1_4_Формирование пространственного изображения (Лекции от Цветкова), страница 8

Естественно, ОПФ можно записать и в тригонометрической форме. Используя формулу Эйлера, имеем

_(7.36)

Интегралы, обозначенные через C и S, называются соответственно косинус-преобразованием и синус-преобразованием функции рассеяния и представляют собою действительную и мнимую части комплексной функции A(). Поэтому модуль комплексной функции

_(7.37)

а аргумент может быть определен из соотношений

(7.38)

Для уяснения смысла модуля T() и аргумента () комплексной ОПФ рассмотрим более подробно, как изображается отдельная частотная составляющая объекта системой, имеющей известную функцию рассеяния.

Возьмем объект, имеющий косинусоидальное распределение интенсивности (рис. 7.6, а):

(7.39)

где I₀ — постоянная составляющая.

Если функцию рассеяния линии (при текущей переменной ξ) обозначить через A_l(), то интенсивность изображения можно записать в виде

(7.40)

Интеграл в первом слагаемом представляет собой нормированную функцию рассеяния линии и равен единице. В подынтегральном выражении второго слагаемого применим формулу косинуса разности двух углов:

(7.41)

Рис. 7.6. Косинусоидальный объект (а) и его изображение (б)

Два интеграла в (7.41) — это знакомые нам по формуле (7.36) косинус-преобразование C и синус-преобразование S функции рассеяния. Следовательно, умножив и поделив на , получим

_(7.42)

Дроби C() и S() согласно (7.38) равны

(7.43)

Учитывая также выражение (7.37), получим

_(7.44)

Таким образом, изображение косинусоидального объекта (рис. 7.6, б) остается косинусоидальным и имеет такую же пространственную частоту, как объект. Тем не менее изображение (7.44) отличается от объекта (7.39) двумя особенностями.

Первая особенность состоит в том, что модуляция (отношение амплитуды переменной составляющей распределения к среднему значению — к постоянной составляющей) для изображения меньше, чем для объекта. В объекте m_o = I₁/I₀, а в изображении m_i =
= I₁T()/I₀, т. е.

(7.45)

Таким образом, значение модуля T() оптической передаточной функции для каждой пространственной частоты равно отношению модуляции гармонической составляющей в изображении к модуляции этой составляющей в объекте и называется коэффициентом передачи модуляции (КПМ) системы.

Совокупность значений КПМ для различных пространственных частот составляет функцию передачи модуляции (ФПМ) системы.

Следует отметить, что для значения пространственной частоты  = 0 значение T() = 1, что легко проверить подстановкой  = 0 в выражение (7.37). Примерная форма ФПМ показана на рис. 7.7, а.

Рис. 7.7. Вид функции передачи модуляции (а) и фазы (б)

Вторая особенность заключается в том, что распределение интенсивности в изображении отличается от распределения в объекте еще и сдвигом косинусоиды на () (в угловой мере).

Совокупность значений сдвига (смещения) фазы () для различных пространственных частот составляет функцию передачи фазы (ФПФ) системы. Линейное смещение косинусоиды ∆x
(рис. 7.7, б) должно составлять, очевидно, такую же часть от периода, т. е. от 1/, какую фазовый угол сдвига () составляет от 2π, т. е.

Для  = 0 угол () = 0, что легко проверить подстановкой  = = 0 в формулу (7.38).

Форма ФПФ существенно зависит от симметричности функции рассеяния A() относительно оси ординат.

В случае симметрии, т. е. если A() = A(–), функция рассеяния является четной. Тогда произведение — нечетная функция (ввиду нечетности синуса), а синус-преобразование S() в формуле (7.37) оказывается равным нулю для всех значений (как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах), т. е. функция передачи фазы равна нулю или . Отметим, что при симметричной функции рассеяния A()

(7.46)

При асимметричной функции рассеяния (для оптических систем это может быть на краю поля зрения, при дефектах центрирования и др.) функция передачи фазы для может принимать значения между + и – (см. рис. 7.7, б).

7.7. Зрачковая функция и ее связь
с оптической передаточной функцией

Введенные понятия передаточных функций дают возможность связать оптическую передаточную функцию системы с так называемой зрачковой функцией.

Эта функция описывает, как изменяется под действием оптической системы структура световой волны, исходящей из произвольной точки объекта M (рис. 7.8) и попадающей на входной зрачок 1 оптической системы. Эта световая волна является сферической, так как все лучи исходят из одной точки M. Поэтому сфера с центром в точке M, проходящая через центр O входного зрачка системы, представляет собой волновую поверхность постоянной фазы.

Рис. 7.8. Волновая аберрация оптической системы:

1 — входной зрачок; 2 — выходной зрачок

На выходе из оптической системы, имеющей аберрации, форма этой волны отступает от сферической, поэтому лучи, вышедшие из системы и являющиеся нормалями к реальной волновой поверхности, после оптической системы уже не сходятся в одну точку M.

