Задачник по электричеству и магнетизму (И.В. Авилова и др.), страница 3

Перпендикулярно нити расположен тонкий равномерно заряженный стержень.Длина стержня   8,0 см, заряд Q  2,0  1010 Кл. Середина стержня расположена нарасстоянии b  5,0 см от нити.Определите силу, действующую на стержень.2.24. Тонкая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью  > 0. В однойплоскости с нитью, под углом  к ней расположен тонкий равномерно заряженныйстержень. Длина стержня ℓ, заряд Q > 0. Середина стержня расположена на расстоянииb от нити.Определите силу, действующую на стержень.2.25. Потенциал электростатического поля в некоторой области зависит только откоординаты х следующим образом: а)  = а х + с; б)  = – а х2 + с.Определите напряженность такого поля как функцию координаты.133.

Теорема Остроградского-Гаусса дляэлектростатического поля в средеДля описания электрического поля в диэлектрике используют векторэлектрического смещения и вектор поляризации (поляризованность). ТеоремаОстроградского-Гаусса для этих векторов имеет следующий вид: свобD  , dS  Qохв ,связ P, dS  Qохв .Связь между характеристиками поля определяется соотношениями: D  P  0 E ,D   0 E ,Для изотропной средыгде   диэлектрическая проницаемость среды.Рассмотрим в качестве примера поле, создаваемое большим равномернозаряженным по объему слоем диэлектрика с проницаемостью  . Поставим задачуопределения напряженности электростатического поля в произвольной точке, считаяизвестными объемную плотность заряда  ( > 0) и толщину слоя d.EESоснРис.

3.1Для расчета напряженности электростатического поля целесообразнопридерживаться следующего алгоритма: 1. Определить направление вектора E D  E .В нашем случае в каждой точке вектор напряженности будет направленперпендикулярно поверхности слоя от средней плоскости (см.

рисунок 3.1).2. Выбрать систему координат.14Для определения положения точки в пространстве по отношению к бесконечнойплоскости достаточно одной координаты. Введем ось Х (см. рисунок 3.2).3. Обозначить области пространства, где напряженность подчиняется разным законам.Обозначимвнутри слоя – Iснаружи слоя – II, IIIdddSEdS0–хIIIхdSEEdSdS–хХIEdSII0ххабРис. 3.24. Применить теорему Остроградского-Гаусса (ТОГ) для каждой из областей. свобЗапишем общий вид ТОГ для диэлектрика  D, dS  Qохв .ddxизобразимповерхностьинтегрирования–22горизонтально расположенный цилиндр, симметричный относительно среднейплоскости слоя.

Его основания должны иметь координаты х и – х (именно в этих точкахбудем определять вектор смещения). Поток через боковую поверхность такогоdSцилиндра равен нулю ( E ). Основания расположены симметрично относительносредней плоскости слоя  напряженность поля одинакова во всех точках этихповерхностей. D , dS  2  D  dS  2 D  dS  2 D  SоснПоток1) Для I области:S ОСНS ОСНОхваченный заряд – заряд, вырезанный из слоя поверхностью интегрирования,т.е. заключенный внутри цилиндра с площадью основания Sосн и высотой 2х (см.

рис.3.2 а).свобQохв   S осн  2 х .Приравнивая поток и охваченный заряд, получим: 2 D  S осн    S осн  2 х ,D   х .15Т.к.D   0 E  E x. 0dd, x  поверхность интегрирования строится по тем же22правилам, следовательно, и выражение для расчета потока вектора электрическогосмещения не изменится.Охваченный заряд – заряд, вырезанный из слоя поверхностью интегрирования,т.е. заключенный внутри цилиндра с площадью основания Sосн и высотой d (см. рис. 3.2б).свобQохв   S осн  d  2 D  S осн    S осн  d ,dD– не зависит от координаты х (однородное поле).2dD   0 E ,   1 (вакуум)  E Т.к..2 05.

