Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 4

+ аг й г ° (2'2) Покажем, что первые г столбцов матрицы А линейно независимы, Предположим противное. Тогда один из столбцов, например й „линенно выражается через остальные: а; = Д й 1 + /32 й 2 + ° ° + 1?~ — 1 й т-1 Вычтем из т-го столбца матрицы А первый столбец, умноженный на Д, второй столбец, умноженный на,92, и т. д. После таких преобразований т-й столбец матрицы окажется состоящим нз одних нулей. При этом и базисный минор окажется равным нулю. Но определитель при описанных выше преобразованиях не меняет своего значения (см.

свойства определителя). Полученное противоречие и доказывает линейную независимость первых г столбпов матрицы А. Теперь покажем, что остальные столбцы матрицы линейно выражаются через первые г ее столбцов. Рассматриваем любой минор порядка т+ 1 матрицы А, который образуем окаймлением базисного минора элементами произвольного 1-го столбца и й-й строки. Например от+1 = (1 < >с < пз, т < 1 < ). аз1 азг ... азт ам Очевидно> Ьт+1 = О, Напишем разложение минора Ьт 1-1 по последней строке: Ьт+1 = а1>1А1+ азгА2+... + ацАт+1 = 0 (*) Через А; (1 < з < т + 1) мы обозначили алгебраические дополнения элементов последней строки.

Из (д) получаем, так как А,+1 = 1зт ~ 0 А> ам = стзаЬ1+огазг+...+сттаьт ~й; = — — ' (* ) Ат+1~ Значения алгебраических дополнений А1, Аг, ..., А, зависят от выбора номера столбца 1, но не зависят от выбора к (номера окаймляющей строки), так кэк при вычислении А; последняя строка вычеркивается. Перебирая номера окаймляющих строк й = 1, 2,..., тп, из (дд) получим: >хзйП + тхгй12 + + сттй1 аы Ст1а21 + Стгагг + ° ° ° +»>тйгт о1аЗ1 +стгаэг + +сттаэт а21 а1= аЗ1 стзйтд1 + огйтдг + ° .. + сттатт>т =Ь а 1 = о1 а 1 + >эг а г + стэ а З +... + >э, а „, 30 аы а12 Базисный минор а„1 а,г й1т ) й1[ 1 йт> ~ йм т.е. Ой столбец (т < 1 < тп) есть линейная комбинация столбцов матрицы, элементы которых составляют базисный минор, В Итак, ранг матрицы, равный порядку ее базисного минора, ранен максимальному числу ее линейно независимых столбцов. Следствие 1.

Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, так как прн транспонировании матриды строкк становятся столбцами, а миноры сохраняют свои значения. Следствие 2. Пля того чтобь1 определитель был равен нулю, необходимо н достаточно линейной зависимости его столбцов (строк). Таким образом, чтобы вычислить ранг матрипы, нужно определить порядок ее базисного минора. Перебирать же всевозможные миноры матрицы в поисках базисного — занятие весьма трудоемкое, Проще всего находить базисный минор (а следовательно, определять ранг матрицы) с помощью так называемых элементарных преобразований матрицы. Определение.

Элементарными называ1отся следутощие преобразования матрицы: 1) умножение строки на некоторое число Л ф 0; 2) линейное комбинирование строк; 3) трапспозиция строк; 4) аналогичные преобразования со столбдами, Теорема (об элементарных дреобразованиях). Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы. 4 При умножении некоторой строки на число Л базисный минор либо не изменяется, если элементы этой страки не попали в него, либо становится равным произведению исходного базисного минора на это число; линейное комбинирование строк матрицы либо не изменяет базисный минор, либо делает его равным сумме миноров (по свойству определителей); транспозндия строк может изменить только знак базисного минора, Прн всех этих преобразованиях порядок базисного минора сохраняется, поэтому ранг матрицы не изменяется.

й Неизменность ранга матрицы при элементарных преобразованиях столбцов матрицы основана на равноправии строк и столбцов определителя. ЛюбУю матРицУ А,ах„(пз < н) с помощью УпомкнУтых преобразований можно привести к виду аы О 0 ... О ( ац,+1 ... а1„ О азз 0 ...

О ~ азг+г .. аз, О 0 О ... а г / а...+1 ... а„„ 0 О О ... 0 0 ... 0 0 О О ... 0 0 ... О =~ЯуА=г. Здесь сразу видно, где расположен базисный минор и каков % его порядок. 2.2. Критерий совместности системы Понятие о ранге матрицы дает эффективное условие совместности системы уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли. Система совместна тогда н только тогда, если ранг ее матрицы равен рангу соответствующей расширенной матрицы: Система'совместна с==э Пя А = НО Ар.

