1_4_Формирование пространственного изображения (Лекции от Цветкова), страница 3

Из уравнения (6.13) следует, что умножение комплексного числа на увеличивает его фазу на π/2, т. е. поворачивает вектор, соответствующий этому числу, на 90 против хода часовой стрелки.

Аналогичный результат можно получить, если представить исходное число в виде суммы действительной и мнимой частей. Пусть U = a + jb — напряженность волны, которая на комплексной плоскости представлена модулем и проекциями a и jb, при этом результат умножения U на j имеет вид

Напомним, что модуль комплексного числа определяется выражением

(6.15)

Векторы U и jU имеют одинаковый модуль, однако умножение вектора U на j приводит к его повороту на 90. Напомним также, что два комплексных числа, отличающихся друг от друга только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число, сопряженное с комплексным числом U = a + jb, обозначается как U^*= a – jb. Произведение UU^* равно квадрату модуля комплексного числа и не зависит от аргумента (т. е. от фазы), так как

(6.16)

Формулу (6.16) часто используют для записи соотношения между комплексной амплитудой гармонического колебания (например, световой волны) и интенсивностью электромагнитного поля (последняя выражает яркость объекта или освещенность изображения). Интенсивность поля, т. е. средняя по времени энергия, протекающая в единицу времени через единицу площади, пропорциональна квадрату амплитуды световой волны: . Тогда

(6.17)

6.4. Скалярная теория дифракции

Уравнение Гельмгольца

Зависимость между возмущением точки P, ее координатами (x, y, z) и временем t, выраженная в дифференциальной форме, называется волновым уравнением.

Для его получения следует найти частные производные второго порядка от возмущения по времени t и координате x и сравнить их между собой:

(6.18)

Применив обозначение оператора Лапласа, запишем скалярное волновое уравнение в виде

(6.19)

В большинстве физико-оптических явлений частота колебаний остается неизменной ( = const), поэтому выражение при расчетах обычно опускают. В таком случае волновое уравнение для комплексной амплитуды предельно упрощается:

(6.20)

Волновое уравнение в виде выражения (6.20) называется уравнением Гельмгольца. Этому уравнению должна подчиняться комплексная амплитуда любого монохроматического возмущения, распространяющегося в свободном пространстве.

Теорема Грина

Учтем, что в соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля волновой фронт распространяется от источника излучения во все стороны и вторичные источники образуются во всем объеме, окружающем рассматриваемую точку (см. рис. 6.5, a).

Таким образом, возмущение среды в точке x_i будет определяться суммарным действием колебаний, исходящих из каждой точки объема, с учетом их амплитуд и фаз. Однако даже если точно известны распределения амплитуд и фаз вторичных источников, интегрирование по объему даже простейшего вида представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу. Поэтому необходимо эквивалентно заменить действие объема, в котором находится рассматриваемая точка, действием поверхности, окружающей этот объем. Это позволит перейти от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности. Такой переход возможен с помощью теоремы Грина, которая формулируется следующим образом.

Пусть U(x) и G(x) — две произвольные комплексные функции координат, а S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Если функции U и G, их первые и вторые производные однозначны и непрерывны внутри объема, ограниченного поверхностью S, и на самой этой поверхности, то

(6.21)

где — частная производная в каждой точке поверхности S, взятая по направлению внешней нормали к этой поверхности.

Теорема Грина является основным звеном теории дифракции. Ее суть состоит в следующем.

Полагаем, что функция U(x), выражающая возмущение светового поля в каждой точке поверхности S, известна. Если для той же точки мы сможем подобрать вспомогательную функцию G(x), обладающую перечисленными выше свойствами, то по теореме Грина можно провести эквивалентную замену интеграла по объему интегралом по поверхности.

Замена объемного интеграла поверхностным дает огромную экономию вычислительных ресурсов. Поэтому включение в расчеты некоей вспомогательной функции, не имеющей прямого физического смысла, представляется вполне оправданным.

Выбор функции Грина G и замкнутой поверхности S существенно влияет на конечный результат. В различных курсах по физической оптике приводятся конечные формулы, полученные при различных значениях этой функции.

Для выяснения сходства и различий этих формул проведем их дальнейший анализ.

Интегральная теорема Гельмгольца — Кирхгофа

Рассмотрим прежде всего выбор функции Грина, сделанный Кирхгофом, и интегральную теорему, следующую из этого вывода.

По существу, нам необходимо выразить оптическое возмущение в точке x_i через значение этого возмущения на поверхности S (рис. 6.8, а). Следуя Кирхгофу, выберем в качестве функции Грина G(x) сферическую волну единичной амплитуды, распространяющуюся из точки x_i. Такая функция G (так называемая функция Грина свободного пространства) для произвольной точки x_o поверхности S имеет вид

(6.22)

где — длина вектора, направленного из точки x_i в точку x_o.

