1_4_Формирование пространственного изображения (Лекции от Цветкова), страница 9

Каждый элемент шириной du вносит в точке M  вклад в комплексную амплитуду величиной или . Как следует из рис. 7.9, , откуда

(7.48)

Комплексная амплитуда U(x) в точке изображения определяется следующим интегралом:

(7.49)

где P(u) — распределение амплитуды на входном зрачке.

Для придания формуле (7.49) большей наглядности пронормируем входящие в нее значения. Положим фокусное расстояние равным единице длины ( ), а разность хода  будем измерять числом длин волн . В результате получим , а формулу (7.49) приведем к виду

(7.50)

Подчеркнем, что формула (7.50) представляет собой фурье-преобразование зрачковой функции P(u).

Будем полагать оптическую систему линейной и не поглощающей излучения. С учетом этого можно с помощью принципа обратимости восстановить распределение амплитуды в апертуре, имея распределение амплитуды в изображении. С учетом (7.50) получим

(7.51)

где знак минус появился в результате изменения направления хода лучей.

Интегралы (7.50) и (7.51) имеют вид пары фурье-преобразований. При комплексной зрачковой функции, т. е. при наличии волновой аберрации (u), подставив (7.47) в (7.50), найдем, что (u) дает дополнительный к величине фазовый сдвиг Для двумерного случая эти зависимости можно записать как

(7.52)

(7.53)

Таким образом, распределение амплитуд в апертуре оптической системы является фурье-преобразованием распределения амплитуд в плоскости изображения, и наоборот.

7.9. Оптическая передаточная функция
как автокорреляция зрачковой функции

Обратимся к рис. 7.8, где показано образование пятна рассеяния вокруг точки M , которая является геометрическим изображением сопряженной точки M объекта. Ясно, что рассмотрение дифракции на апертуре оптической системы принципиально не изменится, если оптическую ось системы заменить линией, соединяющей точки M и M', т. е. считать, что оптическая ось направлена по оси O'M' и что точка M' — начало оси координат x'. Координаты, отсчитываемые от точки M', будем обозначать , поэтому формулы (7.52) и (7.53) примут следующий вид:

(7.54)

(7.55)

Для двумерного случая эти зависимости можно записать так:

(7.56)

(7.57)

Отметим, что по своему физическому смыслу распределение интенсивности точки (или линии) в изображении описывается функцией рассеяния точки (линии). Таким образом, распределение световой волны по формуле (7.57) эквивалентно амплитудной функции рассеяния точки. Аналогично для одномерного случая (см. формулу (7.55)) эквивалентна функции рассеяния линии для рассматриваемого одномерного случая.

Амплитудная функция рассеяния связана со знакомой нам (см. формулу (7.3)) функцией рассеяния точки A(x, y), выражающей распределение интенсивности следующим соотношением:

(7.58)

Аналогично для функции рассеяния линии (см. формулу (7.4)) можно записать

(7.59)

Из определения оптической передаточной функции ее модуль для случая симметричной функции (см. формулу (7.46)) составляет

_(7.60)

Интеграл в квадратных скобках равен U^*() по известному свойству фурье-преобразования от сопряженной комплексной функции:

(7.61)

Для доказательства этого свойства следует подставить в выражение (7.54) комплексную функцию, представленную в виде P(u) =
= a(u) + jb(u), и показательную функцию, преобразованную по формуле Эйлера. Далее остается сравнить полученный результат с расчетом фурье-преобразования от комплексной сопряженной функции P^*(u) = a(u) – jb(u). Для этого расчета также надо преобразовать показательную функцию exp(–j2πuξ) по формуле Эйлера.

Меняя порядок интегрирования, продолжим преобразования:

(7.62)

Интеграл в квадратных скобках в соответствии с выражением (7.55) равен P(u+), поэтому ОПФ оптической системы

(7.63)

Такой интеграл от произведения какой-либо функции и сопряженной и сдвинутой по аргументу, называется автокорреляционной функцией. Этот интеграл равен нулю при тех значениях u, при которых хотя бы одна из функций или равна нулю.

Для выяснения физического смысла сдвига  вернемся к формуле (7.50) и вспомним условие f  = 1, принятое при выводе формулы (7.51). Отказавшись от этого ограничения, заметим, что зависящий от переменной фазовый член в формуле (7.50) имеет вид .