4 Перепишем систему (2,Ц в векторном виде: а1з а1„ аз1 + азз + + аз„ =ЭХ|а1+яэаэ+...+Хпаа= В. (23) Необходимостга пусть система уравнений совместна, т,е. найдетск система чисел (Й1, йз, ..., йа) такак, что (2.3) удовлетворяется тождественно. Тогда вектор В есть линейная комбинация векторов а1, а з,,..., а „и в расширенной матрице Ар последний столбец есть линейная комбинация всех столбцов матрицы А; добавление к системе а1, а З, ..., а а ВЕКтОРа 3 НЕ УВЕЛИЧИТ ЧИСЛа ЛИНЕЙНО независимых векторов в расширенной системе а 1, ааз, ...

..., а „, В. Поэтому КйА = КкАр. Постаточность: пусть Пй А = Ий Ар = г. Это значит, что Ь„ф 0 есть базисный минор для матриц А и Ар. Следовательно, В = а1 а 1+ аз а з +... + а, а,, т.е. столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, в состав которых входят столбцы базисного минора. Существует, например, такое решение системы (2.1): Х = (а1,..., а„,О,..., 0) /убедитесь в этом, используя представление системы (2.3)/. Таким образом, система совместна.

й 2.3. Однородные системы. Теорема о структуре обшего решении Система, линейных алгебраических уравнений называ..».ся однородной, если вектор-столбец свободных членов есть нуль: АХ = О, (2.4) где Π— пулевая матрица столбец. 32 ЗЗ Очевидно, что система (2.4) всегда совместна, так как Таким образом, из системы (2.4) получаем т уравнений с и неизвестными: Совместность следует также из наличия нулевого (тривиаль.

ного) решения, Отметим полезное свойство однородных систем: если векторы жх и Уу — решения (2.4), то любая их линейная комбинация ах +Д у = х также является решением (2,4): АХ=О и АУ=О; АЯ = А(Х+ У) = А(Х)+ А(У) = АХ+АУ = О. Эдесь и-мерным векторам жх и у~ соответствуют матрицы- столбцы Х и У, их линейной комбинации х — вектор столбец Я, полученный в виде линейной комбинации столбцов Х и У. Отсюда следует, что однороднал система имеет бесконечно много решений, если существует хотя бы одно нетривиальное решение. Определение.

Линейно независимая система решений (2.4) называется фундаментальной системой решений, если любое решение (2.4) есть линейная комбннапия решений этой системы. Теорема (о существовании фундаментальной системы решений). Если ВлА < и, то однороднвл система уравнений имеет хотя бы одну фундаментальную систему решений. «$ Пусть ВдА = т и базисный минор располагается в верхнем левом углу матрицы (если это не так, то всегда можно при помощи транспозиции столбцов матрицы, т.е. фактически при помощи переименования неизвестных, и транспозиций строк — перестановки уравнений — "загнать в угол" базисньгй минор). Тогда в расширенной матрице первые 1 строк линейно независимы, а т + 1-я, ..., т-я строки являются нх линейнымн комбинациями.

Это значит, что т + 1-е, т+ 2-е, ..., т-е уравнения системы есть следствия первых т уравнений, и поэтому они могут быть отброшены. 34 а11х1 + а12 хг +... + а1„х„= О, а21х1+ аггхг +... + аг„х„= О, (2.5) а,1х1 + а,2хг +... + а,их„= О. Те неизвестные, коэффициенты при которых входят в состав базисного минора, объявляем главными, остальные — свобод- ными параметрами: х1, хг,, х„— главные неизвестные; х„+1, х,+2, ..., х„— свободные параметры. Свободным параметрам можно придавать любые значения. Перенесем в (2.5) в каждом уравнении слагаемые со свободными параметрами в правую часть: а11х1 + ага хг +... + а1„х„= = — (а1 „+1хт+1 +... + а1„Х„) = В11 а21х1 + ага хг + .

+ агтхе = = -(а2, т+1хт+1 + .. + агихи) - =В2; (2.б) ат1х1 + атгх2 +... + аттхт = = — (а,,+1х,+1 +... + а,„х„) = В,. Выражения (2.6) есть система т уравнений с т неизвестными н неравным нулю определителем Ьт ф О. Любой систе-. ме В1, Вг, ..., В„т.е. любому набору значений свободных параметров х,+1,..., х„соответствует единственный набор переменных х1, хг,..., х„которые могут быть найдены, например, по правилу Крамера.