Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 11

Следовательно, число слагаемых и преобразованной форме равно рюпу матрицы А. Ь Теорема (основная теорема о квадратичных формах), Любая квадратичная форма может быть приведена невырождеппым преобразованием к каноническому виду. ° Покажем: В Р(!!е! Р ф 0): А' = Р! А Р =- !!!ак. Все собственные числа, самосопряжсиного оператора А действительны. Им принад!!сжаз и изаим!и! оргогоналъных собственных векторов, которые образуют базис (и) = = ( х'2, х 2,..., х „). То!пи матрица искомого преобразования есть матрица преобразовании исходного ОНБ .(с) в найденный ортогоиальный базис (х); х = ср. В базисе собственных векторов матрипа линейного оператора имеет диагональную форму: (с) — (х) (собственные векторы) =» =з А = РгА Р = <Пай.

Слецовательно, квадратичная форма имеет канонический вид, Ь Вй 7.2. Закон инерции квадратичной формы Выше было показано, как квадратичная форма приз«>- дится к каноническому виду. Заметим, что описанный способ приведения — один из возможных: сугцествует множество линейных преобразований исходного базиса,, которые приводят квадратнчну1о форму к каноническому виду.

Выведем общее свойство различных канонических представлений квадратичной формы. Определение. Нормалы1ым видом квадратичной формы называется ее представление в виде суммы квадратов переменных с коэффициентами (+1) и/яли (-1). По основной теореме о квадратичных формах существует преобразование Р,' Д~1> Хг> ° > «) — > 1(Х1> Хг>... > Хг) = >2 >2 >2,>2 С1«1 +... + С«ХЬ вЂ” С1>+1«1+1 —... — с„х„ Здесь все коэффициенты с1 > О; введем новые переменпьпп «; = ~/с;«> ==> =>~ У(«1 > «2» ««l = «1 + 2 2 2 2 «+1 '' « Это нормальный вид квадратичной формы.

Оказывается: несмотря на то, что квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими способами, с точностью до обозначения переменных она приводится лишь к одному нормальному виду! Этот замечательный факт вытекает из следующего предложения: Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных н число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами невырожденным преобразованием переменных, не зависит от выбора этого преобразования. 91 + «2 + .+ уя у«+1 Уг> (*) '1 + «г + . + «1 — «1+1 — " — «(«) ~'Ь;у*,( =1, ); 1=1 ',> с;,х, (з = 1,п). Йе1Р~О, р,= (7,1) (7.2) >1е«Я~О, «,= В силу (*) н (»*) Р-1 2+ 2 У( 2+ г Следовательно, У1 + ° + УЬ У«+1 ° Э'г = 2 2 2 2 2 2 2 2 = «1 + "+ «1 — «1+1 — " — «' (' * «) рассуждаем от противного: пусть й ф 1, л < 1.

Закон инерции у гверждает, что й = 1. Число положительных квадратов в нормальном представлении квадратичной формы называется положительным индексом квадратичной формы; число отрицательных квадра. тов называется отрицательным индексом. Обозначим положительный индекс через П, отрицателю>ый индекс — через Х. Число и = П вЂ” М называется снгнатурой квадратичной формы. Итак, снгцатура квадратичной формы является инвариантом линейного преобразования. Пусть найдены преобразования Р и Я: 90 На основании формул преобразования ( х — у ) и ( х — «) запишем однородную систему 1с + (и — 1) линейных уравнений относительно х1, хэ, ..., х„(число уравнений меньше числа неизвестных): у, = О, ц = О, ..., уь = О; «1+! = О, «1+я — — О, , «в = О.

Данная система имеет ненулевые решения; пусть одно из них х" = (11, 1З,, .., 1„) у'- О. Заменим теперь в равенстве (я * *) все у и «их выражениями (7.!) и (7.2) и подставим вместо:с1, хз,..., х„числа Если для краткости через д(1) и «(1) будут обозначены значения переменных у и «, получающиеся после такой подстановки, то (* ь в) в силу (7.3) преврашаеггя и равенство 2 (1) 2(1) «2(1) + + 2(1) Так как все коэффициенты в (7.!) и (7.2) действительные, и> все квадраты, входящие в равенство (7.4), положительны, а поэтому из (7.4) следует равенство нулю всех этих квадратов.

Отсюда получаем; (7.5) «1(1) = О . «1(1) О' В силу того, что числа 11,1э,..., 1„есть решения системы (7.3), имеем; «1.!.!(1) = О,, «т(1) = О> «и(1) = О. (7.5~ Таким образом, система и линейных однородных уравнений (7.5) — (7.6): «, = ~~> с„х > —— О (! = 1, а) с и неизвестными х1, хэ, ..., х„имеет, согласно (7.5) и (7.6), ненулевое решение х* = (11, 1э,...> 1„); т.е. определитель этой системы должен быть равен нул>о.

Но преобразование (7,2) — невыроясденное: с!ег(сО) ф О! К аналогичному противоречию мы придем и при 1с > ! (ради упражнения проведите выкладки). Отсюда следует равенство 1с = 1, доказывающее закон ннерпни. Итак, ранг и сигнатура квадратичной формы есть нн. варианты. Определение. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если равны их ранги н равны нх сигнатуры. Теорема (об эквивалентных квадратичных фс>рмах). Две квадратичные формы тогда и только тогда переводятся друг в друга, если опи эквивалентны. » Доказательство проведите самостоятельно. е 7.3, Положительно определенные квадратичные формы Определение.

