Лекция №5.1. Основные понятия динамики следящей системы (Лекции по дисциплине "Динамическое проектирование систем стабилизации летательных аппаратов")

Основные понятия динамики следящейсистемыСтруктурная схема передаточной функцииПередаточнойфункциейустройства,осуществляет связь между входным сигналомXкотороеи выходнымсигналом Y таким образом, что при изменении входногосигнала X  X (t ) на выходе получают изменение выходногосигнала Y  Y (t ) , называется отношение преобразования поЛапласу величины на выходе к преобразованию Лапласадля воздействия на входе при нулевых начальных условиях.В качестве типовых воздействий, обычно подаваемыхна вход системы, принимаются:- гармоническое (синусоидальное) воздействие;- единичное ступенчатое воздействие;- единичный импульс;- непрерывно возрастающий сигнал.Гармоническое воздействиеимеет вид   A sin(t  ) ,где: A - амплитуда сигнала; - начальная фаза;2- угловая частота,TT - период колебанийЕдиничное ступенчатоеуправляющее воздействие:[1]  0 при t  00  [1]  1 при t  0 [1]  1 при t  0 Единичный импульс:X ВХ  0 при t  0 и t  h1X ВХ  при 0  t  h hh1F   dt  1h0Непрерывно возрастающий сигналИнтеграл Фурье1x(t ) 2ej td  x( )e  j d jИнтеграл F ( j )   x( )e dЧастотный спектр угловойскорости, касательной ктраектории при наведениипредставляет собой преобразование Фурье функции x(t ) .Если x(t )  0 при t  0 иt  T , тоTF ( j )  x( )e jd.Основные показатели качества работыследящей системыУстойчивостьПоведениефизическогоэлемента илисистемы линейно вопределенноминтервалеизмененияпеременныхвеличин,описывающих егоповедение, еслиа) – нейтральная система, б) – неустойчивая,эти величиныв) - устойчиваясвязаны междусобой линейным уравнением, т.е.

уравнением первой степени.Элемент или система, применяющаяся только в том интервале, вкотором его поведение линейно называется линейным элементомили линейной системой.Передаточная функция разомкнутой системы:bm p m  bm1 p m1  ...  b0W ( p)   nan p  an1 p n1  ...  a0Передаточная функция замкнутой системы: Ф( p) Ф( p) W ( p)или1  W ( p)bm p m  bm1 p m1  ...

 b0bm p m  bm1 p m1  ...  b0an p n  an1 p n1  ...  (an  bm ) p m  ...  (a0  b0 ) an p n  an1 p n1  ...  a0Полиномзнаменателявыраженияноситэтогоназваниехарактеристического уравненияи для определения устойчивостисистемы достаточно найти егокорни pi ( i  1,2,...n ):an p n  an1 p n1  ...  a0  0Система устойчива, если всекорнихарактеристическогоРасположение корней вплоскости комплексногоуравнения замкнутой системыпеременногоимеют отрицательные вещественные части и располагаются в левойполуплоскости комплексного переменного. При наличии хотя быодного корня с положительной вещественной частью системанеустойчива.

При наличии нулевого корня величина на выходеможетприниматьбесчисленноемножествоустановившихсязначений, вследствие чего систему, характеризующуюся нулевымкорнем, считают нейтральной. При наличии мнимых корней,располагающихся на вертикальной оси плоскости комплексногопеременного, система совершает незатухающие колебания спостоянной амплитудой и считается находящейся на границеустойчивости.Если записать передаточную функцию разомкнутой системыкак W  kW0 , то характеристическое уравнение замкнутой системызапишется в виде 1  kW0  0 . При фиксированных значениях k и W0корни этого уравнения расположатся на плоскости комплексногопеременного вполне определенным образом.

