Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 3

Введем символы Кронекера (частный случай символов Леви-Чивйта): (1, если Й=э, б,=с (О, если кфэ. Справедливы формулы А,".а' = 6~~ с1ес А; ~ь аяАЬ~ — — бь, с1ес А; (1.8) чб Лействительно, если в (1.8) Ь = э, то эти формулы дают разложения определителя: по 3-му столбцу — первая формула; по 3-й строке — вторая формула. Если 3 ~ Й, то в левых частях (1.8) записаны разложения определителя: с 19 АЗ= Е, ВА=Е.

А1 А2 Асс 1 ''' 1 А1 А2 ... А" а! а2 ... а„ 1 1 1 п2 п2 сс2 1 2 ''' сс 1г а" а" ... а" 1 2 ''' сс А1 А2 1 2 1г Ав Ап !2 и Ах Ах Ая ~!с ! 2 сс — (АА") = Е; с1е! А 20 двумя одинаковымн столбцами — первая формула; с двумя одинаковыми стрсжами — вторая формула, Такие определители равны нулю. йх 1Л. Обратная матрица. Решение матричного уравнения Пусть А б К„х„.

Для каждого ее элемента а' вычи. у сляем его алгебраическое дополнение !; . Образуем матрицу алгебраических пополнений; транспонируя ее, получаем при соединенную матрицу: Внимательно рассмотрим формулы (1,8): первая формула определяет значение элемента (А" А)~, полученного в результате умножения матрицы А на матриду А слева; вторая — значение элемента (АА")~, полученного в результате умножения матрицы А па А" справа; элементы единичной матрицы (Е)~ = бзЬ.

Поэтому А" А = (с1есА).Е; АА" = (с1ез А)Е. (1.с1! Определение. Матрица В е Кххс называется обратной к матрице А с К!ха если Общепривятос обозначение для обратной матрицы: В =А ) АА 1=А 1А=.Е. (1.10) Теорема (о единственности обратной матрицы). Если А ! существует, то онц единственна (т.е, матрицы, обладающей свойством (1.10) и отличной от А, не существует!).

4 Доказываем от противного: ну<:ть наряду с,4 существует матрица С со свойствами (1.10). Умыожим слева матричное равенство АА = Е на матрицу С: С(АА ')=СЕ=>(СА)А '= С=ХЕА '=СхссЗА !=С!. Таким образом, если удастся построить матрицу А со свойствами (1.10), то другой такой матрицы, отличной от построенной, ие будет. Ь Теорема (о существовании обратной'матрицы.) Матрица, обратная к А е Каха, существует тогда и только тогда, если с1е1А ф О.

4 Необходимостсс Ля! 1 =.х с1есА ф О. По (1.10): АА 1 = Е ~ с1ес(АА !) = с1е1Е =~ с!е1(АА 1) = с1е! А с1е1А 1 = 1 =.х с1еС А ~ О. Достаточность: с1е1А ф 0 =х 3А 1. Существование обратной матрицы докажем конструктивно: построим А По формула и (1. 9): А — А" =Е=~Л 1= А". йх Л1 2 ''' '1и хз 1 2 — Аз Аз Аз я1ел А Лп Ап,41л 1 2 '' и АХ = В, (1.11) 1 йе$ А Е УАп 1=1 23 Отсюда получаем алгоритм построения обратной матрицы: 1. Вычисляем определитель матриды А. Ксли я1ег А ф О, выполняем следующие действия.

