Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 7

В силу известных свойств функций, непрерывных на отрезке, выполняются правила ~~ и Гз и соответствующие аксиомы. Следовательно, множество М есть линейное пространство. Скалярное произведение двух функций из М определим по правилу Ь; Ь ц = х(Г) у(1) аГ. В силу свойств определенного интеграла для о выполняются все аксиомы евклидова пространства.

Таким образом, определив скалярное произведение на множестве непрерывных на отрезке функций, мы построили евклидово пространство. и 3. Рассмотрим В,". Пусть о' = х у = ) хзу1, ыг (х;, у;) — координаты соответствующих векторов в базисе ( е = (1, О,..., 0), ..., е = (О, О,..., 1)), введенном в предыдущем разделе. ° Убедитесь в том, что аксиомы евклидова пространства выполняются. ° Следовательно, на основе линейного векторного пространства построено евклидово пространство: Яи Еи 4.2. Свойства евилидовых пространств (ЕП) Теорема (неравенство Коши — Буняковского). Пусть Š— произвольное ЕП, Тогда выполняется неравенство Коши— Буняковского: Чх, у б Е =Ф (х у)2 < (х х)(у у), ° 4 Для любого Л (в силу аксиомы 4) (Лх — у) (Лх — у) > О.

Согласно аксиомам 2, 3, (Лх — у)(Лх — у) = Л (х х) — 2Л(х у)+ (у у) > О. Это квадратный трехчлен относительно Л, значения которого неотрицательны при любых Л. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена неположителен: Ю = (х у) — (х х)(у у) < 0 => (х у) < (х х)(у у). ° Определение. ЛП является нормированным, если по некоторому правилу ~4 любому злементу х ставится в соответствие действительное число ЦхЦ вЂ” норма (длина) данного элемента;правило Х4 вычисления нормы таково, что выполняются аксиомы нормы: 1) х ф. О <=~ ЦхЦ > О; х = О 4=> ЦхЦ = 0; 2) ЦЛхЦ = ~Л~ ЦхЦ; 3) Чх, у е ЛП => Цх+ уЦ < ЦхЦ+ ЦуЦ вЂ” неравенство Минковского. Теорема (о нормировании евклидова пространства).

Любое ЕП можно нормировать, если ввести норму по следующему правилу: Чх б ЕП вЂ” ~ ЦхЦ = ~/х ° х. ° Ф Пля определенной таким способом нормы, очевидно, выполняются аксиомы нормированного пространства 1 и 2. 50 г — — 1 лз=г ~1 при )=г; е;е ( О при г' ~ ~. 52 53 Выполнение аксиомы нормы 3 доказывается на основании неравенства Коши - Бутгякавского: <4'*)-у/7 ))» й~ь й)=)6) ))~)и))и =-Ф !!х+у!! < !!х!!+ !!у!!. и)» О гметим, что доказанное неравенство назьгвается также тгеравеиством треуголыгика. Па аналогии и П ) модуль сум- 3, мы двух векторов не больше суммы их зюдуггей, либо сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 4.3. Ортоиормированный базис. Процедура ортогоиализации В любом действительном евклидовом прострвлстве по аналогии с трехмерным векторным пространством можно ввести понятие "угол между элементами пространства": ф = 1(х, у): сов ф = =Ь ф = агссов х у х у !!х!! !!у!! !!х!! !!у!! При этом, в силу неравенства Коши — Буняковского, совф < 1.

Будем называть два произвольных элемента х, у Е Е ''я ортогональными друг другу, если х . у = О => сав ф = —. 2 Пусть х ортогонален у(х и. у); назовем х + у "гипатенузай", х и у — "катетами". В лтабом ВП, если введено поня. тие угла между элементами, выполняется теорема Пифа. гора (для взаимно ортоганальных элементов): !!х+ у!! = (х+ у) (х+у) = (х.:г) + 2(х у) + (у у)— =~ !!х+ у!! = !!х!! + !!у!! . Этот результат обабщаеття да и попарно ортогоиаш,- ных элементов: Хт~ Х2) ° ° ° Хп ° Х) -)-:ГУ) "= ХГ + Хв + + Хв -"=- =~ !!х!!2 =(хг+... +х„) (гг+...

+,г„) = и и х; .х, +2 ~~) х;.х => !!г!! = !!хт| "+ ..+ (!,г»!(-'. В лиг)ей)тазг пространстве все бвдисы рввиаиравиы и иг) оснований один нз иих предпочесть другому. В евклид иом же, где определено скалярное произведение и введено )и)г)итие угла, существуют особа удобные во хпюгих отношениях базисы гак называемые ортоиормираваишьнг г)азисы (ОП Б). Определение. и элементов ет, св, .... св б Е" обр;пу. ют ОПБ этого пространства, если ° 6 Постаточно доказать, что эти и элементов и-мариша ЛП линейно независимы. Пусть эта ие так: з аг, ая,..., н»а (а фО): огег+ овгз+...-)- а„е„= О, (») Будем умножать скалярио соотношение (») послгяонателг,иа на векторы ег, ея, .,., е„. Тогда а, = О (й = г,,и), т.е. (») выполняется только в том случае.

если все коэффипиенты ат равны нулю. Таким образом: вг, ез, ..., е„— линейно независимы, следовательно, (е) — есть ортаиориираваипый базис. й» Теорема (о существовании ортаиормированного базиса). В любом и-мерном евклидавом простраис гве существует артонормировеип) и й базис. 4 Итак, и:н)ам и-мерное линейное пространство, гг лнкейна независимых векторов г г, у 2, ..,, 1 „его базис. Рис. 1 бб б.

