Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 6

х+х = О Ах+ х = 0; х' = х'+ 0 = х'+ (х+ х") = 42 Теорема (о существовании нулевого элемента). В произвольном ЛП существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента х существует единственный противоположный элемент х'. й Существование хотя бы одного нулевого элемента утверждается в аксиоме 3, Пусть существуют два нулевых элемента 01 н 02, 01 ф 02. По аксиоме 3 х + О = х — основное свойство нулевого элемента. Пусть х=01,0=0з=з 0»+02=0!.

Теперь положим х = 02, О = О! => 02 + 01 = Ог, тогда 01 = 02. Существование для каждого элемента х хотя бы одного противоположного элемента х' утверждается в аксиоме 4. Пусть для некоторого х существуют два противоположных элемента х' и х": ( »+ ) ~ Я О+ и Я 0 Р ! »! з» Теорема. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент О равен произведению произвольного элемента х на число 0; для каждог ! элемента х противоположный ему элемент равен произведе»»я»о х на пействительное число -1.

4 Пусть х — произвольный элемент ЛП, х' — ему противоположный. Применяя аксиомы ЛП, получим: О х=О я+0=0 х+(х+х)=0 х+1 х+х'= = (О+ 1) х + х' = 1 х + х' = х + т' = 0 =~ О х = О. Пусть х — произвольный »»»! г.»»!»»т, у = (-1)х. Используя аксиомы ЛП и доказанное равенство О х = й, получим: х+у = х+( — 1) х = 1 х+( — 1) х = (1+(-1)) х = 0 ° х = О. Э' 3.3. Базис и размерность линейного пространства Пусть М вЂ” ЛП, х», хз, ..., хз — его элементы; а», аз, ..., а„- действительные числа. Тогда х = а»х1+ »» +азхз +... + а„х„= ~, а;х; называется линейной комбина»т» иней элементов хы..., х„с коэффициентами а1, аз, ..., а„.

Очевидно, х Е М. Пусть М является построенным в примере 3 а-мерным арифметическим пространством. В дальнейшем будем рассматривать только такие ЛП, их элементы будем называть векторами. Определение. Векторы жхг, х з,..., х „линейно зависимы (т.е. составляют линейно зависимую систему), если существуют а», аз,..., а„, не все равные нулю (а; ф 0): + Ф а1 х» + аз х з +... + а»» х»» = ~ а; х, = 0; юж! векторы х 1, х з,..., х, — линейно независимы, если ! Ф а! х ! + аз х г +... + а»! х „= 0 ~ а; = О. Теорема. Пля линейкой зависимости системы х », ..., хх»! »»есбходимо и достаточно, чтобы один из этих векторов явл,:.. »с линейной комбинацией остальных: »» — 1 х !, ..., хх,» — линейно зависима с=~ х „= ~» а; х;.

»ю1 »» Покажите зту нехитрую теорему самостоятельно. е ".1лементарны (однако же нужно уметь их доказывать!) .".с,",.ющие утв»»ржденяя: ~!.сли среди векторов данной системы присутствует 9 (нулевой вектор), то эта система. линейно зависима; Если нехоторые элементы системы линейно зависимы между собой, то н вся система линейно зависима. В а-мерном арифметическом пространстве (обозначаем; К" ); рассматриваем следующие его элементы — векторы: е1 = (1,0,0, ..., 0); е г = (О, 1, О,..., О); ез=(0,0,1,...,0); Теорема (о единственности разложения). Любой вектор х имеет единственное разложение в данном базисе ЛП. 4 Всамомделе,пусть х = ~;х;егд х = ~,х';е,", 1=1 1=1 вычтем из одного равенства другое: жх — х = ~~~ (х'; — х;) с, =» (1 — 1) х = О = ~~ (х~, — х;) е,. е „ = (О, О, О, , 1). Эти векторы составляют линейно независимую систему, Ф -+ так как а1 е г+ аз с г+...+а„е „ф О, если хотк бы один коэффициент аь ~ 0 (й = 1, п), Пусть жх = (х1, хг, ..., х„) — любой вектор из К", Оче- видно, х = хз е 1 + хг е г + ...

