1_4_Формирование пространственного изображения (Лекции от Цветкова), страница 4

(6.35)

Предположим, что на отверстие падает сферическая волна

(6.36)

исходящая из одиночного источника в точке x_s, расположенного на расстоянии r_s от x_o (см. рис. 6.8, а). Если расстояние r_s во много раз больше длины волны, то (6.35) сразу можно упростить:

(6.37)

Этот результат, справедливый для случая, когда отверстие освещается одиночным точечным источником, известен как формула дифракции Френеля — Кирхгофа.

Рассмотрим одну полезную интерпретацию формулы (6.37). Перепишем ее следующим образом:

(6.38)

(6.39)

Исходя из выражения (6.39), можем считать, что поле в точке x_i создается бесконечным множеством вторичных точечных источников, расположенных в пределах самого отверстия. Амплитуда вторичного источника, расположенного в точке x_o, пропорциональна амплитуде волны, исходящей из точки x_s.

Однако, во-первых, амплитуда вторичного источника отличается от амплитуды падающей волнымножителем ^–1, т. е. амплитуда колебания вторичного источника обратно пропорциональна длине волны. Во-вторых, эта амплитуда уменьшается за счет коэффициента наклона , который никогда не превышает единицы и всегда положителен. В результате каждому вторичному источнику соответствует анизотропная «картина направленности». В-третьих, фаза излучения вторичного источника в точке U(x_o) отличается от фазы падающей волны на 90°, что следует из наличия в выражении (6.39) множителя 1/j.

Эти любопытные свойства вторичных источников были, по существу, предсказаны Френелем. Математический вывод Кирхгофа показал, что эти свойства объясняются волновой природой света, при этом были уточнены некоторые интуитивные предположения Френеля.

Формула дифракции Рэлея — Зоммерфельда

Отметим, что приведенные выше краевые значения Кирхгофа математически противоречивы. Из теории потенциала известно, что если на некотором участке замкнутой поверхности функция и ее производные по нормали равны нулю, то они должны быть равны нулю и на всей замкнутой поверхности, которой является поверхность S. В этом случае выражение (6.39) вступает в противоречие с реальной физической ситуацией.

Для того чтобы выйти из этого положения, Зоммерфельд предложил в формуле (6.33) так изменить функцию Грина G, чтобы эта функция обращалась в нуль на всей поверхности W, но вывод приведенного выше выражения все же оставался справедливым.

Для этого новая функция Грина G_ должна подчиняться следующим условиям:

1) удовлетворять волновому уравнению;

2) быть равной нулю на поверхности W;

3) совпадать с функцией G при r_i = 0, т. е. в точке x_i.

В этом случае отпадает необходимость наложения граничных условий одновременно на U и , тем самым устраняются противоречия теории Кирхгофа. Введение этой вспомогательной функции ничего не меняет по существу, но облегчает математическое решение. При выполнении названных условий в выражении (6.33) устраняется математическое противоречие, а само оно значительно упрощается, так из него исключается первый член подынтегрального выражения.

Согласно Зоммерфельду, предположим, что функция G_ создается не только точечным источником, помещенным в точку x_i, но и вторым точечным источником в точке

Точка представляет собой зеркальное изображение точки x_i и лежит по другую сторону экрана (см. риc. 6.8, в). Пусть оба источника имеют одинаковую длину волны, а излучения этих источников сдвинуты по фазе на 180°. Функция Грина в этом случае имеет вид

(6.40)

где — расстояние между точками и x_o.

Функция (6.40) удовлетворяет всем условиям функции Грина. Она обращается в нуль на поверхности плоского экрана и переходит в функцию G в точке x_i. В этой точке функция так же как и функция G. Соответствующая производная от функции G_

Для точки x_o на поверхности S₁ имеем r_i = ; cos(n, r_i) =
= Следовательно, на поверхности S₁ функция G_( x_o) =
= 0, тогда

(6.41)

Таким образом, на всей поверхности S₁ функция Грина G_ в виде выражения (6.40) обращается в нуль, что устраняет противоречия теории Кирхгофа. Подставив функцию (6.41) в (6.33), получим

(6.42)

Выражение (6.42) — это дифракционное уравнение Рэлея — Зоммерфельда. Для упрощения расчетов обычно вводят некоторые ограничения на соотношения входящих в уравнение (6.42) параметров.

