LinAl5 (Электронные лекции)

3. Спектр оператора

Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.

Опр. A – оператор с простым спектром, если , где различны и принадлежат основному полю.

Пример: операция поворота плоскости .

,

Корни A – оператор с простым спектром над , но не над .

4. Диагонализируемые операторы

Опр. A – диагонализируемый оператор, если существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A, т.е. A имеет в некотором базисе матрицу диагонального вида

Лемма. Если - собственные векторы оператора A с различными собственными значениями, то они линейно независимы.

Индукция по k.

k=1 – очевидно. Пусть k>1.

- собственные значения и . Тогда , т.е. . Одно из чисел отлично от 0. Пусть . Тогда и (по индукции) все коэффициенты

Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

, , с простым спектром.

, различны.

Каждому соответствует по лемме векторы линейно независимы, т.е. - базис V (а это и есть определение диагонализируемого оператора)

Обратное не верно(например, тождественный оператор).

Теорема. A диагонализируема

1. все корни принадлежат F

2. геометрическая кратность любого корня равна его алгебраической кратности

1.

Пусть A диагонализируема, , его собственные значения, dim V = n, - матрица A в некотором базисе из собственных векторов.

Перенумеруем(если необходимо) базис V:

Вычислим :

Все его корни лежат в F (т.к. разложим на линейные множители)

Геометрическая кратность:

Алгебраическая кратность:

Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.

2.

Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.

Тогда ,

Рассмотрим сумму подпространств . Если , , то по предыдущей лемме , т.е. - прямая сумма. Кроме того,

5. Минимальный многочлен оператора

Пусть , , где - единичный оператор.

Опр. - аннулирующий многочлен для оператора А, если

Опр. называется минимальным многочленом А, если

1. - аннулирующий многочлен.

2. Любой другой аннулирующий многочлен делится на без остатка.

Лемма. существует и определен однозначно(с точностью до скалярного множителя)

(а) Существование аннулирующих многочленов.

Пусть А – матрица А. Тогда матрицы линейно зависимы если N > n², где , т.е. , где - аннулирующий многочлен.

(б) Существование минимального аннулирующего многочлена.

Пусть и - два аннулирующих многочлена для А и - НОД.

Тогда тоже аннулирующий многочлен аннулирующий многочлен степени k

(в) Единственность минимального аннулирующего многочлена.

Пусть - аннулирующий многочлен степени k, - аннулирующий многочлен.

Тогда их НОД тоже аннулирующий многочлен степени k, делит , но это значит, что = НОД(f,g), а значит делится на минимальный аннулирующий многочлен, кроме того, мы так же доказали и его единственность

6. Теорема Гамильтона-Кэли

Пусть

Теорема. (оператор А аннулируется своим характеристическим многочленом)

Обозначим ,

Тогда и существует собственный вектор

Построим базис , где . Тогда матрица А в этом базисе имеет вид:

, где B – матрица (n-1)x(n-1)

Поэтому

Положим и обозначим через B линейный оператор с матрицей B в базисе . Так как то можем применить индукцию по (с очевидной базой n=1). И так, пусть . Тогда так как , то . Вычислим . Ясно, что , а следовательно , . С другой стороны, . Очевидно, что

Подполя в

Примеры:

Следствие 1. Пусть - пространство над , . Тогда .

Пусть А- матрица в А в некотором базисе .Рассмотрим n-мерное пространство над и оператор B на этом пространстве с той же матрицей А. Тогда . По теореме Гамильтона-Кэли: , т.е. , что и требовалось доказать.

Следствие 2.

1. Характеристический многочлен делится на минимальный

2. Если - корень , то - корень

(1) следует из теоремы Гамильтона-Кэли и определения

(2) Пусть - все комплексные корни . Пусть - корень . Тогда . Так как , то

Заметим, что . Поэтому

Но . Значит, , т.е. - один из