2. Строим матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А, 3. Транспонируем матрицу алгебраических дополнений, получаем присоединенную матрицу А". 4. Умножаем матрицу А' на (1/я(ел Л), т.е. делим каждый элемент ме,трицы А" на число я1ел А. Полученная матрица и есть''искомая обратная матрице,. Если определитель матригяы не равен нулю, она называется обратимой или невырожденной. Рассмотрим систему п уравнений с и неизвестными: алх1+ а!хз+... + а! хп = 61 1 2 '' п 2 1 2 2 2 и 2, алх +азх +...+апх =6; т ) а1х + азх + ... + а„хп = 6"; Введем в рассмотрение матрицы-столбцы неизвестных и сво- бодных членов: Х-(х',хз, ) В-(61 62 6 )т. Тогда данную систему можно записать в матричной форме что является равенством двух матриц (АХ) и В. Решением системы (1.11) называется любая совокуп- НОСТЬ ЗНаЧЕНИй НЕИЗВЕСТНЫХ Х1 = О1, Х2 = О2,..., Хп = а, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества, Пусть бе! Л ~ О =з ЭА 1.

Умножиля равенство (1,11) слева на матрицу Л А (АХ) = А 1В =з (А 1А)Х = = А 1В =~ ЕХ = А 1В =~ Х = А 'В. (1.12) Получено решение системы, которое является единственным в силу единственности обратной матрицы. Таким образом, система линейных алгебраических уравнений п х и с невырожденной матрицей имеет единственное решение. Внимательно рассмотрим равенство (1.12); Х = 21 В = ~ — А" ~В = — (АпВ) ==з ~, я1е1 Л,~ я1ег А 6'А, '+ 6'А'+...

+ 6п Л' 1 11 12+62 12+ +1пЛ2 яяе! Л 61Ап + 62Ап + + 6пЛп и ~ 6'Л, 2; 6'А, =~ хй = — ' (1 = 1, и). (1.13) бе1 А Равенства (1.13) про'к"гавля1от собой правило Крамера; Чтобы вычислить 1-е неизвестное системы (1,12), нужно в определителе системы заменить 1'-й столбец столбвом свободных членов; полученный определитель раздели гь на ЙеС А.

хг — х1 хг(хз — х1) хз — х1 хз(хЗ вЂ” х1) 1.6. Определитель Вандермонда Определитель вида 2 3 ха-1 1 х1 1 2 3, — 1 1 х2 хз х2 ... хз 1 О О Ь„(х1, хз, хз ..., х„) = ], х„хз хЗ ... х,", х" 1 — х" Зх1 а а 1 ха — х1 х — хах1 ,2 в котором первый столбец (строку) занимают единицы, вто рой столбец (строку) — некоторые элементы в первой степени, третий столбец (строку) — зги же'алементы во второй степени н т.д., называется определителем (деть рминаптом) Вапдермонда.

Определители такого типа возникают в некоторых важных теоретических исследованиях. Вычислим определитель Вандермонда методом мадама. таческой индукции. Очевидно, что 1 х х 2 ''' 2 1 х„... х"„ ~г(хы хг) = х. — х1. При вычислении Лз(х1, хз, хз) вычтем из третьего столбца второй, умноженный на х1, нз второго — первый, умноженный на х1, тогда, 2б 1 х1 Х2 '1 х2 *2 хг ΠΠ— Х2 — ХЗХ1 1 х~ ~1 хз — хзх~ = (Х2 — Х1)(ХЗ вЂ” Х1)ЬЗ(ХЗ, ХЗ) = (Х2 — Х1)(ХЗ Х1)(*3 Х2). Предполагаем, что аналогичная формула верна. для определителя и — 1-го порядка. В определителе а-го порядка вычтем из каждого столбца, начиная со второго, предшествуюп1ий столбец, умноженный на х1: 2 и — 1 а — 2 Х2 — Х1 Х2 — ХЗХ1 ...

ХЗ вЂ” ХЗ Х1 Палее, из второй строки выносим множитель (хз — х1), из третьей — (хз — х1) и т. дц 1 хЗ .. хз Ьа = (Х2 — Х1)(ХЗ вЂ” Х1) ° (Ха Х1) = (х2 х1)(хз — х1) ° (ха х1)11а — 1(х2э хз~ ' ' ' ~ ха) = (хз — х1)(хЗ вЂ”.х1)... (ха — хг) П (х1 — ху) = а>1>У>2 П (х; — ху). Здесь символ П означает произведение всех биномов (х, — х ), где индексы 1 и 1' принимают предписанные значения.

