радиусом R2. Заряд распределен по оболочкеравномерно и равен Q2 = – Q1.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите () = 0.102.8.

Тонкая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью  < 0.Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r от нити? Укажитенаправление вектора grad .2.9. Тонкая длинная нить, равномерно заряженная с линейной плотностью 1 < 0,расположена на оси тонкостенного длинного цилиндра радиусом R. Цилиндр заряжен слинейной плотностью заряда 2 = 1.1.

Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (R) = 0.2.10. Длинный тонкостенный цилиндр радиусом R  5 см равномерно заряжен поповерхности с плотностью заряда   6 10 9 Кл/м2.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r).

Примите (0) = 0.2.11. Три коаксиальных тонкостенных цилиндра заряжены с линейными плотностямизарядов 1 > 0, 2 = –21 и 3 = 41. Радиусы цилиндров R1, R2, R3 соответственно. Длинасистемы много больше радиальных размеров.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.2.12. Объемный заряд постоянной плотностью   8 10 6 Кл/м3 имеет форму длинногоцилиндра радиусом R  4 см.1.

Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.2.13. Длинный цилиндр радиусом R представляет собой скопление зарядов с объемнойrплотностью  = 0 R , где 0 – заданная положительная константа, а r – расстояние отоси цилиндра.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.2.

Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.2.14. Объемный заряд постоянной плотностью  < 0 имеет форму длинного цилиндрарадиусом R1. Коаксиально цилиндру расположена цилиндрическая поверхность той жедлины.

Радиус поверхности R2, поверхностная плотность заряда  > 0. Суммарныйзаряд системы считайте положительным.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) ипостройте график.112. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.2.15. Большая плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью   6 10 9Кл/м2.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на ось Х, перпендикулярнуюплоскости, и постройте график Eх(х).2.

Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию координаты и постройте график (х). Примите (0) = 0.2.16. Три большие тонкие равномерно заряженные пластины расположены параллельнодруг другу на расстоянии d. Поверхностные плотности зарядов пластин 1, 2 и 3соответственно. Для двух случаев:а) 1 = , 2 = 2, 3 = – ;б) 1 = , 2 = – , 3 = – 21. Определите напряженность поля в произвольной точке и постройте графикзависимости Ех(х).

Ось Х направлена перпендикулярно пластинам. Начало координатнаходится на первой пластине.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, найдите разностьпотенциалов между крайними пластинами.3. Постройте график (х). Примите (0) = 0.2.17. Объемный заряд постоянной плотностью  имеет форму большого плоского слоятолщиной d.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на ось, перпендикулярнуюплоскому слою, и постройте график Eх(х).2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию координаты и постройте график (х).

Примите (0) = 0.2.18. Объемный заряд постоянной плотностью   2 10 8 Кл/м3 имеет формубольшого плоского слоя толщиной d  2 см. Справа на расстоянии b  1 см параллельнослою расположена большая тонкая пластина, равномерно заряженная с поверхностнойплотностью   8  1010 Кл/м2.1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности поля на ось Х,перпендикулярную поверхности слоя, и постройте график Eх(х).2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите разностьпотенциалов между серединой слоя и пластиной.3. Постройте график (х).

Примите (0) = 0.4. Определите силу, действующую на единицу площади плоскости.2.19. Сфера радиусом R равномерно заряжена положительным зарядом Q. Снаружи нарасстоянии b от поверхности сферы расположен точечный заряд q того же знака.1. Определите силу взаимодействия зарядов.2. Рассчитайте работу сил поля по уменьшению расстояния между точечным зарядом иповерхностью сферы в три раза.2.20. Шар радиусом R равномерно заряжен положительным зарядом Q. Напродолжении радиуса шара расположен тонкий стержень длиной ℓ, по которомуравномерно распределен заряд q. Расстояние от поверхности шара до серединыстержня b.12Определите силу, действующую на стержень.2.21. Две длинные параллельные нити, находящиеся на расстоянии b друг от друга,равномерно заряжены с линейными плотностями 1 > 0 и 2 = –21.1.

Определите силу, действующую на единицу длины каждой нити.2. Рассчитайте работу внешних сил, отнесенную к единице длины, при увеличениирасстояния между нитями в два раза.21X0b2.22. Две длинные нити расположеныперпендикулярнодругдругу.Минимальное расстояние междунитями b. Нити равномерно заряженыс линейными плотностями 1 > 0 и 2= –21.Определите напряженность поля впроизвольной точке с координатой xотрезка b (см. рис.).К задаче 2.222.23. Тонкая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью   1,2  108Кл/м.