Квадратичная форма от и переменных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, содержащему и положительных квадратов. Вд Дх1> хя, ..., .х„) = и Л сг = и ==:Э ==; 3 Р; 1 «! + «2я + .. + 4 Квадратичная форма положительно определена, если ее значения положительны при любых значениях переменных (кроме, разумеется. случая, когда все х обращаются в нуль, х; га О).

Пусть А - лгатрица квадратичной формы; главными минорами квадратной матрицы называются ее диагональные минорьп 93 а1! а!2 Ь! = а!1, Ьг = , 112= аг! агг ам а!г а1З аг! ага агз аЗ1 авг аЗЗ В силу леммы, де!А = Л > 0 (псе остальные главные миноры больше нуля по предпо!!ожедию индукции!), Достаточность; ~1312)'''~и>О~У(х1)'сг)''')'га) Лемма. Если квадратичная форма подвергается цевыроисденному преобразованию, то знак опредслител» сс матрицы сохраняется (т.е. знак матрицы формы есть инвариант невырожденного линейного преобразования): Р(бее Р ф О) =ь А' = РтА Р; Йе1А' =- ае1(Р А Р) = = (дее Рт) (с)е1 А) (пес Р) = (!)ес А) (ое1 Р) =ь щп!А~! = в!Кп(А( (в)йппп! — знак числа). Теорема (Критерий Сильвестра).

Квадрати !пая форма положительно определена тогда и только тогда, если все главные миноры ее матрицы положительны: ~ > О ч=ь 211, 212, ..., 21, > О. М Доказательство проведем методом математической индукции. При и = 1 очевидно: а11хг > 0 ч=ь а11 > О. Пусть для квадратичной формы от и — 1 переменных теорема верна: ~(х1,хг), х 1) > Оч=ь Ь1, Ьг),) Ьа-1 > О (ч) Необходимость: у(х1, х,,..., х„) > О =Ь 211,..., Лг, 21„> О. Квадратичная форма положительно определена, т.е. 3 Р: 1" -1 х21 + хгг +...

+ хг, =ь !)е1 А! = НесЮ = 1 > О. Представим квадратичну!о форму от п .!ерех!енпых как форму от и — 1 переменных плюс поп!о!витез!ьн1,!е члены, содержа!ци.е хе; и — 1 У(х1: хе) = )(х1, ..., х„1) + 2 ~~ аь„хьхп + а„„хг. Ь=.1 Пусть С вЂ” преобразование, переводящее форму 2(х1, хг,..., х„!) и нормальный вид; матрица преобразования с с1! сьг ... с С= (и-1) ) ~(п-!) 2 !(а-Ц (е — 1) Если рассмотреть преобразование с матрицей с!! с!2 ... с! (и !) О .........,....0 с(7 -!), 1 с( — 1),2 ' с( — 1),( — 1) О 0 0 0 1 то исходная квадратичная форма от и неизвестных примет вид е — ! У1 + уг + + ра ! + 2 2 ЬЬеуере + ааеу„=— г г,г ч 2 Ь=! и-1 я — 1 - =~~~,(ул + 6Ь р,)~ + (- ~~!, йге„ + а, )у~~, »=1 2=1 Введем обозначение и-1 с = — р Ььп + аи„ 2 й=-1 к рассмотрим преобразование: «1 Р1 ~ Ь1пуп~ «2 = Р2 + Ьги.уи1 «п-1 = Рп-1 + Ьи-1, и Рп~ «и Рп1 0 О ° ° О ь1и о 7 о ...

о ьги =З бесЯ =.: 1 ф О ООО ..,1Ьи,. О О О ... 0 1 преобразование невырожденное. Таким образом имеем: п-1 С У(х1~ хг~ ...~ хп) ~ ~ (УЬ + Ььпуп) + срп1 й=1 Я: У(Р1, Рг,, Р ) «1 + «2+ + «„1+ с« . 2 2 2 2 Определитель матрицы, полученной квадратичной формы ра.вец с; так как Йе1А > О, то в силу инвариантностя знака определителя матрицы квадратичной формы: с > О. Теперь при помощи преобразования Л: и1 = «1, 2 = 2,..., ип 1 = «и 1, и„= З/С« приводим квадратичную форму к нормальному виду: Л: у(«1, «2, , «„) и21 + и22 + ... + иг, =~ =-'З Х(Х1, Хг,, Хи) — ФОРМа ПОЛОжИтЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕНа.

й Определение. Квадратичная Форма называется отрицательно определенной„ если ая Форма которая приводится к нормальному виду, содержащему и отрицательных квадратов переменных: 3 Р(пес Р Ф 0): 7(х1, хг,, хп) — «, — «2 —... — «2. Следствие из теоремы Сильвестра, Для отрицатель.: ной.определенности квадратичной формы необходимо' и достатоино, чтобы последовательность главных миноров ее матрицы была знакочередуюшейся: г(х1, хг,..., х ) < О к=~ с=о Ь1 < О, Ьг > О, Ьз ( О,..., згкпг.'1п = ( — 1)", Действительно, чтобы форма — а, х,х, была отрицательно определенной, необходимо и достаточно чтобы п — — ~~> (-а;.)х;х; > О. О У=1 Отсюда и получаем чередование знаков при вычислении главных миноров (убедитесь в этом самостоятельно!) 97 ЗАКЛЮЧЕНИК СПИСОК РЕКОМЕНЛУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Прочитанный Вами труд не является курсом линейной акгебры, воспринимать его следует как вспомогательный материал к тем лекциям, которые Вы слушаете.