Задачи повышенной сложности по разным разделам высшей математики (для желающих) (Семинары)

Теория множеств-1. I-IIсем.

Опр1. Множества и имеют одинаковую мощность, если существует взаимно-однозначное соответствие . Мощностью конечного множества называется количество его элементов.

Если бесконечное множество равномощно множеству натуральных чисел N, то называется счётным множеством, а его мощность (алеф-нуль).

Доказать:

1. объединение конечного числа счётных множеств счётно;

2. объединение счётного множества счётных множеств счётно;

3. множество рациональных чисел счётно;

4. множество всех действительных чисел несчётно;

5. множество всех подмножеств множества имеет мощность большую, чем . ;

6. (теорема Кантора-Шредера-Бернштейна) .

Действительные числа-1. I-IIсем.

Опр2. Числовое множество называется множеством меры нуль, если семейство (конечное или счётное) интервалов, содержащее в себе все точки , и общей длиной меньше .

Доказать, что любое счётное числовое множество есть множество меры нуль.

Действительные числа-2. I-IIсем.

Опр2. Числовое множество называется множеством меры нуль, если семейство (конечное или счётное) интервалов, содержащее в себе все точки , и общей длиной меньше .

Найти ошибку в рассуждениях:

Утв. Множество R действительных чисел – есть множество меры нуль.

Доказательство. 1) множество Q рациональных чисел счётно;

2) любое счётное числовое множество есть множество меры нуль.

Фиксируем произвольное . Найдём систему интервалов, общей длины и выкинем её из R.

О ставшееся множество точек обозначим через . Так как между любыми двумя действительными числами всегда найдётся хотя бы одно (а, и много) рациональное число, то множество не содержит ни одного отрезка (интервала), поэтому оно состоит только из отдельных точек. Это могут быть только точки, граничные для выкинутых интервалов. Их не более, чем счётное множество, так как каждый выкинутый интервал имел только две граничные точки, а объединение конечного числа счётных множеств счётно. Покроем это множество системой интервалов, общей длиной . Получим, что все точки множества R покрыты системой интервалов, общая длина которых меньше заданного .

Действительные числа-3. I-IIсем.

Опр1. Множества и имеют одинаковую мощность, если существует взаимно-однозначное соответствие . Мощностью конечного множества называется количество его элементов.

Если бесконечное множество равномощно множеству натуральных чисел N, то называется счётным множеством, а его мощность (алеф-нуль).

Доказать, что множество точек интервала равномощно множеству точек квадрата .

Д ействительные числа-4. I-IIсем.

Опр1. Множества и имеют одинаковую мощность, если существует взаимно-однозначное соответствие . Мощностью конечного множества называется количество его элементов.

Если бесконечное множество равномощно множеству натуральных чисел N, то называется счётным множеством, а его мощность (алеф-нуль).

На множестве точек числовой прямой ввести линейное пространство размерности 2, 3, .

Интеграл Римана-1.

Привести пример функции, непрерывной в точке , но не интегрируемой по Риману ни по какому промежутку, содержащему .

Дифференциальное исчисление-1.

Привести пример функции, дифференцируемой в точке , но имеющей точки разрыва в любой окрестности нуля.

Функциональные ряды-1. IIIсем.

Рассмотрим последовательность функций

Проверить, что 1) равномерно на сходится к 0;

2) длина графика на при всех N равна .

Объяснить, почему это не противоречит тому, что длина графика предельной функции равна 1.

Функциональные ряды-2. IIIсем.

Рассмотрим последовательность функций .

1) Проверить, что равномерно на сходится к 0;

2) Найти ошибку в рассуждении:

а) имеют точки разрыва только в . Множество всех точек, на котором хотя бы одна функция из имеет разрыв, счётно. Выбросим из систему интервалов, покрывающих все эти точки, общей длины . Оставшееся множество точек обозначим .

б) – компакт, т.е. ограничено и содержит все свои предельные точки.

в) На множестве последовательность равномерно сходится к 1.

г) Для компакта верна теорема о почленном дифференцировании ФП.

д) Поэтому .

ТФКП-1. IVсем.

Найти конформное отображение единичного круга с выброшенными отрезками длины :

на .

ТФКП-2. IVсем.

Найти конформное отображение полосы с выброшенным лучом

на .

ТФКП-3. IVсем.

Найти конформное отображение верхней полуплоскости с выброшенным сегментом

на .

ТФКП-4. IVсем.

Найти конформное отображение полуплоскости с выброшенными отрезками , где Z, на .

ТФКП-5. IVсем.

Найти конформное отображение внешности креста

на верхнюю полуплоскость. Что при этом отобразится на нижнюю полуплоскость?

ТФКП-6. IVсем.

Найти конформное отображение внешности снежинки

на верхнюю полуплоскость. Что при этом отобразится на нижнюю полуплоскость?

ТФКП-7. IVсем.

Найти конформное отображение верхней полуплоскости с

двуугольником на .

УМФ-1. Vсем.

Привести пример не равной тождественно нулю функции, гармонической в круге и равной 0 на границе круга, кроме одной точки этой границы.