Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 5

Каждый набор чисел (хт+1, хт+г, ..., х„) является и — тмерным вектором; максимальное число линейно независимых векторов такой размерности равно и — т. 1) зс+1 = 1, 2) хт+1 = О, 3) хт+1 = О, хт+2 = О, хт+2 = 1~ х,+2 =О, '''> хсс 01 ..., х„= 0; хс'+3 1э ~ с и — 01 (г1., зз,, ",) =. (О, О,, 0).

Итак: х( ) х1 (1) ,(2) Х1 (2) (и-т) Х1 (и-т) х2 (1) 1 0 хт 0 1 (и-т) хг 0 0 , -с Х2= + ) ° ° 1 Хи-т= . (2.7) 36 Простейшая система и — и линейно независимых векторов размерности и — т может быть представлена в виде: ) т+1 =Хс+2 = ° .= О, Хи 1. Пля каждого из зтих и — т наборов свободных параметров по правилу Крамера из (2,6) находим свой набор главных неизвестных (Х1, хя, ..., Х„), на основании чего строим (и — т) линейно независимых и-мсрных векторов: о О 1 Покажем, что получена именно фундаментальная система решений, т.е, любое решение системы (2.5) есть линейная комбинация построенных векторов (2.7).

Пусть х = (Х1, хз, ..., х'„х +1, ..., Х„) — произвольное решение системы (2.5). Рассмотрим вектор — + — с э — с с — > ф Х вЂ” Х Хт+1 Х 1 Хг+2 Х 2 ° ° ° Хи Х (г1, я2, ..., ят, О, О, О, ..., 0)г. Ф > Будучи линейной комбинацией решений х 1, х 2. * с ..., жх„„х, вектор з сам является решением (2.5). с А так как значения всех свободных параметров в х равны нулсо, получим, что набор (з1, гз, ..., г, )' является решением однородной уже гигггезсы (2.6), опречелнтель котором отличен от нуля.

Отсюда; с х '= 0 '=Ф х '=хг+сх~ч хг+2х2+.. тхих'с"" есть линейная комбинация (и — г) линейно независимых ое. шений однородной гистемы (2.5), Ф» Примем без доказательстве, следуюгцее утверждение. Теорема. Если ранг матрицы однородной системы равен т, то система имеет и — т линейно независимых решений. которые образуют фуссдаментальнусо систему решений. Выше был построен пример такой системы оешений. Погтроенная фундаментальная система называется нормаль ной, На основании шяшеизложенного можно сделать следусошие утверждения.

Теорема. Пля того, чтобы система (2.1) имела нетривиальные решения, необходимо н достаточно выполнения неравенства ИйА < и. ° 4 Лействительн, тли Пй;1 = т = и, по правилу Крамера получаем единственное нулевое решение. Если же т ( и, система имеет бесконечно много решений (ведь песовместной она быть не может). » Из показанной теоремы непосредственно вытекает следуюшая, Теорема. Однородная система и х и ггпда и только тогда имеет нетривиальные решения, если ее определитель равен сгулю. чй действительно, условие г)ег А = О здесь необходимо, так как при йег А ф 0 система имеет только нулевое решспсгс . ЗУ: АУ=В д АУ=О. ной: (2.8) зй 38 Этого условия достаточно, так как де~ А = 0 =-'.~ Н8А < н и система имеет бесчисленное мнок<ество ненулевых решений.

я Определение, Общим решением системы (2,4) ранга т(В.8А = т) называется множество всех ее частных решений. В силу доказанного вып~е верно следующее утверждение. Теорема (о структуре общего решения однородной системы). Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений есть линейная комбинация частных решений, принадлежащих фундаментальной системе х = С1 тх~ + Сг х г +...

+ Сп-тХ п-т. 2.4. Неоднородные системы Если В Ф О, система уравнений называется неоднарод ПУсть А б Ктп„,п, В.кА = К8Ар = т, следовательно система совместна. Построим ее общее решение, т.е. всю со'- вокупность ее частных решений. Сопоставим системе (2.8) однородную систему с матрицей А: АХ = Π— зту систему называем приведенной для исходной системы (2.8). Пусть У вЂ” решение неоднородной системы, Š— решение ее приведенной системы. Тогда Х = У + 2' есть решение системы (2.8): А(У+ г) = А У + А Я = В+ О =~ А(У + Е) = В.