ХХЕСОВМЕСТНЬХЕ СИСТЕМЬХ ЛИХХЕЙХХЬХХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 5.1. Скалярное произведение и проекции В трехмерном векторном ЕП были определены понятиа скалярного произведения и проекции одного вектора на >га правление, заданное другим вектором; и-- л" 27 = ~ г'~~ р'(сок4; Р„= ! Р ~созф= (т' Р>)/!'зг; -:>.> =г Рс =- (Хт У)/! к ~ /согласно Формуле (4.2)/, 1!зйдем агктор ОР, модуль которого раа>п зп>дузк> ар скцин Рг: ОР =-о г — цо теореме о колливеарпых век горах; ОР+РВ=ОВ=>РВ=О — ОР: РВл.ОА=: л =~ РВ ОА = О =~ (О — ОР) ОА = 0 (см. рис. 1).

т> Рис. 2 3 матричном представлении: (у оХ)тХ= О=~УтХ вЂ” аХ Х=О; (Π— нулевая матрица;) произведения строк на столбцы есть числа, поэтому число а определяется как о = (УтХ)/(ХтХ) = (Хту)/(ХТХ). Следовательно,, 0 = ~(Х Х)/(Х*Х)~т. Обобщаем этот результат на Е": в ОНБ скалярное произве- дение векторов ж и ~Р запишется в виде Р = *1Р1 + я2Р2 + ° ° + впРп = Х У = У Х> (*1 > *2 » ° ° »>с) > У вЂ” (Р1 > Р2 » ° ° Рс) Проецируем точку В (вектор ОВ) на вектор в (рис. 2): РВ- л = з РУ=О, (У' — ах)тХ=Утх — аХ Х= = Х'У вЂ” охтХ = Ю =~ = (Хту)/(Хтх), о1х + азу+ озх+ .

+ ото Рнс. 3 Проекция точки В на вектор х задается формулой ОР = ((Х~У)/(Х~Х)) х . Расстояние от точки В до "прямой" ОА вычисляется как норма вектора ВВ: ((Щ!) — Я) Р — ~! у — ((Х ~')ДХтХ')) (~ =( -(( ''И. ' «-)'( -И" И '. «Х)= = УтУ вЂ” 2(ХтУ')'У(Х'Х)+((ХтУ')У(Хтх))'Хтк = (УтУ)(ХтХ) — (Хтг')з (ХтХ) 5.2,Пространство столбцов матрицы— образ матрицы. Геометрический смысл критерия Кронекера — Капелли -+ -+ 3 Векторы х н у Е И.

задают некоторую плоскость в И~, которая проходит через (О, О, О) н имеет нормаль и = х х у (векторное произведение), как показано на рнс. 3. Все лннеиные комбинации о1 х + оз у (для оз) лежат в плоскости векторов х, ~у: и (о1 х Произвольные линейные комбинации вектор зываются линейной оболочкой этих векторов. есть подпространство пространства И.. Можно плоскость р — линейная ободочка векторов жх и ся наименьшим по размерности подпространство ства И.З, содержащим векторы х и у . Определение. Некоторое подмножество М пространства Ь, удовлетворяющее условиям 2) Чо, х Е М =~ о х Е М, называется линейным поцпространством простр Пусзь х, у, з,..., и — совокупность элемент го пространства.

Линейная оболочка этих векто является наименьшим подпространством, содер этн векторы. Рассмотрим систему линейных алгебраичес ний: АХ = В;=-~ х~ а 1 + хз а з +... + х, а и (Абк „„; ь=(ь,, ...,ь )'). Критерий Кронеккера-Капелли: система совместна, с=о В.В А = Вк Ар, Пусть В.ВА = т и столбцы, образующие базис есть первые т столбцов матрицы А, следователь а г, а з, ..., а, — линейно независимые т-мерны они определяют некоторое подпространство т-м торного пространства И'". Этому подпространст лежат все линейные комбинации векторов а ы а — столбцов ма,трины А. х = х:Г-тпйп. 7а~ А гвЬ 1 система несовместная система совместная Рис.

4 2х=61; Зх = Ьг, 4х = Ьз. 60 Подпространство, задаваемое векторамн а 1, а г,... ..., а „называется пространством столбцов матрицы А— образом матрицы А (обозначается 1пт А, 1шаке — образ). В силу определения 1тп А есть линейная оболочка векторов а и а г,..., а „ а сами зтн векторы можно принять за базис пространства столбцов матрицы А. Если вектор Ь вЂ” столбец правых частей — является лн— > нейной комбинацией векторов а в, т,е. 6 б 1тА, то оистема совместна (и наоборот).

Если вектор 6 ине укладывается" в пространство 1пт А, система несовместна (рис. 4). 5.3. Идея метода наименьших квадратов Гаусса Рассмотрим систему трех уравнений с одним неизвестным: Пространство столбцов матрицы системы — одномерное, так как состоит нз одного вектора а = (2, 3, 4)т. Ф + Система совместна, если векторы а и 6 коллннеарны ( о О Ь ), и несовместна, если а ~ Ь . Несовместные системы не имеют решения в обычном смысле! Итак, пусть система несовместна: 3 х: АХ = В, т.е.