Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры)

Московскии государственныи техническии университет им. Н,Э. Баумана В,И. Ванько /~ ~. »гюго ~-~~~ элементы линейной Алгевры ,М.Ф. Д Рекомендовано редсоветом МГТУим. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия ,ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока е Ф 1 Х е с \ ~~ ю~ 3О ~~ 0)~ ~4 ~~ в ~ ~с в " т х~~ > ~(о~ ~-~~ оьь ь ~~~ч е~оз О ю — л ~ ~° ~ — ~о х ОЗ Москва Издательство МГТУ им, Н.Э. Баумана 2002 ББК 22.143 В17 НРЕДИСЛОВИЕ ББК 22Н43 4З МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 2002 Рецензенты: О.Л.

Тескиц Э.Р. Розендоры Ввиъко В.И. Элементы линейной алгебры: Учебное пособие. — М,: Изд-во МГТУ им, Н.З. Баумана, 2002. — 102 с., ил. Доказаны многие теоремы, приннмвемъ~е обычно без доказа- тельства (теорема о базисном миноре, закон инерции квадратич- ных форм н т, д., ф т, д.), Изложены элементы теории построения реше- ний несовместных систем. Для студентов младших курсов всех спецнвлъностей, Ил, 7. Бнбкио~р. 16 назв. Среди математических дисциплин, составляющих основу фундаментального образования инженера-математика, линейная алгебра занимает особое место. "Особость" зта обусловлена богатством н глубиной тех идей и методов, которые лежат в основании великолепного по своей архитектуре здания, называемого ал~ сброй.

Овладение алгебраическими методами не только расширяет кругозор и пополняет арсенал приемов, с помощью которых решаются прикладные задачи, но (что самое главное!) развивает мышление, придавая ему глубину и абстрактность. Общение со студснтами-первокурсниками убеждает в том, что алгебраические идеи усваиваются гораздо хуже и тяжелее, чем иден математического анализа. Вероятно, зто заложено природой, так как идеи непрерывности мы впитываем с детства. Это обстоятельство дало повод высказыванию известного геометра профессора МГУ имени М.В.Ломоносова В.Н.Делоне: "Если среди ста талантливых математиков найдется один хороший алгебраист, считайте, что вам повезло." Автор данного пособия стремился отобрать из всего многообразия материала, составляющего содержание предмета высшей алгебры, тот необходимый минимулн который достаточен для самостоятельного совершенствования математических знаний.

1.1. Основные определения а11 ага аьз ... а1„ С>21 а22 С>23 ... а2п а,„2 а,„з ... а,„„ а а2 аз ... а1 1 1 1 а! а2 аз ... а2 2 2 2 = (а'), аиг аиг ™ 1 2 3 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕЛЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ) Числовой матрнцей будем называть совокупность действительных илн комплексных чисел (либо тех и других), записанных в виде прямоугольной таблицы т.е. матрицы размером т х и (гп строк, и столбцов); ее элемент а; находится в г-й строке, 1'-м столбце.

Матрица называется квадратной, если гп = и, Для обозначения матриц будем использовать обозначения А, (а; ). В некоторых случаях удобно использовать индексы на разных уровнях: верхний индекс и этом случае обозначает помер гтроки, нижний — номер столбца. Матрица может состоять нз одной строки н п столбцов †.матрица-строка (лнбо вектор-строка); нз т строк н одного столбца матрица-столбец (либо вектс>р-столбец). Вместо чисел и качестве элементов ма!рицы можно ис. пользс>вать элементы любых множестж функции, векторы, ма!рицы н !.и. й!агрипи А размером >и х и с элс ментами из ми!оке! гип М егть гоп>>купиог'>ь»спмсптс>в им б >!!, разли пи иных и пи.сс> прямоугольной таблицы, г.с. проиумсрсигпииых уиоряпочгииг,>!си и>лр>лл>и (г, >): ! < !' < >и, ! < > < >с, Л!атрида,:>!!с>л>снт! ! кого рой сил!и яилякыс м л>игрицалги.

