Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 2

Перестановка называется четной, если ее символы образуют четное число инверсий, нечетной — в противном случае: Например (1, 2, 3,..., и) — четкел перестановка, так как числю инверсий в ней — нуль; (2, 1, 3,..., и) — нечетная перестановка, число инверсий равно 1; перестановка (4, 5, 1, 3, 6, 2) содержит 8 инверсий и является четной. Теорема. Всякая транспозипия меняет четность перестановки.

4 Рассмотрим случай, когда з и ! в перестановке находятся рядом: ..., г', 1',.... После элементарной транспозиции: ..., 1, !...; при этом каждый из символов в первой и второй перестановках составляет одни и те же инверсии с символами, остающимися на месте. Если ! > !', то во второй перестановке стало на одну инверсию меньше; если ь' < ! — на одну инверсию больше. В обоих случаях четность перестановки изменяется. Пусть между траиспозируемыми символами ! и г' расположены 3 дРУгих символов: ...,!, Й1, йг, ...,Йю У, .... Транспозицию символов 1 и ! получим в результате выполнения 23+1 элементарных транспознций (убедитесь в этом! ).

Таким образом, чтобы произвести транспозицинэ ! < — + у, нужно нечетное число раз изменить четность перетеновкн. !О Определение. Символами Леви-Чивита называются символы, определяемые следующим образом: 1, если перестановка (11, 12,..., з„) состоит из элементов 1, 2, 3, ...

...,и и может быть получена из (1, 2,..., и) с помощью чет- ного числа элементарных транс- позиций; — 1, если (1, 2, 3, ..., и)- 4чм!3 "ы 41 2 3 ...и 1 г 3 ... и — ноз- з! 32 $3, °, 1и с помощью нечетного числа элементарных транспозиции; О, если (11, 12, 13,..., 1и) содеР жнт элементы, не входящие в (1, 2, 3,...,и), либо — повто- ряющиеся. Отметим важное свойство этих символов: г1!г!3" ~ 4!г!3 "! . д ~2!3«,! 40!3-.! 123...п гз...и ! 123...и 13...и 1.4.

Определители (детерминанты) и-го порядка и их свойства Пусть а! аг аз ... аи 1 1 1 1 а2 а2 а2 а2 1 г з (4аК аи аи ап аи г 3 ! и ! и„, и ! ! ! пг аг аб ... и !! 2!) и=1 (1А) лз ла 13 ь п(п пг!и !л,!ел! 1ие!мрмпп!и !Оы) пю!при!Ноп мв грп! ! !ш ., гоа !ск япс.ш, пллаучяемоп по приап,!у: и и, из ... и*„ и а и л а Гл!Гя!З" Пл ! 2 ! "! 23, и ал!алки, ~л .--1 ...!, !у„!мпроваппп прои!ходит по независимо гыл!опяппппл! ,, и па! ! шм ! 1, 11, !3, ..., лп; в этой сумме с гол! ко ненулевых .!ПЛГаеь!!!л, ~ КОЛЬКО МОЖНО ПОЛупнтЬ ППРЕСГВПОВОК Пп '!ИСЕЛ 1, 2, 3,..., и, т,е.

и!. Действительно, символы !1 и 22, пезввпсиью изменяясь, и!гуп припять одинаковые значения, например !1 =- ю2 =- 2, ил! >пределения символа б, б! 2'!"'„а;, а;, а,э ... и, = !1, ггла".1~ 1 2 3 а гак как из (1, 2, 3, ..., и) нельзя получи гь !2, 2, 3, ..., и). 1(аок!!ог ~ зп!гапл!оп и формуле (1.1) !и!!!пг!гя п1п и и!и,!и. пием '!1!сысп г!и ыаорипы;1, стоящих п р;! !пых г! роках и раиных стгллбпах. Например, 2 2 с1с1А2„2 = ~~! ~ б"," а,1,аг л!=1 !г=1 П 1 2 12 1 2 21 ! 2 22 ! 2 ! 2 ! = б!ггл!а! + б12а1аг + б12ага1 + 6!гиги„= а!аг — иги! выражение, знакомое еше со школьной скали,и.