Если У~ и Уг - два решения системы (2.8), то (У1 — 1г) — решение привепедлой системы: АУ1=В, .4 1 г = В => А 1'~ — А Уг — -  — В =:. В =~ А(У1 — Уг) = О. Очевидно, что система (2.8) и ее приведенная система не име- ют общего (для них обеих) решения, т.е. Теорема (о структуре общего решения неоднородной системы). Если я - любое решение системы (2.8); х 1, х г,..., х „, — фундаментальная система решений приведенной системы уравнений, то общее решение (2,8) есть сумма + С1 х 1+ Сг * г + + Сп-т х п-т Действительно: пусть х — произвольное решение неоднородной системы: А Х = В, =— ( х — ) + =~ .4 Х = .4(Х вЂ” 2') + .4 л =з =~ В = А(Х вЂ” Я) + В =~ А(Х вЂ” Я) = О, В силу теоремы о структуре общего решения однородной си- стемьп х — я = С1 х 1 + Сг х г +...

+ Сп — „х и —. =:" =~ х = я+С1х1+...+С вЂ” хп-т 1' 3. ЛИНЕЙНЬЖ ПРОСТРАНСТВА 3.1. Основные определения. Примеры линейных пространств Множество М элементов х, у, х,..., е любои природы называется линейным пространством (ЛП), если определены две операции над элементами этого множества: 1) правило Л (псложениеп); Чх, у б МЗ я = х+ у с М— сумма; 2) правило уг (нумножениен на число Л): ЧЛ б В, х И М 3 л =- Ах б М вЂ” произведение элемента х на число Л.

Правила гг и уг таковы, что для элементов рассматриваемого множества выполняются следующие аксиомы ЛП: 1) х + у = у + х - номмутативность операции сложения; 2) х + у+ х = (х + у) + л = х + (у+ з) — ассоциативность апере,ции сложения; 8) 3 О б М: х + О = х, Π— нулевой элемент М; 4) Чх б МЗ х': х + х' = 9, х' .- противоположный дли т элемент множества М; 5) 1 х = х — особая роль числового множителя 1; 6) Л(>пх) = (Л1л)х — ассоциативное свойство числовых множителей; 7) (Л+р) х = Лх+1зх — дистрибутивность операции умножения на число относительно суммы числовых множителей; 8) Л(х + у) = Лх + Лу — дистрибутивность операции умножения на число относительно суммы элементов множества М.

Следовательно, множество элементов любой природы становится чинейным пространством, если над элементами определены некоторые действия (операции) такие, что в силу природы этих операций ныполняются аксиомы ЛП. Весьма важно подчеркнуть, что при введении понятия ЛП мы отвлекаемся це только от природы элементов множества М, но н от конкретного алгебраического смысла операций нсложепиен н "умножение", определенных правилнми Л н 1г.

Рассьцэтрим примеры. 1. Множества всех свободных векторов н трехмерном Иэостранстве. Операции сложения н умножения на число определим так, как это было сделано в курсе аналитической гноме грин. Проверьте справедливость аксиом 1 — 8! ° 2. Множество всех паложителыгых действительных чнсс>о Оп1>елелим операцию нсложеннен ках алгебраическое 40 перемножение чисел х и у; операпию "умножение" элемента х на действите.зьное число — как алгебраическое возведение числа х в степень Л, Тогда роль нулевого элемента рассматриваемого зпюжества будет играть число 1, а противоположным к х элементом множества будет положительное число х' = 1~х.

° Проверьте справедливость аксиом 1 — 8! а 3. Важный пример ЛП: множество, элементами которога являются упорядоченные совокупности произвольных действительных чисел хы хг,..., х . Элементы этого множества будем обозначать символом х; х =(хмхг,хз,,х„). Действительные числа х|,..., х„называются координатами элемента ~х. В анализе зта множество называется арифметическим и-мерньэм пространством. Операпии сложения и умножения элементов на действительные числа определяем правилами: х + у = (хы ..., х„) + (уы ..., у„) = = (х1+ У> ° хи+ Ун)> Л х = Л(хм хг,..., х„) = (Лхы Лхг,..., Лхн). Нулевым элементом множества являет~я О=(О, О,...,О), н.противоположным элементом — х ' = ( — хг, — хг, ..., -х„).

е Проверьте справедливость аксиом 1 — 8! ° В заключение подумайте пад смыслам строк О. Мандельштама: И я ныло>ну нэ пространства В запушенный сан величии И мнимое рву постоянство И сал>осознанье причин. 3.2. Свойства линейных пространств Из аксиом как следствия можно выли,сги некоторые утверждения, справсдливьп для произвольных ЛП.