иазыиае>ся бло >иой; матрипа иазывагтс'я разреженной, если болыцая часть сс элементов — пули; в иро'гквиом случае оиа называется плсп нои. Матрипы А и В равны (А = В), если размеры их одинаковы н! х и и Равны их спит!ге !с!в\'>оп!и!>»»>ел!сить! агу —— !>г».. 1.2. Операции над матрицами На множсс гас> матриц размерил! >а х и вводятся слепуищне линей п ые о не раин н.

!. Сло>кеиис. Матрипа С иазывасгся гуммой матриц .! н В(С=- А+В),если с, = а, +(>„. 2. »'лгпожеинс матрипы иа чигло. Л!и >рипа Й называется произис>кином ми грины .-! на числ> Л (В = ЛА!. сгзи аг» Лс>г» Множество ма! рни размером гп х и, иа котором оирс. пелены указанные выьпг операции, будем обозначать В>п>си> осли числовые множители Л и элементы а, явля!отея дсйствительнымн числами; С,„„„> если Л и (илп) а;, принадлежат множеству колсплекспых чисел; К>с>„», если не нужно подчеркивать припадлежнос:ть конкретному числовому множеству, Введенные линейные операции обладзк>т следук>ьцими алгебраическими свойствами (убедитесь в этом!): 1) А+ В = В+ А — коммутативность сложения; 2) (А+В)+С = А+(В+С) — ассоциативность сложения; 3) существует В Е Кл,хл со свойством 9+ А = А — на.- личие нулевого элемента в множестве матриц, т.е.

нулевой матрицы; 4) существует (-А) б К„,х„такая, что А+ (-А) = б— наличие противоположной матрицы; б) 1 А = А — наличие единицы среди числовых множителей; 6) Л(1!А) = (Л11) А — ассоциативность операции умножения ка число; 7) (А + В) = А +  — дистрнбутивность операции сло жения матрип; 8) (Л + д)А = ЛА + аА — дистрнбутиюзость операции умножения на число, Определение. Транспопированием матрицы Азлхл называется операция, в результате которой столбцы (строки) матрицы становятся строками (столбцами) с теми же номерами: первый столбец становится первой строкой н т.п.

Полученная в результате такай операции матрица Алх —— А называется транспонированной по отношению т к матрице А лхл = "! Таким образом (Ат);! = (А)В (А ) = 4' Квадратная матрица называется симметрической, если т А =А,т.е. а, =а;. ° Проверьте выполнение следующих равенств: (ЛА) ЛАт. (А + В)т Ат + Вт ° Введем операцию умножения матриц. Пусть Х и У матрица-строка и матрица;столбец соответственно: И! Х = (а!1, *1з, л1з,...,х1л)> У = Произведением матрицы Х на матрицу У (обратите внимание на порядок множителей!) ХУ называется сумма произведений их соответствующих элементов: первый элемент матрицы-строки умножается на первый элемент матрицы- столбца плюс второй элемент матрицы-строки на второй элемент матрипы-столбца и т.д.: ХУ = к!!у!1+ к11уы + л!зуз! + + л1лпл! = ~~', к!ууу! ,!'=! В результате этой операции получаем число, т,е.

матрицу размером 1 х 1. Итак, Х1хл1лх1 = С1х1. В силу нашего определения, число столбцов левого множителя равно числу строк правого множителя. Это есть правила "строка на столбец". Пусть теперь А — матрица размером гл х и;  — матрипа размером п х з, т.е. число столбцов А равна числу строк В, Определение. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С (С = АВ), элемент которой с, есть произведение 1-й строки А на 1-й столбец В: л с; = ~~! а;ьйь . з=! Итак, Ат хлВл х з = Соьхз Алгебраические свойства операции умножения матриц: 1) А(В+ С) = АВ+ АС; 2) А(ЛВ) = (ЛА)В = Л(АВ) (эти свойства проверьте самостоятельно!); 3) (АВ)С = А(ВС).

