Выражение (6.51) можно представить в виде произведения двух интегралов:

(6.52)

где

(6.53)

После замены переменных

интегралы (6.53) существенно упрощаются:

(6.54)

Пределы интегрирования определяются соотношениями

(6.55)

Традиционно интегралы A(x_i) и B(y_i) выражают через интегралы Френеля:

(6.56)

Учитывая, что

определяем:

(6.57)

Подставив (6.57) в (6.52), можно получить распределение комплексной амплитуды:

_(6.58)

Соответствующее распределение интенсивности излучения имеет вид

_(6.59)

Уравнение (6.59) применяют для расчета двумерных дифракционных распределений, например на углах топологических элементов. Его также можно развить для случая, когда маскирующее покрытие фотошаблона не является полностью непрозрачным.

Выражение (6.59) легко преобразуется для одномерного случая, когда окно на шаблоне представляет собой узкую длинную щель, т. е. когда . Учитывая, что и получаем для сечения щели:

(6.60)

Уравнение (6.60) при соответствующем выборе пределов интегрирования пригодно для расчета дифракции на наборе полос, т. е. на дифракционной решетке.

Расчет дифракционного распределения для элемента в виде одномерного длинного окна наиболее прост и может быть выполнен даже вручную с использованием таблиц функций Френеля. В этом случае расчетная схема (см. рис. 6.9) упрощается и приводится к виду, показанному на рис. 6.10. Учитывая симметричность получаемой кривой распределения относительно центра окна, расчет можно проводить лишь для половины кривой.

Положительную область изображения — от нуля вправо — следует разделить на n расчетных интервалов (n  20). Нулевая точка и n точек в начале интервалов будут иметь координаты , где k = 0...n.

Рис. 6.10. Расчетная схема дифракции при контактной фотолитографии

Для каждой из этих точек вычисляют значения пределов интегрирования по формуле (6.55). Далее по известным таблицам находят интегралы Френеля, соответствующие вычисленным значениям и рассчитывают значения интенсивности излучения в i-й точке по формуле (6.60).

Аналогично находят все n + 1 точки изображения. В табл. 6.1 приведен фрагмент такого расчета. По полученным значениям строят график распределения интенсивности. Примеры таких графиков показаны на рис. 6.11, а, б.

Таблица 6.1

Расчет распределения интенсивности

Отметим, что введенные при выводе формул Френеля ограничения на соотношения размера окна, микрозазора и длины волны в реальных процессах микролитографии часто нарушаются. Тем не менее получаемые расчетные распределения весьма близки к экспериментальным результатам.

Рис. 6.11. Экспериментальная оценка дифракционного уравнения:

а, б — расчетные кривые; в, г — микропрофили в фоторезисте

В качестве примера на рис. 6.11, в, г представлены два микропрофиля в толстом фоторезисте, полученные специалистами Национального бюро стандартов США при экспонировании длинного окна шириной 4,8 мкм. Использовалось излучение с длиной волны 0,405 мкм, микрозазоры составляли 1,8 и 9 мкм соответственно.

Расчетные профили интенсивности в обоих случаях точно воспроизведены в фоторезисте. Так, при зазоре 1,8 мкм расчетный профиль имеет семь локальных минимумов (см. рис. 6.11, а), которые легко распознаются на микрофотографии (см. рис. 6.11, в). Не менее явно видно соответствие между расчетной кривой при микрозазоре 9 мкм (см. рис. 6.11, б) и соответствующим профилем в фоторезисте (см. рис. 6.11, г).

Эти результаты показывают, что даже при нарушении некоторых ограничений Френеля (например, микрозазор 1,8 мкм незначительно превышает длину волны излучения, он также сопоставим с размером окна) полученные зависимости дают вполне приемлемую сходимость с экспериментом.

Контрольные вопросы и задания

1. Получите волновое уравнение, дифференцируя уравнение волны в синусоидальной, косинусоидальной и комплексной формах.

2. Перейдите от волнового уравнения в общем виде для u(x, t) к уравнению для фазора U(x).

3. Выведите формулу дифракции Френеля — Кирхгофа.

4. Докажите, что, переходя к приближению Френеля, в фазовом члене уравнения нельзя ограничиться аппроксимацией первого порядка.

5. Выполните переход от формулы Френеля для амплитуды к формуле для интенсивности излучения.

7. ПРОЕКЦИОННОЕ ФОРМИРОВАНИЕ
МИКРОИЗОБРАЖЕНИЙ

Изучив материал этой главы, студент должен иметь представление об особенностях оценки качества проекционных микроизображений применительно к использованию в микролитографии.

Студент должен знать:

 основные положения фурье-преобразований в оптике;

 методы оценки качества формируемых микроизображений с использованием понятий оптической передаточной функции, зрачковой функции, автокорреляции этих функций.

Студент должен уметь:

 анализировать физические закономерности, определяющие процесс микролитографии при проекции микроизображений;

 математически описывать оптические процессы формирования проекционного микроизображения;

 рассчитывать профили распределения пространственной интенсивности излучения при проекционной микролитографии;

 оценивать применимость проекционных оптических систем для реализации процессов микролитографии с заданными параметрами.

Студент должен иметь навыки применения математических методов фурье-преобразований для технологического анализа процессов на примере микролитографии.

7.1. Качество проекционного изображения

В проекционных системах фотолитографии изображение фотошаблона в плоскости фоторезиста формируется с помощью объектива. Наличие оптической системы предусматривает применение иных, нежели при контактном экспонировании, методов расчета формируемых микроизображений и параметров для оценки качества.

Для оценки предельного разрешения проекционной системы используется критерий Рэлея, учитывающий основной параметр объектива — его апертуру.

На практике разрешающая способность (разрешение) часто оценивают с помощью тестовых решеток с одинаковыми прозрачными и непрозрачными полосами (линиями) (рис. 7.1, а). В этом случае разрешение эквивалентно предельному числу пар линий, воспроизведенных на 1 мм длины изображения, или пространственной частоте  решетки с шагом P:

(7.1)

Качество пространственного изображения фотошаблона после прохождения оптической системы существенно зависит от апертуры. Чем меньше апертура объектива, тем более размытым и менее четким получается формируемое им изображение. Распределение интенсивности в изображении является уже не прямоугольным, а скорее колоколообразным. В области прозрачного окна фотошаблона интенсивность, как правило, не равна номинально заданной, а в области тени она не равна нулю (рис. 7.1, б).

Для количественной оценки качества пространственного изображения в оптике используют понятие модуляции, т. е. отношения амплитуды распределения интенсивности I_a к среднему значению I_m (рис. 7.1, в). Часто применяется также эквивалентное понятие контраста, который выражается через максимальное I_max и минимальное I_min значения интенсивности (освещенности) изображения (см. рис. 7.1, в):

(7.2)

Контраст и модуляция измеряются в долях единицы или в процентах.

Рис. 7.1. Пространственное изображение элементов топологии:

а — на фотошаблоне; б — после прохождения оптической системы;
в — модуляция изображения

7.2. Понятие изображающей системы

Оптическая система должна преобразовывать и регистрировать максимальное количество информации, получаемой от объекта — фотошаблона. Необходимо также, чтобы основные параметры изображения — контраст отдельных элементов, их число на определенном участке и взаимное расположение — передавались в плоскость изображения с минимальными искажениями.