Задачник по электричеству и магнетизму (И.В. Авилова и др.), страница 6

Энергию системы.4.28. Длинный цилиндр из диэлектрика () радиусом R равномерно заряжен по объему с26плотностью заряда .1. Найдите зависимость объемной плотности энергии поля от расстояния до осицилиндра.2. Определите энергию поля, локализованную в диэлектрике, приходящуюся наединицу длины.4.29. Определите энергию поля, созданного точечным зарядом Q  2  10 7 Кл, впространстве между двумя эквипотенциальными поверхностями с потенциалами 1  9В и 2  5 В (    0 ).4.30. Длинный металлический цилиндр радиусом R = 6 см равномерно заряжен споверхностной плотностью σ = 2,4 · 10 –12 Кл/м2.

Найдите энергию поля, приходящуюсяна единицу длины цилиндра в пространстве между двумя эквипотенциальнымиповерхностями с потенциалами φ1 = – 3 В и φ2 = – 6 В (φ = 0 на оси цилиндра).4.31. На два последовательно соединенных конденсатора емкостью C1 = 100 пФ иC2 = 200 пФ подана постоянная разность потенциалов U = 300 В.1.

Найдите разности потенциалов U1 и U2 на конденсаторах и их заряды.2. Какова емкость C системы?4.32. Конденсатор емкостью C1 = 100 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 90 В.Конденсатор отключают от источника и соединяют параллельно с другимконденсатором, незаряженным. Конечная разность потенциалов на конденсаторахU2 = 30 В.1. Определите емкость второго конденсатора.2. Найдите изменение энергии системы.4.33. Конденсатор емкостью C1 = 0,20 мкФ, заряженный до разности потенциаловU1 = 320 В, соединили параллельно с конденсатором, заряженным до разностипотенциалов U2 = 450 В. После этого на батарее конденсаторов установилась разностьпотенциалов U = 400 В.Определите емкость второго конденсатора.27ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ5.

Постоянный токЭлектрический ток – это направленное движение заряженных частиц. Дляколичественной характеристики такого движения используют понятия сила тока иплотность тока.Сила тока равнаdQI,dtгде dQ  заряд (количество электричества), прошедший через поперечное сечениепроводника за время dt .Плотность тока равнаdIj.dS Плотность тока – векторная величина, направленная в сторону упорядоченногодвижения положительных зарядов.Таким образом, сила тока является потоком вектора плотности тока через поперечноесечение проводника: I   j , dS.S Закон Ома для однородного участка цепи связывает силу тока с разностью потенциаловна его концах:I,Rгде R  сопротивление проводника.Для однородного цилиндрического проводника сопротивление определяется длинойпроводника  , площадью поперечного сечения S и удельным сопротивлениемматериала  :R .SЗакон Ома в дифференциальной форме имеет следующий вид:j  E ,1где   – удельная проводимость.Закон Ома для неоднородного участка цепи (см.

рис. 5.1):IR  1  2  e .Знаки всех членов должны быть согласованы снаправление обхода. Разность потенциалов12берется в последовательности обхода цепи.Перед ЭДС ставится знак «+», если вRнаправлении обхода мы проходим ЭДС ототрицательного полюса к положительному.Рис. 5.1Индексы 1, 2 в разности потенциалов ставятсяв последовательности обхода контура.В случае, изображенном на рисунке 5.1, ЭДС должна быть учтена со знаком минус.Ie285.1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от нуля до I  3 А в течении   10 с.Определите заряд, прошедший через поперечное сечение проводника.5.2.

Определите плотность тока в железном проводнике длиной   10 м, если проводнаходится под напряжением U  12 В. Удельное сопротивление железа   98 нОмм.5.3. По двум последовательно соединенным цилиндрическим проводникам сечениемS = 0,20 см2 каждый, из которых один – медный, другой – алюминиевый, идет токI = 10 А. Найдите напряженность E1 и E2 электрического поля внутри проводников.Плотность тока считать постоянной по значению.

Удельные сопротивлениясоответственно ρ1 = l,7 · 10–8 Ом · м и ρ2 = 2,5 · 10–8 Ом · м.5.4. Между концами медного полукольца прямоугольного сечения площадью S = 5 см2и радиусами внутренней и внешней цилиндрических поверхностей r1 = 10 см иr2 = 20 см приложена постоянная разность потенциалов U = 5 мВ.1. Найдите сопротивление R полукольца.2.

Определите величину тока I в нем.3. Рассчитайте наибольшее и наименьшее значения плотности тока j.Считайте, что линии тока – полуокружности, центр которых совпадает с центромполукольца. Удельное сопротивление меди ρ = l,7 · 10–8 Ом · м.5.5. На зажимы потенциометра общим сопротивлением R0  600 Ом подаетсяпостоянная разность потенциалов U 0  220 В. Каким будет показание вольтметра,обладающего сопротивлением R  1200 Ом, если его подсоединить к одному иззажимов потенциометра и к движку, стоящему посередине потенциометра?e1R+ V –К задаче 5.625.6. На схеме (см. рис.) сопротивлениеR  5 Ом, ЭДС источника e  15 В, показанияидеального вольтметра U  10 В. Внутреннимсопротивлениемисточникаможнопренебречь.1. Определите разность потенциалов междуточками 1 и 2 и силу тока в цепи.2.