Покажем последнее свойство: 4 = Алзхл, В = Влхз, С = Сзхр ь 4В = (АВ)л,хз и (АВ)С = ((АВ)С)л,хр Так же убеждаемся в том, что А(ВС) = (А(ВС)) „,, Так»в! образом, размеры (АВ)С и А(ВС) совпадая>тз Покажем равенство их соответствующих элементов: ((АВ)С);, = , ''(АВ);„(С)6, = ~'(~' 1,6,„) с„, = 6=! 6=1 «ж! в а = ,'> ~ ~а;я6 ась;. Ь~!»=1 Здесь происхоцит двойное суммирование по индексам й н д„ которые изменяются независимо.

Поэтому вс в а (А(ВС)); = с> а, ( с> 6»ьсь>) =~6 а, (ВС) = (А(ВС));с'. вю! 6=! »=1 ° Убедитесь на примерах, что операции умножения матриц свойством коммутативности не обладает (в общем случае): АВ у! ВА. ° Введем квадратную матрицу порядка и Х яб ! О О ... О О 1 О ... О Е= О О О ...

1 которую назовем единичной матрицей порядка и. Эта матрица коммутирует с любой квадратной матрицей А (убедитесь в этом!) Выполняется важное равенство: (АВ)т = ВтАт, называемое в просторечьи правилом "пил>кака и рубашки" — на.- деваем руба>икр, затем пиджак; снимаем в обратном порядке. Я6 П" . !,,а. ц„. -=, !П . (!!с!, !'(!В„,. )'- ((,1, ) .с к ссс В,1 .. ! >Сс А,вк,„.- !пса!а !сы сссс~ !с !с ~|к т 'с ! .7', в ~(.! В !с ) = (:1В) „-- ~ сс,ь!>Ы, !с:-, ! а и !!!!»!с!с, = Е(!!з'!( !''!Ь! -- Ъ 6!«с! я=! ы-! сс. и ьая, йь я=- ! а Покажите, что (АВС)т = СтВтв!т.

а 1.3. Перестановки. Символы Лови-с-1вснитсс Пусть нес!с!с» ссссссечпое >сссожсс с !со Ы. сог !о»снсс кз с. элементов. Перепумеруем эз н элемент!вн !. 2. О,... и. !'ак как индиан>суальные свойства. элементов инсокестжс И на.» пе важны, примем., что >снментами М ясс!»!отсс! на!уран!. ные числа; !,....п.

Помизю расстановки !стих чно!.! н нх нормальном н ранк!, нх можно располо:кн и., паприки:р, ! ам 2, 1. !1с..., п; 2, Зс 1,...,и и т.д, Всякое распоссожещщ и:>асин>нтссн к!с!о>ссс.' сна 61 а нс;!ас- тором опрепелсшюл! порядке бснньн с!аз!»ьн сь нсрсс гав а, а из п эломсштоа. Число различных перестановок из и >дементна р.снн ~ нроизвепс пию всех чисел от !,со и: с>сс = ! 2.:! (1ситпс тс» п с!нскзориал) 'сСЯ ОЧс'ВИППО.

Р! = 1 =. !!: Р> =. 2 =- 1 2 — 2!! Н1, ссп. а с >.нм, и!о С'в, =. (и — !)!. !О! »пасс>си 'и вес Гане>!к!с, сзсстсс>с!АЙ и: сп ' ! ) сыес!' !ссса ссс!!с.:с ь»;, с.'одвнсис слс >и и'а мсок!и по!",ос а сачи "с, новак из и элементов. Поэтому: Р„= Р„1 и = (и — 1)! и = = и!. яь Нужно отметить, что значения и! с ростом и возрастают чрезвычайно быстро: 1!= 1; 2!= 2; 3!= 6; 41= 24 5!= 120; 6!=720; ...; 10!= 3628800 и т.д. Элементарной траиспозицией будем называть перемену местами двух рядом стоящих символов: ! 1. Если меняются местами два символа, не стоящие рядом, то будем говорить о транспозиции. Говорят, что числа ! и 1 составляют инверси1о, если ! < 1, но 1 стоит в этой перестановке после 2' (если идти вдоль перестановки слева направо).