При варьированиикоэффициента усиленияkони будут перемещаться по некоторымкривым, которые называются корневым годографом. Поскольку пораспределению корней замкнутой системы можно судить об ееустойчивости и качестве переходных процессов, то, выбирая извсей совокупности благоприятное расположение корней, получимтребуемое значение коэффициента усиления k . Этот метод синтезасистемы носит название метод корневого годографа (методЭванса).ПодставивФ( p) q ( )исходнуюbm p m  bm1 p m1  ...  b0an p n  an1 p n1  ...

 a0в видеp  j , q( )четные функцииФ ( j )гдевпередаточнуюполучим:иf ( )Ф ( j ) функциюa ( )  jd ( ),q ( )  jf ( )- нечетные функциигде.a ( )иВыделивФ( j )  P ( )  jQ ( )  A( )e j ( ) ,P ( ), Q ( ), A( ), ( )- полиномы от.Следовательно, при заданном значениичастотыфункцияФ ( j )комплекснаячастотнаяпредставляет собой векторв плоскости комплексного переменного,Вектор комплекснойчастотной функциивектораФ ( j )имеющий амплитудуизменении частотыAи фазу.Приамплитуда и фазабудут изменяться и конец вектора будет описывать вплоскости комплексного переменного кривую, которая называетсяамплитудно-фазовой характеристикой замкнутой системы.

ПриизменениичастотыP( ), Q( ), A( ), ( ) ,будутизменятьсятакжеивеличинычто дает возможность построить и этичастотныехарактеристики,которыесоответственнобудутназываться:P( )  A( ) cos ( ) - вещественной или активной частотнойхарактеристикой,Q( )  A( ) sin  ( ) - мнимой или реактивной частотнойхарактеристикой,A( )  P 2 ( )  Q 2 ( ) ( )  arctg- амплитудной частотной характеристикой,Q ( )- фазовой частотной характеристикой.P ( )Ф( j )  A( )e j ( ) , а lg Ф( j )  lg A( )  j ( )Lm( )  20 lg A( )  20 lgAВЫХ ( )AВХ ( )Запас устойчивости по фазе начастоте среза срменее 30°40°:должен быть не= 30о60°.Запас устойчивости по амплитуде при=-180° должен бытьболее 6 дБ: Lm  20 lgНаклонАвых 6 дБ.АвхлогарифмическойРазомкнутая ЛАФЧХ следящей амплитуднофазочастотнойсистемыхарактеристики в области частоты среза желательно иметь 20дБ/дек:dLmср = -20.dБыстродействиеБыстродействие характеризует быстроту реакции системы навнешнее возмущение и время затухания переходного процесса,которое характеризует время подготовки системы к нормальнойработе.TПереходной процесс системы– период колебаний, t1 – время первого срабатывания, t пп – времяпереходного процесса (вхождения в 10% или 5% трубку отустановившегося значения),  - перерегулирование, YMAX –величина первого заброса, YMAX – величина второго заброса.ср12Логарифмические частотные характеристики замкнутой системыТочностьТочность – это способность системы отрабатывать входнойсигнал с минимальной ошибкой.

Ошибка системы (t )   перех (t )   вын (t )складывается из переходной ошибки  перех (t ) и вынужденной  вын (t ) .Переходная ошибка определяется в переходном режиме,который должен достаточно быстро затухать, и оцениваетсяколебательностью и перерегулированием.Фактическипоказательколебательностихарактеризуетрезонанскные свойства замкнутой системы при подаче на ее входгармоническоговоздействия.Чембольшепоказательколебательности, тем более склонна система к колебаниям в еесвободном и вынужденном движениях.Перерегулированиеопределяетсякакразницамеждувеличиной первого заброса и установившегося значения заданнойвеличины, отнесенная к установившемуся значению в процентах:Ymax  YустYуст% .