Рассчитать зависимость потенциала от координаты x x Расчет начинаем с выбора точки нулевого потенциала: пусть (0)  0 .Нуль потенциала (опорная точка) выбран в I области, следовательно, расчетначинаем для точек этой области.ddДля произвольной точки с координатой   x  справедливо:222) Для II и III областей x  000xx 2dx xdx.2000xxx   0    E x dx .  x   0  xx 2.2 0Чтобы перейти к расчету потенциала поля во второй и третьей областях,вычислим потенциалы на границах этих областей:d 2d 2d  d   ,.8 0802 2dТогда, для произвольной точки с координатой x  2d / 2d dx        E x dx , где E x  – поле в этой области.2 0 2Получили зависимость для первой области x   x d x       2d / 2xd d  ddx    2 0 2  2 0x   2d / 2 dd x     2d /2d/2xx2ddx.8 0 4 0 2 0Аналогично, для произвольной точки с координатой x d x     2d  d dx    2   2 0   2  x  ,d E x dx , где E x  2 0d2– поле в этой области.xd d  ddx   2 0 2  2 0d /2d d  d dx   2   2 0  2  x  ,x16x   d 2 d 2 x.8 0 4 0 2 06.

Построить графики.На графиках изображают проекции векторов D и E на направление оси Х: Dx и E x , атакже распределение потенциала  x  .xDx    х ; E x I:. (При х < 0 проекции отрицательны.) 0d E  dDx II:; x.2 02d E   dDx  III:; x.2 02>0=2Dx– d/2d/2xExd/2– d/2xd/2– d/2xРис.

3.3Замечания:График x  не может иметь разрывов!Функция x  возрастает, если E x  0 , и убывает, если E x  0 .График x  гладкий, если график напряженности не имеет разрывов.График x  имеет изломы (углы), если график напряженности претерпевает разрыв(см. рис. 3.3).173.1. Определите напряженность и потенциал поля, создаваемого диполем сэлектрическим моментом pe  4  1012 Клм на расстоянии r  10 см от центра диполя, внаправлении, составляющим угол   60 ° с вектором pe . Расстояние r много большеплеча диполя.3.2.

Два диполя с электрическими моментами pe1  1  1012 Клм и pe 2  4  1012 Клмнаходятся на расстоянии r  2 см друг от друга. Расстояние r много больше плечакаждого диполя.Найдите силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой.3.3. Диполь с электрическим моментом pe  1  1010 Клм свободно установился воднородном электрическом поле напряженностью E  10 кВ/м.1.

Определите изменение потенциальной энергии диполя при его повороте на угол  60 °.2. Рассчитайте момент силы, действующей на диполь в конечном положении.3.4. Шар из диэлектрика ( = 3) радиусом R  4 см равномерно заряжен с объемнойплотностью   8,7  109 Кл/м3.1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженностиполя на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал полякак функцию радиальной координаты и постройте график (r).

Примите () = 0.3. Получите зависимость проекции вектора поляризации на радиальную ось ипостройте график Рr(r).4. Определите объемную плотность связанных зарядов.5. Найдите поверхностную плотность связанных зарядов.3.5. Решите задачу 3.4 при условии, что диэлектрическая проницаемость шара меняетсяrпо закону   2  .R3.6. Сфера радиусом R1 заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда> 0. С внешней стороны к сфере примыкает слой диэлектрика ( = 2) с внешнимрадиусом R2.1.

Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженностина радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.2. Определите поляризованность диэлектрика как функцию радиальной координаты ипостройте график Рr(r).3. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.3.7.

Длинный диэлектрический цилиндр ( = 3) радиусом R  4 см равномерно заряженс положительной объемной плотностью   7  1010 Кл/м3.1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженностиполя на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.3. Рассчитайте поляризованность диэлектрика как функцию радиальной координаты и18постройте график Pr(r).3.8. Два коаксиальных тонкостенных цилиндра заряжены с линейными плотностямизарядов 1 > 0 и 2 = –21. Радиусы цилиндров R1 и R2 соответственно.

С внешнейстороны ко второму цилиндру примыкает слой диэлектрика ( = 5) толщиной b. Длинасистемы много больше ее радиальных размеров.1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженностиполя на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал какфункцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.3. Рассчитайте поляризованность диэлектрика как функцию радиальной координаты ипостройте график Pr(r).4. Найдите поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней и внешнейповерхностях диэлектрика.3.9.