+ х„ е „, т.е. любой вектор из К" есть линейках комбинация векторов е ы ег,..., е „, а система е ы еег, ..., е „, х по теореме 3 линейно зависима. Таким образом, система векторов с ы е г, ..., е „линейно независима н любой вектор из К" является линейной комбинацией с 1, е г,..., е „, Обладающая такими свойствами система векторов называется полной в К". Определение. Полная в данном ЛП система элементов (в данном случае — векторов) называется базисом линейного пространства.

Представление х в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису, а коэффициенты разложения — координатами вектора в данном базисе ЛП. Разумеется, рассмотренная нами система с 1, е г, ... е „является одним из базисов К", Если хотя бы одно из выражений в скобках окажется неравным нулю, то система базисных векторов обязана быть линейно зависимой, что противоречит опрепелению базиса. Фь ,Пействия дад векторами сводятся к соответствующим действиям над их координатамн в данном (одном и том же для всех участников) базисе: х+у=~ х;е;+» ус,=,'> (х+у)с;=» ю=1 1'=1 1=1 =» х + у = (х1+ у1, хг+ уг,, хе+ уз); Л х = Л(х1 е 1 + хг е г +...

+ х„с э) = = (Лх|) е 1+... + (Лх„) с'„=» Л х = (Лхы Лхг,,, Лх„). Определение. Пусть с 1, е г, ..., с „= (е) - произвольный базис ЛП. Число векторов в базисе называется размерностью ЛП и обозначается гйгоВ.. Базис е1, ег, ..., е„ с=» о1гп К = и, В К" любые и линейно независимых векторов образуют базис. Координаты векторов из В." будем располагать в виде столбпа, т.е. каждому вектору из В," поставим в соответствие матрицу-столбец: Х = Х1 Е 1+ Хг Е г +...

+ Хп Е „==О ==~Х=(хг,хг,...,х„) ==э жх=(е1, ег,..., е„)Х= = (е) Х = еХ (умножаем строку яа столбец). Пусть жх1, х г, ..., х „— и линейно независимых векторов из В.". Определитель, составленный из соответствуюших матриц-столбцов, не равен нулю, так как его столбцы линейно независимы; ЗА.

Линейные преобразования базисов Пусть е1, ег, ..., е„- базис в В.", Введем матрицу-строку, элементами которой являются базисные векторы е = ( е 1, е г,..., е „). Тогда произвольный вектор жх из В~, х = х1 с 1 + хг е г + ... + х. е которому соответствует матрица-столбеп Х, может быть записан в виде произведения двух матриц ( правило "'строка на столбец" ): х .=(е1, е2,..., е„)(х1,хг,...,х„) =ьжх=еХ, Пусть даны пва базиса в В.": е = ( е 1, ..., е „)— "старый" и "новый" е' = (е'1, е~г,..., е'„). В силу полноты системы е 1,, е п -+ %~ х,= р ах;еь; 6=1 д = (61, 62,..., 6„) — произвольный вектор из Н.". Тогда, ап агг агз ... а1„61 Пй а21 а22 агз ° ага 62 = и ап1 апг апг ° ° а~~ 6~ (так как первые и столбцов образуют базисный минор).