° Распишите слагаемые, соотвптствугощие определите,!го матрипь! А;1„3. ° К сумме тех же слагаемых и с теми же знаками, что и и ;.1, !), приводит формула, (йп А,— > ~~! б1 2" л2 ! !' а Для ясности и полной доступности изложения провопем ппк г!орые выкладки для определителя третьего порядка: з з з «е1 Азиз =,'у,л!, ~~ б1 2 3 ц, ц,цз = л!ляля 1 2 3 ! ! =1 !2=1 !3=1 3 3 ,'! а1, (~~>, ,'л б" 2233 а,,а',„) = ~~> и,, А!'.

11.3) !!=1 лз лз Внимательно рассмотрим числа А",: в скобках произошло суммирование по индексам 12, !3, поэтому свободным остался индекс 11: 3 Е .»вЂ” а, А = а1А1+ агА1+ азА1! 2 1 З, и=1 А1 — ~ ~ б1 г~з~а' а' ля !3 ля!3 г З г З г З бг з а' а', = (агаз азаг) лз = — ,'Е;Еб1'З'а~,а', = -1а1 З вЂ” аЗа1) (Еб) а1 а2 аз 1 1 1 пз а2 а2 1 2 3 п1 п2 Я~ 3 3 3 йесА = а> аз пения.

А> = ( — 1)'+>М,1. 15 аг аэ а2 аэ 1 2 аг аэ 1 2 2 1 ~ 'а~"'ба212 2 3 ( 2 3 2 3) (проделайте выкладки подробно, выписав все слагаемые!). Сеян<ем полученные выражения (1.4) — (Еб) с самим определителем третьего порядка: Каждое из чисел А1' является определителем второго порядка; А11 — определитель квадратной матрицы второго порядка, полученный вычеркиванием из А первой строки и первого столбца, на пересечении которых стоит элемент а~~; А2 - взятый со знаком " — " определитель, полученный вычеркиванием из матрицы А первой строки и второго столбпа (па пересечении которых находится а21); Аз — взятый со знаком "+" определитель, который получается вычеркиванием первой строки из третьего столбца (их пересечение есть аз~).

Определения. Минором М> элемента аз матрицы А а п-го порядка называется определитель (и — 1)-го порядка., получающийся из А вычеркиванием ачй строки н 2-го столбца. Если элементы матрицы обозначить индексами на одном уровне а;1, то минор обозначается М, . Алгебраическим дополнением элемента, а' называется умноженный на (-1)'+1 его минор М>: Таким образом, (1.4), (1.5), (1.Б) есть алгебраические дополнения элементов а1~, а21, а~>, стоящих в первой строке. Следовательно, 3 бегА = а1А1+а22А1+ азА1~ = > а, А>1.

1 1 1 2 1 3 % ' 1 Мы получили разложение определителя по элементам первой строки. Очевидно, можно было бы написать разложения по элеь>ситам второй нли третьей строк; 3 3 3 аагаа а=2' 1(> 2 Б","" а, а)= аг=1 а>=1 аз=1 а,(Е> Бца'" а, а) а р а ~ г. аз аа а2 Если воспользоваться формулой (1.2) для определителя йе1 Азхз = 1', Е Е3ааагаза1 а2 аз, то можно получить разложш>ие определителя по столбцам. Отсюда вытекает способ вычисления детерминанта и-го порядка: детерминант равен сумме произведений элементов некоторой его строки (столбца) на их алгебраические допол- Н>а, практике, чтобы вычислить определитель прн помоши наименьшего числа операций, выбнра>от ту строку (илн столбец), которые содержат наибольшее количество нулевых элементов. Очевидно, определитель диагональной матрицы ри~ произведению ос диагональных элементов, в частности: О ...

О О 1 ... О О О ... 1 !!а основании определения детерминагггов (1.1) и ',1 выводятся все их свойства. Для уцобства будем обозна ы» столбцы матрицы А буквами с одним индексом (помер с «олб ца): ~1 2 3 '' оп 1 1 1 1 ав а' аг ... аз 1 2 3 ' п = (а1, П2,..., ап), ап ап ап ..

