1_4_Формирование пространственного изображения (Лекции от Цветкова), страница 6

Чем меньше изображение отличается от объекта по распределению световой энергии, тем выше качество оптической системы. Двумерный объект можно характеризовать значениями освещенности I_o в каждой точке некоторого участка плоскости, т. е. математически представить объект в виде функции I_o(x_o, y_o) двух независимых переменных.

Представим соответствующее изображение как функцию освещенности I_i(x_i, y_i) на плоскости, а изображающую систему, в частности оптическую, в виде математического оператора, который показывает, как нужно подействовать на функцию объекта I_o(x_o, y_o), чтобы получить функцию освещенности изображения I_i(x_i, y_i). Такое воздействие оптической системы можно описать по крайней мере двумя различными способами.

Первый способ основан на представлении изображения состоящим из множества точек. Освещенность каждой из них зависит от значений яркости сопряженной точки объекта и соседних с нею точек.

Второй способ базируется на теории Фурье и заключается в представлении функции любого объекта и его изображения в виде сумм составляющих специального вида, а именно синусоидальных гармонических составляющих с различными частотами, амплитудами и начальными фазами. В таком случае воздействие оптической системы можно описать с помощью так называемых передаточных функций.

При обоих способах предполагают, что оптическая система, создающая изображение объекта, должна удовлетворять определенным требованиям, т. е. быть линейной и изопланатичной.

Свойство линейности означает следующее: если объектам I_o1 и I_o2 соответствуют изображения I_i1 и I_i2, то объекту I_o = aI_o1 + bI_o2 должно соответствовать изображение I_i = aI_i1 + bI_i2 при любых значениях множителей a и b. Следовательно, значение освещенности изображения, получаемое при суммарном воздействии нескольких значений яркости объекта, равно сумме значений освещенности, которые получаются от каждого из этих значений в отдельности.

Изопланатичность системы означает, что в ней форма функции рассеяния точки и линии сохраняется в пределах изучаемого участка изображения. Оптические системы обеспечивают выполнение этого условия не по всей площади изображения, а лишь в пределах ограниченных участков поля зрения, называемых изопланатическими зонами.

7.3. Связь между объектом и изображением

Изображение, построенное оптической системой, всегда отличается от объекта тем, что переходы между соседними частями получаются в изображении более плавными, чем в объекте, а границы — как бы размытыми.

Для учета действия оптической системы (т. е. для установления связи между объектом и изображением) объект обычно представляют в виде совокупности простых по форме элементов, причем таких, чтобы действие оптической системы на каждый элемент в отдельности можно было бы полностью изучить, а также описать математически. Если такие элементы в сумме составляют объект, то, суммируя действие оптической системы на отдельные элементы объекта (что допустимо ввиду линейности системы), можно полностью описать элементы изображения.

Примем два допущения, не искажающие анализа качества изображения.

1. Будем считать масштаб изображения равным единице и обозначим координаты в плоскостях объекта и изображения одинаково (x, y), так как их числовые значения совпадают (при всех расчетах должно учитываться конкретное значение масштаба).

2. Не будем учитывать снижение освещенности изображения в зависимости от эффективного относительного отверстия системы, а две величины — яркость объекта и освещенность изображения — назовем интенсивностями применительно к рассматриваемому случаю некогерентного освещения.

В качестве элементов простой формы, на которые можно разложить объект, обычно выбирают светящуюся точку и бесконечно длинную светящуюся линию (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Получение изображений простейших объектов:

а — точки; б — линии

Изображение отдельной светящейся точки объекта в действительности никогда не может быть бесконечно малой точкой. Даже если оптическая система не имеет аберраций, изображение точки представляет собой протяженное пятно рассеяния из-за дифракции на диафрагме, ограничивающей апертуру оптической системы. В частности, при круглой форме зрачка оптической системы пятно рассеяния имеет вид известной дифракционной картины с центральным диском Эри, окруженным кольцами
убывающей интенсивности. Математически распределение интенсивности в изображении изолированной точки описывается функцией рассеяния точки A(x, y), график которой приведен в правой части рис. 7.2, а.