По теореме о базисном миноре: = с1 х 1 + с2 х 2 + . + са х а~ т.е. линейно независимая система п векторов из В." полна в Хс" и ее можно принять за базис В.". и > + е; = г Ры е 1 = р„е 1+ рг е г+...+ р„; е „. ьж1 Набор координат новых базисных векторов в старом базисе составляет квадратную матрицу Р (матрица преобразования базиса): Рп Ры Ргп Р= Р21 Р22 . Рга =Фе'=еР Рл1 Риг Реп (матричная запись векторов нового базиса), Очевидно (откуда это видно?), что Р— невырожденная матрица: Йе1 Р ф 0 =~ 3 Р Тогда е = еР => с~Р 1 = е(РР 1) ==> е = е'Р 1, где Р— матрица обратного преобразования. Один и тот же вектор з запишем в двух базисах: х = еХ Л х = е Х =~ еХ = е!Х =в =~ еХ = (еР)Х' = е(РХ') =~ Х = РХ выражение "старые координаты через ковые").

Очевидно, новые через старые координаты выражаются в виде Х'=Р !Х. 4. ЕВКЛИПОВЫ ПРОСТРАНСТВА Одним из важнейших частных тндов линейных пространств явлюотся так называемые евклидовы пространства,, назваш!ые в честь Евклида — основоположника геометрии как науки. 4.1. Определение евклндавых пространств 3.5. Изморфиэм линейных пространств Оказывается, линейные пространства одинаковой раэ. мерности в смысле своих свойств, связанных с операциямв сложения и умножения элементов на число, по существу не отличаются друг от друга. Определение. Лва прокзвольных ЛП Ь и Ь' называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить такое взаимнооднозначвое соответствие, что если элементам х и у из Ь соответствуют элементы х' и у' из ь"' (записывается: х, у Е Ь х', у е Ь ), та (х+ у) (х'+ у!) д Лх + — ~ Лх').

Отсюда следует: если в случае изоморфизма элементам х, у, ..., х б Ь отвечают элементы х', у',..., х' Е Ь', то линейная комбинация сг1х + агу +... + а!!х является нулевым элементом в Ь тогда и только тогда, если соответствующая линейная комбинация а!х' + азу'+... + агах! является нулевым элементом в Ь'. Но эта означает, что если пространства Ь и Ь! изаморфны, то максимальное число линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же! Лва изаыарфных пространства имеют одинаковую размерность. Следовательно, пространства неравных размерностей не могут быть изоморфными. В курсах линейной алгебры доказывается такое утверждение, Теорема.

Любые два п-мерных линейных пространства изоморфны, Будем считать, !то числа, которые фигурируют в правиле /2 (операция умножения элемента на число) — действительные. Тсв па врос ! рапства В. — действительное линейное пространство. Определение..'1!*йс ! вителы!ог Л1! В. называется действитез!ьиыз! ! вклижи4! !к! Прасгрввс!'во!! Р, (сз!н выполня. ются такие у!','!авия, определено правило 1з, в силу которого ьвабым двум элементам х, у б К ставится в соответствие число с! = х у; правило вычисления и построено таким образом, что выполняются с!!еду!ащие аксиомы евклидова пространства: 1) х у = у х — коммутативпость или симметрия; 2) (х! + хз) у .= х ! .

у + хв у — дистрибутивнасть; 3) (Лх)у = Л(ху) — для любого действительного числа Л; 4) х ° х ) О, если х ф О; х . х = б, если х = О. Еще раз отметим: при ввецепии понятий "линейное пространство" и "евклицаво пространства" мы абстрагируемся не только ат природы элементов, но и от конкретного содержания правил !"!, Л, )з . Важно определить эти правила так, чтобы выполнялись соответствующие аксиомы. Число о = х . у называется скалярным произведением элементов х и у. Таким образом, евклидова пространство — это линейное пространство, для элементов которого (лнбо в котором) определено скалярное произведение.

Рассмотрим примеры построения евклидовых пространств, 1, В аналитической геометрия мы вводили определение скалярного произведения двух векторов; х у' = ~ х+(И' ф+) соз ф, (ф — угол между векторами). Очевидно, что аксиомы 1 — 4 евклидова пространства выполняются. Следовательно, при изучении основ векторной алгебры мы имели дело с трехмерным векторным евклидовым пространством. 2. Пусть М вЂ” множество всех функций, непрерывных на отрезке [а, 6].