(2.1) 4=(а1 '12 аг ° ° аа) Обозначим: ам агг .. аз а ат1 ат2 ата а11 а12 а1з . а1 61 ат1 атг атЗ ати Зт 2. РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ огРАВНЕНИЙ В этой главе будем изучать системы т х о (условиьн я применять индексацию на одном уровне): амх1 + азгхг +... + а1„х„= Ь1, аг1х1 + аггхг +... + агах = 62, ат1х1 + атгхг +... + ат„х„= бт. а21 а22 ага А= — матрица системы. х = (х1 х2 хз, х„) — вектор-столбец неизвестных; 8 = (й1, Ьг, 6З, ° °, эт) — вектор-столбец свободным членов. Система совместна, если существует хотя бы одно ее решение. В противном случае система называется несовместной. 11ополннв матрицу А столбцом свободных членов, получим расширенную матрицу: а21 агг агЗ ага Ар —— 2.1.

Ранг матрицы. Теорема о ранге Рассмотрим матрицу Ат„„. Каждый ее столбец, состояший из т элементов, назовем т-мерным вектор-столбцом: аь = (а1Ю агя аЗЬ, атя), Й = 1, а. т Тогда сама матрица может быть представлена как совокуп- ность т-мерных векторов: В курсе аналитической геометрии даны следуюшие понятия линейной зависимости векторов (неважно, какова их размерность). Система а 1, а г, а з,..., а „называется линейно зависимой, если сушествуют п чисел (хотя бы одно из них не равно нулю) таких, что соответствующая лнненная комбинация векторов системы равна нуль-вектору: За1, аг, ..., а„(а, р': О): а1 а 1 + аг а г + ...

+ аа а „ = 0 . Система линейно независима, если > а1 а 1+ а2 а 2+ .. + аа а „= 0 =э а1 = а2 = аз =... = О. Вполне очевидны следуюшне предложения (докажите их, основываясь на знаниях из области аналитической геометрии): 1. Система из з столбцов (э векторов) линейно зависима, если хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных (либо некоторых из них) з — 1 столбцов. 2, Если в систему столбцов ввести нулевой столбец, то полученная система будет линейно зависима.

3. Если некоторые из столбцов линейно зависят между собой, то и вся система является линейно зависимой. а1э й11 й12 Базисный минор а,1 а,2 (а р1 О): 29 4. Любая подсистема из линейно независимой системы столбцов является линейно независимой. 5. Если некоторый столбец есть линейная комбинация 1 столбцов — + — з + й =о1й1+озйз+,..+оэй Ф то а является также линейной комбинацией любой системы столбпов, в которую вехтора й1, из,..., й, вхопят кал подсистема. В мэтрице Азха будем рассматривать различные квадратные подматрицы А,к„и вычислять их определители, которые для исходной матриды будут минорами г-го порядка (г < т1п(гп, и)). Определения. Минор Ь, называется базисным ми- НОРОМ МатРИПЫ А,ак„, ЕСЛИ Ь, 14 О, а ВСЕ МИНОРЫ 1эг+1 = О (если все миноры г + 1-го порядка равны нулю, то будут ли миноры более высоких порядков также равными нулю?).

Рангом матрицы А(КбА) называется порядок ее базисного минора. Иными словами, ранг матрицы есть наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Теорема (о базисном миноре). В матрице Аээ х„каждый столбец, не входящий в состав столбцов базисного минора, есть линейная комбинация столбцов матрицы, которые входят частично (или полностью) в состав базисного минора. 4 ПустьвматрицеА=(й1, й2,..., й„а,+1,... ..., й „) базисный минор располагается в левом верхнем углу матрицы: йтд1 йт2 ., йтпг пиал+1 йжй Теорема утверждает, что для любого номера ? (г < < 1 < п) существует система коэффициентов а1, аз, ..., а, у й - а~~ а 1 + а12 а 2 +...