Рис. 6.8. Дифракция на плоском экране

а — трактовка Кирхгофа; б — поверхность интегрирования; в — трактовка Зоммерфельда

Для использования теоремы Грина необходимо, чтобы функция G(x), ее первая и вторая производные были непрерывными в объеме V, ограниченном поверхностью S. Поскольку точка x_i является точкой разрыва (при x_i функция G(x) имеет особенность), ее необходимо исключить из области интегрирования. Для этого окружим x_i небольшой сферической поверхностью S_ радиусом  (рис. 6.8, б). Затем применим теорему Грина, причем интегрирование будем вести по объему заключенному между поверхностями S и S_.

Поверхностью интегрирования будет в данном случае поверхность = S + S_. Внутри объема возмущение G(x), представляющее собой расходящуюся сферическую волну, удовлетворяет уравнению Гельмгольца

(6.23)

Используя оба уравнения Гельмгольца (6.20) и (6.23) для преобразования левой части формулы Грина, получаем

(6.24)

Тогда теорема (6.21) преобразуется к виду

или

(6.25)

В формуле (6.25) функция U(x) характеризует возмущение поля на поверхности в некоторой точке x_o, а функция G(x) —воздействие на эту точку сферической волны единичной амплитуды, расходящейся из точки x_i, т. е. функции Грина. Поэтому для этой точки

(6.26)

Производная по нормали функции Грина приобретает вид

_(6.27)

где cos(n, r_i) — косинус угла между направлением внешней нормали n и вектором r_i, соединяющим точки x_i и x_o.

Для частного случая, когда точка x_o лежит на поверхности S_, имеем cos(n, r_i) = –1 и выражения (6.26) и (6.27) принимают вид

(6.28)

Если , то в силу непрерывности функции U (и ее производных) в точке x_i можно записать

_(6.29)

При этом полагалось, что интеграл — это объем, опирающийся на площадь S_. При площадь значение а объем равен произведению значений площади основания и функции в точке x_i. Подстановка полученного результата в (6.25) дает

(6.30)

Соотношение (6.30) представляет собой математическую запись интегральной теоремы Гельмгольца — Кирхгофа. Она позволяет выразить параметры поля в любой точке x_i через граничные параметры волны на любой замкнутой поверхности, окружающей эту точку.

Применение интегральной теоремы

Рассмотрим задачу о дифракции на отверстии в бесконечном непрозрачном экране. Предполагается, что возмущение от точечного источника с координатой x_s падает сверху на непрозрачный экран с отверстием, как показано на рис. 6.8, а. Необходимо рассчитать параметры поля в точке x_i за отверстием.

Воспользуемся интегральной теоремой Гельмгольца — Кирхгофа, выбрав соответствующим образом поверхность интегрирования. Следуя Кирхгофу, возьмем замкнутую поверхность S таким образом, чтобы она состояла из двух частей (см. рис. 6.8, а). Пусть плоская поверхность S₁, лежащая сразу за дифракционным экраном, замыкается большим сферическим колпаком S₂ радиусом R с центром в рассматриваемой точке x_i. Полная замкнутая поверхность S образована поверхностями S₁ и S₂, поэтому интеграл (6.21) имеет вид

(6.31)

где, как и прежде,

При увеличении R поверхность S₂ принимает форму полусферической оболочки. Можно показать, что интеграл по S₂ не будет давать вклада в общий интеграл.

Граничные условия Кирхгофа

Устранив интегрирование по поверхности S₂, можно выразить возмущение в точке x_i через возмущение и его производную по нормали, взятые на бесконечной плоскости S₁, расположенной непосредственно за экраном:

(6.32)

Экран непрозрачен везде, кроме открытого отверстия, которое мы обозначим W. Кирхгоф принял следующие предположения.

1. На отверстии W распределение поля U и его производная имеют точно такие же значения, какие они имели бы в отсутствие экрана.

2. На той части поверхности S₁, которая лежит в области геометрической тени экрана, распределение поля и его производная тождественно равны нулю.

Эти граничные условия Кирхгофа лежат в основе скалярной теории дифракции. Первое условие позволяет определить возмущение, падающее на отверстие, пренебрегая наличием экрана, а второе дает возможность пренебречь интегрированием по всей поверхности, за исключением самого отверстия.

Формула дифракции Френеля — Кирхгофа

С учетом условий Кирхгофа выражение (6.30) запишем в виде

(6.33)

Обычно полагают, что расстояние r_i от отверстия до точки
наблюдения во много раз больше длины волны. При этом выражение (6.27) можно преобразовать к следующему виду:

_(6.34)

Подставляя приближенное выражение (6.34) и выражение (6.26) для G в (6.30), находим, что