Поскольку представляет интерес лишь относительное распределение интенсивности I, удобнее нормировать функцию рассеяния, приняв объем под ее графиком за единицу:

(7.3)

Изображение бесконечно длинной светящейся линии можно получить суммированием бесконечного количества светящихся точек, расположенных вдоль нее. Поэтому математическое описание изображения, называемое функцией рассеяния линии (или щели) A_l(x) (рис. 7.2, б), имеет вид

(7.4)

Из формул (7.3) и (7.4) следует нормировка функции рассеяния линии:

(7.5)

Функцию рассеяния точки (и линии) в литературе иногда называют импульсным откликом (или импульсной реакцией). Это название пришло из радиотехники и теории связи, где оно применяется для описания формы выходного сигнала, если на вход устройства подан бесконечно короткий импульс. Понятно, что в случае оптических систем аналогами такого импульса являются бесконечно малая (не имеющая протяженности) точка и бесконечно узкая щель (см. формулы (7.3) – (7.5)).

7.4. Свертка

Простые по форме элементы объекта, такие, как точка или линия, изображаются проекционной оптической системой в виде функций рассеяния. Чтобы определить интенсивность I_i(x) в некоторой точке x изображения, нужно просуммировать ординаты функций рассеяния, полученные от точки объекта с той же координатой x и от соседних точек объекта, функции рассеяния которых вносят свой вклад в интенсивность в точке x.

Математическая операция, позволяющая провести такое построение, называется сверткой. Для пояснения смысла операции свертки воспользуемся свойствами прямоугольной (единичной импульсной) функции.

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов f(x) (рис. 7.3, а), у которых с ростом номера уменьшается ширина, но увеличивается высота, в связи с чем площадь импульса остается постоянной и равной единице.

Рис. 7.3. Прямоугольные функции:

а — последовательность прямоугольных импульсов; б — единичный импульс;
в — сдвиг и масштабирование единичного импульса

Выберем узкую длинную прямоугольную функцию x, определенную в интервале от до и имеющую высоту 1/ (рис. 7.3, б). При умножении функции x на постоянную (например, a) площадь под графиком функции также увеличится в a раз. Смещение графика этой функции вдоль оси X на расстояние b приведет к вычитанию b из переменной x: (x – b) (рис. 7.3, в).

Суммируя импульсные функции, масштабированные различными постоянными и смещенные на разные расстояния вдоль оси X, можно получить такие совокупности импульсов, которые будут описывать любые произвольные функции.

Рассмотрим последнее утверждение более подробно.

Согласно определению отклик пространственно инвариантной системы на сумму импульсов будет равен сумме откликов системы на каждый отдельный импульс. По известному отклику системы на единичный импульс можно найти отклик системы на единичный импульс, увеличенный в a раз и смещенный на расстояние b. Другими словами, мы можем найти отклик на каждый импульс из совокупности, составляющей I(x), т. е. отклик всей функции I(x).

Математически приведенное выше положение сформулируем следующим образом.

Во-первых, представим I(x) в виде суммы импульсных функций x (рис. 7.4, а) шириной  и высотой 1/. Для каждого конкретного значения x, например x =  (рис. 7.4, б), высота единичной функции равна I(x) и эта функция сдвинута на  от центра.

Соотнесем между собой значения функции I(x) и прямоугольной функции x. При x =  высота в раз больше высоты функции x, так как . Следовательно, прямоугольную функцию при x =  можно представить в виде

(7.6)

Обратим внимание на то, что — это сдвинутая прямоугольная функция, а I(x) — это, по существу, масштабный коэффициент — аналог a (см. рис. 7.3, в).

Изменяя значения , получаем набор прямоугольных функций, сумма которых описывает входную функцию, т. е. распределение интенсивности на объекте I_o(x):

(7.7)

Во-вторых, найдем отклик системы на отдельный импульс. Пусть прямоугольной функции x на входе оптической системы соответствует функция A_l(x) на выходе (рис. 7.4, в).

Из пространственной инвариантности системы следует, что смещение входной функции на  вызывает такое же смещение выходной функции A_l(x), не изменяя ее вида. Таким образом, входная прямоугольная функция (7.6) размывается оптической системой (рис. 7.4, г) и на выходе описывается выражением

(7.8)

В-третьих, объединим отклики на входные импульсы (см. рис. 7.4, г). Совокупности импульсных функций, описывающих распределение интенсивности на объекте I_o(x), соответствует сумма выходных функций, описывающих распределения интенсивности в изображении I_i(x):

(7.9)