Как изменятся найденные величины при техже показаниях вольтметра, если изменитьполярность источника?3.Постройтеграфикраспределенияпотенциала вдоль цепи.5.7. Два источника ЭДС с e1 = 2,2 В и e2 = 2,8 В и с внутренними сопротивлениямиr1  0,40 Ом, r2  0,10 Ом соединены последовательно и замкнуты на внешнеесопротивление R.При каком значении внешнего сопротивления вольтметр, подключенный к зажимампервого источника, покажет нуль?5.8. Два источника ЭДС с e1 = 9 В и e2 = 2,8 В и с внутренними сопротивлениями r1  3Ом, r2  2 Ом соединены параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление R  6 Ом.Определите ток, протекающий через внешнее сопротивление.5.9. Найти средние значения скорости и импульса направленного движения электронов29в медном проводнике при плотности тока j = 100 А/см2.

Медь одновалентна.Концентрация атомов n = 8,6 · 1029 1/м3. Масса электрона me = 9,0 · 10–31 кг.5.10. Конденсатор емкостью С, заряженный до разности потенциалов U 0отключенный от источника ЭДС, замыкают на резистор сопротивлением R.1. Определите заряд конденсатора в произвольный момент времени.2. Найдите закон изменения тока через резистор.и5.11.

Незаряженный конденсатор емкостью С подсоединяют к источнику ЭДС eпоследовательно с резистором сопротивлением R.1. Определите заряд конденсатора в произвольный момент времени.2. Найдите закон изменения тока через резистор.306. Магнитное поле тока в вакуумеВектор магнитной индукции B определяется как отношение максимальноговращающего момента силы, действующего на рамку с током, к ее магнитному моменту:BM max,pm где pm  IS , S  вектор нормали к плоскости рамки, связанный с направлением тока вконтуре правилом правого винта.По направлению вектор B совпадает с вектором магнитного момента рамки,когда та находится в данной точке поля в положении устойчивого равновесия (М = 0).Рассчитать значение магнитной индукцииB   dBможно, используя принцип суперпозиции. Id Поле, создаваемое элементом d  проводника стоком I в произвольной точке А (см. рис.

6.1), определяется с помощью закона Био-СавараdB Лапласа:r  0 I d , r ,dB 4r 3Рис. 6.1где  0  4  107 Гн/м – магнитная постоянная в системе СИ.В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим расчетмагнитной индукции на оси кругового тока. Пусть магнитное поле создается виткомрадиусом R, по которому течет ток I.

Изобразим сечение кольца и направление тока.dBId dBrRххdBdBId Рис. 6.2Для нахождения поля в точке с координатой х (см. рис. 6.2) применим закон БиоСавара-Лапласа: 0 I d , rdB .4r 331Определим направление (см. рис 6.2) и модуль dB :0 I  dr sin2   0 I  d .dB 34r4r 2Результирующее магнитное поле будет направлено по оси х. I I R IR IR 2B   dBх   0 2 cosd   0 2 d  0 3 2R  0 3 ,r4r2r0 4r0 4rгде r  R 2  x 2 .Свяжем магнитную индукцию и магнитный момент контура с током:Pm  ISS  R 2 .Тогда поле на оси кругового тока 0 PmB3/ 2 .2 R 2  x 2Второй способ расчета магнитной индукции основан на применении теоремы оциркуляции вектора B (закона полного тока): B, d    0  I сц .  Закон Био-Савара-ЛапласаI6.1.

По тонкому прямому участку провода идет ток I.Точка C расположена на расстоянии a от провода.Считая известными углы 1 и 2 (см. рис.), вычислитемагнитную индукцию в точке C. Поле подводящихпроводов не учитывать.2а1С6.2. По длинному проводу, согнутому под прямымуглом, идет ток I = 3 А. Найдите магнитнуюиндукцию в точках, лежащих на расстоянии b = 5 смот вершины угла и расположенных:а) на биссектрисе прямого угла;б) на продолжении одной из сторон угла;в) на перпендикуляре, восставленном к плоскостипровода из вершины угла.К задаче 6.16.3.

Найдите магнитную индукцию B в центрепрямоугольной рамки из тонкого провода состоронами a и b, по которому течет ток I. Поле подводящих проводов не учитывать.6.4. Тонкий провод, по которому идет ток I = 1,5 А, согнут в виде равностороннеготреугольника со стороной a = 20 см. Найдите магнитную индукцию в центре этоготреугольника. Поле подводящих проводов не учитывать.6.5. По плоскому круговому витку радиусом R идет ток I.Найдите распределение магнитной индукции вдоль оси витка, перпендикулярной егоплоскости, и постройте график.326.6. К двум точкам кольца из тонкой проволоки подведены радиально идущие провода,соединенные с достаточно удаленным источником.Найдите магнитную индукцию в центре кольца.6.7.