ап 3 ° и 1. с1сс(А2) = «1есА — определитель матрицы А равен определителю ее транспонированной матрицы: «~.= «м=-1 1е»ип бр»пои с«лбцы и строки вопредсличс. ии и и,~ иы. ~ сии иги.иии какое-либо свойство для с «иэби ,кг . и «««. «:, и ~и»<» »» иля строк. (А ) =аэ; и п <1е1 А ~м... »п(Ат)1 ( дг')2 (Ат)п г»=1 Е 51"' аига.з .. аи .= сЬ1А, В' «, ... г 1 2 3 й, 2.

Пусть элементы г-го сто. бца имеют общий множитель, Очевидно, йе1(а1, аг, ..., 'а, . ап) = 6 3. Пусть каждый элемент г.го ст» ябцг представлен в виде суммы двух (а может быть, и более) слагаемых, Тогда дег(а1, ея,..., а, + а",,..., ап) = = Йс1(а1, аг...,,, а;, ..., ап) + бес(а1, а2,..., а;, ..., ап). 4. Транспозипия лгобых двух столбцов а«а приводит к измеиени«о знака определителя, так как 5мйг ..м...ч...1» йп3г.,и, м...Ъп 1 2 ... /с ...,1'...

п 1 2 ... й ... г'„. п ==~ «1е1(а1, е2, ... > аЬ, ..., а,..., ап) = 5. Определитель с двум» равными столбцами равен нулю. й На основании п.4.: пусть а« = а" транспозиция сч + ау изменяет знак на противоположный но сам опреде) литель при транспозиции останется прежним: серег А = — Йе1 А =ь Йес А = О. Э' 6. Определитель не изменяет своего значения, если к его 1-му столбцу прибавить умноженный на некоторое число у-й столбец (либо произвольную линейную комбинацию остальных столбцов): ~ Йе1(о1, аз,..., а«+ Ааг,..., а,, ..., ап) = (второе слагаемое есть определитель с двумя равными столбцами).

Ь" 7. Пусть матрицы А, В Е К„„„. Тогда с1ес(АВ) = с1ес(ВА) = с1ес А бес В, т.е, детерминант произведения двух квадратных матрип равен произведению их детерминантов. чб Пусть матрицы А, В Е Кэ„э. Справедлива формула 3 З Э ~~> ~з ~) б"'3'3 аб' абз абз = бзыззз с1ес А, (1 7) п=113=1 13=1 которая доказывается выяснением смысла ее левой и правой частей. Лействительно, если (31, уг, уэ) = (1, 2, 3), то слева и справа в (1.7) с1ес А; если (31, уг, 33) — четная перестановка символов (1, 2, 3) то 6""'3 = 1 и справа в (1.7) имеем с1ес А. Пусть слева (31, уг, 33) = (2, 3, 1) — четная перестановка: ~> С ~Э бп~з заг аэ аэ = ~~~ ~~3 ~~~ б"поза1 аг аз 11 Сз сз 11 ся эз = 3~3~ 3~3~ ~3~~ 6'3"м 1 г 3 = бес ~, так как (зы сг, 13) отображается в (13, зз, эг) при помощи четного числа элеменгарных транспозипий.

Если (33,,3г,уэ)— нечетная перестановка из (1, 2, 3), то 6('гзз 3 = — 1 и справа в (1.7) имеем — с1ес А. Пусть слева (31,33,33) = (1, 3, 2) — нечетная перестановка: 13 = — ,') Э ~ 6 "3 'а;,аг аз = — с1еСА. с8 Наконец, если среди 33, уг, 33 есть одинаковые символы, например уг = 33 =~ 6~~~3 3~ = О, мы имеем определитель с двумя одинаковыми столбцами, который обращается в нуль. Используя формулу (1.7), покажем свойство 7: Э 3 Э бес(АВ)3.3 = ',>,' ~ '> ' 6,''г"зз(АВ),',(АВ)3,(АВ)3, = 1с =Г 13=1 эз к Э б" г"зз (~) а~~Ь;1) (~) ас Ььг) (Е атб~з) 11 «3 сз ь =< в силу независимости индексов суммирования с1,13,13, Ь,1, т>= 'с, з~~~Д~~~, « ) бппазЬЬ Ь1 Ьт) 1 г 3 й ~ 1а 1с 13 сз = С в силу (1.7) >= ~~» ~Э,'> (6~333 ЙеС В)а~эата,„= ь ! = без В(~~ ~~~ ,') 61 гз а~~а~~а~„) = с1ес В с1ес А. ° 8.