Приближение Кирхгофа

Приближение Кирхгофа применимо в тех случаях, когда расстояние r_i от отверстия до точки наблюдения во много раз больше длины волны . Это условие уже использовалось нами при выводе формулы дифракции Френеля — Кирхгофа (6.37). Для контактной фотолитографии это условие означает, что зазор между фотошаблоном и пластиной z во много раз превышает длину волны экспонирования, т. е. из условия следует, что В этом случае и выражение (6.42) можно записать как

(6.43)

Выражение (6.43) является интегралом Кирхгофа. Приведем его к виду, сравнимому с результатами, полученными ранее (см. формулу (6.37)). Пусть, как и прежде, отверстие освещается сферической волной из точечного источника, расположенного в точке x_s (см. рис. 6.8, a). Тогда

(6.44)

Уравнение (6.44) отличается от аналогичного уравнения (6.37) Френеля — Кирхгофа только значением коэффициента наклона.

Отметим, что формула (6.43) представляет собой выражение принципа Гюйгенса — Френеля в виде интеграла суперпозиции, который можно записать следующим образом:

(6.45)

где весовая функция определяется выражением

(6.46)

В выражении (6.46) член уравнения описывает сферическую волну, расходящуюся из точки (0, 0, 0), а коэффициент наклона (см. рис. 6.8, а). Физический смысл параметров j и  рассмотрен при анализе уравнения (6.37).

Таким образом, функция представляет собой сферическую волну, распространяющуюся из точки x_o и умноженную на коэффициент наклона. При этом каждая точка x_o отверстия W служит источником таких волн, которые суммируются в точке x_i.

Приближение Френеля

Дальнейшие упрощения можно получить, принимая некоторые приближения для величины r_i. Следуя Френелю, будем полагать, что расстояние z между экраном (объектом) и плоскостью наблюдения (изображением) значительно превышает максимальный линейный размер окна W (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Формирование изображения в приближении Френеля

Кроме того, будем предполагать, что в плоскости наблюдения рассматривается только конечная область вблизи оси Z и что расстояние z намного больше максимального размера этой области, т. е.

Выражение (6.46) для функции принимает вид

т. е.

где

Точная формула для расстояния r_i (см. рис. 6.9) будет выглядеть так:

(6.47)

Разложение Тейлора для квадратного корня дает следующую аппроксимацию его первыми двумя членами разложения:

_(6.48)

С учетом этого приближения, которое называют приближением Френеля, в выражении для функции h можно сделать следующие упрощения:

 для амплитудного члена выражения провести аппроксимацию первого порядка:

 для фазового члена выражения провести аппроксимацию второго порядка:

В результате весовая функция в приближении Френеля будет иметь вид

(6.49)

Таким образом, когда расстояние z достаточно велико по сравнению с размерами объекта и изображения, можно использовать приближения Френеля. При этом сферическая волна вторичного источника заменяется параболической, а коэффициент наклона

Вернемся теперь к выражению (6.43) и перепишем его как интеграл суперпозиции с бесконечными пределами. При этом положим, что в соответствии с граничными условиями Кирхгофа функция U(x_o, x_i) за пределами отверстия W равна нулю. В результате выражение (6.43) в приближении Френеля примет вид

_(6.50)

Дифракция при контактной фотолитографии

В большинстве случаев для оценки профиля распределения интенсивности при контактной фотолитографии используется дифракционное уравнение в приближении Френеля, так как оно легко преобразуется к одномерному виду. Это существенно снижает трудоемкость расчетов.

Предположим, что прозрачное квадратное окно на фотошаблоне со стороной W равномерно освещено нормально падающей плоской монохроматической волной единичной амплитуды. Для данного случая формулу (6.48) можно переписать в виде

(6.51)