Допустимое перерегулирование лежит в пределах10-20%.Нажелаемуючастотнуюамплитуднохарактеристикузамкнутой системы, как правило,накладываютограничениедополнительноенакоэффициентрезонанса LR , который не долженпревышатьТребования к замкнутой частотнойхарактеристике системы управления3дБ,инаеепровисание, которое должно бытьменее -3дБ.Вынужденнаяошибкаопределяетсявустановившемсясостоянии и может быть статической ошибкой, ошибкой поскорости или ошибкой по ускорению.Представим передаточную функциюв виде Ф(р), на вход которойподается входной сигнал е(t) или вПередаточная функцияпреобразованиях Лапласа Е(р), асистемывыходным сигналом является сигналs(t) или в преобразованиях Лапласа S(p).Пусть входное воздействие линейно изменятся по времени e(t )  Atили в преобразованиях ЛапласаE ( p) Ap2Ошибка системы будет равна  (t )  e(t )  s(t ) или в преобразованияхЛапласа: ( p)  E ( p)  S ( p)  E ( p)[1  Ф( p)] p[переходе к временной области:  (t )  limP0Если W ( p) Kp (Tp  1)иФ( p) A[1  Ф( p )] .p2При1  Ф( p)AA Ф ( p ) 2 ]  A lim [].2p 0pppW ( p)1 2 2,1  W ( p ) TK p  2 K TK p  1то ошибка поскорости равна: (t) = A (2КTК)11 2 22T p  2 K TKTK p  2 K TK p  1 (t )  A lim []  A lim [ 2 K 2]  A(2 K Tk ) .p 0p 0 Tpp2Tp1KK KВеличина2 K TK 1KDобратно пропорциональна величинедобротности по скорости и представляет собой наклон в началекоординат фазовой характеристики, как функции частоты.Соответственноошибкапоположениюопределяетсяследующим образом:e( t )  A или, переходя к преобразованиям Лапласа, ( p)  E ( p )  S ( p )  E ( p )[1  Ф( p )] E ( p) ApA[1  Ф( p )] .pAAПри переходе к временной области:  (t )  limp [  Ф ( p ) ]  A lim [1  Ф ( p)].P 0p 0pЕслиФ( p) 1,TK p  2 K TK p  122 (t )  A lim [1 p0pто ошибка по положению равна: (t) = 0T 2 p 2  2Tp1A]lim[]0.2p0 T 2 p 2  2Tp  1TК p 2  2 К TК p  1Что подтверждает тот факт, что астатизм в разомкнутойсистеме, приводит к отсутствию статической ошибки замкнутойсистемы.Ошибка по ускорению при изменении входного сигнала поквадратичнойзависимостиотe(t )  At 2 ,временипреобразованиях Лапласа выражаетсяE ( p) Ap3 ( p)  E ( p)  S ( p )  E ( p )[1  Ф( p)] , записывается:A[1  Ф( p)] .p3При переходе к временной области: (t )  lim p [P0ЕслиФ( p) AA1  Ф( p ) Ф( p ) 3 ]  A lim [].3p 0ppp21,TK p  2 K TK p  122то ошибка по ускорению равна:(t) = ATК2чтов11 2 22TK p  2 K TKTK p  2 K TK p  12 (t )  A lim []Alim[]  ATk222p0p0 p (TpK p  2 K TK p  1)Реакция системы и ее ошибка наРеакция системы и ее ошибка навходное воздействие по положению входное воздействие по скоростиВ частотной области, точностьсистемыоцениваетсяпочастотнойхарактеристикеошибки, которая определяется какразница между входным ивыходным сигналом. ( p) E ( p) S ( p )илиE ( p)E ( p)Ф ( p )  1  Ф( р )  1 E ( p)W ( p)11  W ( p) 1  W ( p)Реакция системы и ее ошибка навходное воздействие поускорениюЧастотные характеристики дают сведения о вынужденнойсоставляющей реакции системы на гармонические воздействия, т.е.говорят о соотношении амплитуд и сдвиге фазы, которые могутнаблюдаться в установившемся режиме колебаний после окончанияпереходного процесса.

Амплитудная частотная характеристикаошибки представляет собой отношение амплитуды ошибки камплитуде входного сигнала. Фазовая частотная характеристикаошибки характеризует сдвиг фазы колебаний ошибки относительноколебаний входного сигнала.Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристикаошибкиЕсли известны частота ( 0 ), амплитуда входного сигнала ( AВХ )и допустимая величина амплитуды ошибки ( А ДОП ), то можноопределитьудовлетворяетпроектированиясистемылиейчастотнаяполученнаявхарактеристикапроцессеошибки0'( AВХ  10 ; А ДОП  6 ; f 0  0,3 Гц; 0  2f 0  1,88 1/с.):A (0 ) A ДОПАВХ6 0,01600или 20 lg A (0 )  40 дБ.Эту точку нужно отложить на ЛЧХ на частоте0ипроанализировать, как она расположена относительно ЛАХошибки.