Зададимся целью определить, насколько поверхность вышедшей световой волны, рассматриваемой вблизи выходного зрачка 2 системы, отступает от идеальной сферической. Образуем для этого так называемую сферу сравнения с центром в точке M, проходящую через центр O выходного зрачка.

Текущие координаты точек на сфере сравнения обозначим u и v (ось u — в плоскости рис. 7.9, а ось v перпендикулярна к ней и на рисунке не показана).

Рис. 7.9. Дифракция плоской волны на апертуре оптической системы

Отметим отрезки между реальной волновой поверхностью и сферой сравнения, отсчитывая их вдоль того луча, который проходит через интересующую нас точку (u, ) сферы сравнения. Эти отрезки (на рис. 7.9 они обозначены как ) могут быть различными для разных точек (u, ); их называют волновой аберрацией лучей, проходящих через систему.

Волновая аберрация дает сдвиг фазы волны Подчеркнем, что такие сдвиги определяют фазу именно на сфере сравнения. Действительно, на реальной волновой поверхности фаза (по определению такой поверхности) постоянна. Добавляя отрезки , можно перейти от этой поверхности к сфере сравнения. Так как сфера сравнения располагается у выходного зрачка оптической системы, то «работает» лишь участок сферы, соответствующий размерам выходного зрачка.

Зрачковая функция учитывает не только волновую аберрацию, но и коэффициент пропускания, который в общем случае может быть различным для разных точек сферы (u, ). Если коэффициент пропускания по интенсивности обозначить то понятно, что амплитудный коэффициент пропускания равен Как правило, пропускание света приблизительно постоянно по всей площади выходного зрачка, и, считая его стопроцентным, можно положить = 1 в пределах контура выходного зрачка, а вне этого контура зрачковая функция равна нулю, т. е. принимается, что за пределами зрачка = 0.

В общем случае зрачковая функция P(u, ) может быть представлена как комплексная:

(7.47)

причем модуль , т. е. коэффициент пропускания по площади зрачка, определяет уменьшение амплитуды пропускаемой световой волны, а аргумент — сдвиг фазы волны, вызванный волновой аберрацией ∆(u, ).

7.8. Связь комплексной амплитуды изображения
со зрачковой функцией

Чтобы определить значение комплексной амплитуды на выходе из оптической системы, т. е на сфере сравнения у выходного зрачка, нужно комплексную амплитуду на входе системы умножить на (для учета коэффициента пропускания системы) и на (для учета фазовых сдвигов, вызываемых волновой аберрацией системы), т. е. просто умножить на из формулы (7.47). Это значит, что комплексная амплитуда волны на выходе из оптической системы пропорциональна зрачковой функции системы.

Напомним, что нас прежде всего интересует распределение комплексной амплитуды U(x) в плоскости изображения. Рассмотрим, как оно связано с распределением комплексной амплитуды на выходе из системы, пропорциональным зрачковой функции. Для упрощения возьмем одномерный случай и приведем функцию P (u, ) к P(u), но результаты можно будет распространить на случай и

При изучении связи U(x) с P(u) учтем, что размеры зрачков оптической системы всегда ограничены и из-за дифракции изображение точки получается не точечным, а в виде дифракционного пятна рассеяния (см. рис. 7.8). Это происходит даже при отсутствии аберраций, т. е. если реальная волновая поверхность на выходе из системы имеет сферическую форму.

Рассмотрим оптическую систему, эквивалентную бесконечно тонкой линзе. Пусть в плоскости входного зрачка этой линзы расположена прямоугольная (щелевая) апертура, на которую падает параллельный поток (плоская волна) излучения (см. рис. 7.9).

Поскольку это одномерный случай, будем считать, что в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 7.9, все параметры потока постоянны, а длина апертуры не ограничена. При обозначении координат в плоскости апертуры будем использовать u и , сохраняя традиционные обозначения x и y для плоскости объектов и x и y для плоскости изображений.

Параллельный пучок должен фокусироваться линзой в фокусе F плоскости изображения (x, y), находящейся на фокусном расстоянии f  от апертуры (см. рис. 7.9). На апертуре происходит дифракция, поэтому свет попадает не только в фокус F, но и в произвольные точки M  вблизи фокуса. Излучение от каждой точки плоской волны до точки M  будет доходить с некоторой разностью хода и соответствующим сдвигом фаз, нежели до фокуса F.

Суммарная амплитуда потока, попадающего в точку M , может быть получена суммированием вкладов от элементов шириной du волнового фронта.

В области апертуры можно представить некую поверхность, расстояние от каждой точки которой до точки M будет одинаковым. Если расположить эту поверхность до входного зрачка линзы, то она будет плоскостью, расположенной под углом к падающей плоской волне. Возникающую вследствие этого оптическую разность хода до точки M  от соответствующих точек падающей волны и от аппроксимирующей плоскости обозначим , тогда фазовый сдвиг будет равен .