Отношение x'/ показывает, во сколько раз ∆ (оптическая разность хода) меньше координаты u: ∆ = u(x'/f'). Выразим теперь u числом длин волн , соответствующих этой координате. Получим

(7.64)

Таким образом, фазовый член в случае произвольных  и f ' имеет вид . Фаза волны — величина безразмерная.
В нашем случае она определяется произведением координаты x' на член имеющий размерность пространственной частоты (1/длина).

Учтем реальную размерность фазового члена, переписав интеграл (7.63) в следующем виде:

(7.65)

Так как интеграл (7.65) является функцией u₀ (при этом u — переменная интегрирования), то значению пространственной частоты  соответствует , т. е.

(7.66)

При этом аргумент u и сдвиг u₀ выражаются в единицах длины.

Таким образом, ОПФ оптической системы можно определить, зная параметры только светового поля на сфере на выходе из системы, созданного малым источником — объектом.

Для двумерного случая выражение (7.65) можно переписать
в виде

(7.67)

Выполнив замену переменных u' = u + f'_x/2 и ' =  + f'_y/2, представим выражение (7.67) в симметричной форме:

_(7.68)

Как следует из выражений (7.67) и (7.68), автокорреляционная функция отлична от нуля только в области перекрытия двух зрачков, смещенных один относительно другого на величину, пропорциональную пространственной частоте.

Эта область графически представлена на рис. 7.10, на котором видно, что пределы интегрирования по площади в (7.67) и (7.68) можно ограничить заштрихованной областью ∆G.

Ясно, что для пространственной частоты, равной нулю, сдвиг f'ν = 0, т. е. область перекрытия в этом случае максимальна и равна площади зрачка G. Так как для нулевой пространственной частоты значение ОПФ равно единице, автокорреляционную функцию по (7.67) и (7.68) можно нормировать делением на ее наибольшее значение, равное

Рис. 7.10. Автокорреляция зрачковой функции:

а — область перекрытия зрачков; б — расчетная схема

Формулы (7.67) и (7.68) с переменными u,  после нормирования приобретают вид

(7.69)

7.10. Системы дифракционного качества
с постоянным пропусканием по площади зрачка

Формула (7.69) позволяет наглядно представить геометрический образ для ОПФ объектива (см. рис. 7.10). Используем этот результат для получения аналитического выражения ОПФ безаберрационных систем. При рассмотрении оптических систем высокого качества часто полагают, что их остаточными оптическими искажениями (аберрациями) можно пренебречь. В этом случае основные искажения изображения происходят из-за дифракции. Именно такие оптические системы называются системами дифракционного качества.

Если предположить, что пропускание по площади зрачка постоянно, то для систем дифракционного качества зрачковая функция будет действительной и, как следует из формулы (7.47), . Следовательно, в выражении (7.69) функцию P(u, ) можно вынести за знак интеграла:

(7.70)

Таким образом, значение оптической передаточной функции для безаберрационной системы сводится к значению функции передачи модуляции. Это значение равно отношению площади области G, зависящей от пространственной частоты, к площади зрачка G.

Площадь пересечения двух одинаковых кругов с известными значениями радиусов легко подсчитать.

Из рассмотрения рис. 7.10, б следует, что если  — угол, образованный радиусом, соединяющим точку А пересечения дуг двух окружностей с центром О одной из них, то AB = r sin  и BO = r cos .

Площадь сектора, образованного углом , равна S₁ = r², площадь треугольника ABO равна

(7.71)

Площадь затемненной на рис. 7.10, б области перекрытия кругов

T₀ = 4 (S₁ – S₂) = 2 r²,

а отношение ее к площади круга

(7.72)

Сдвиг одного круга относительно другого равен OO  = 2r cos , максимальное его значение, при котором область перекрытия кругов исчезает, равно диаметру D = 2r, т. е. относительный сдвиг, изменяющийся от единицы до нуля, составляет

(7.73)

Наибольший сдвиг зрачка, связанный с нахождением автокорелляционной функции, является важной характеристикой: он определяет наибольшую предельную пространственную частоту ν_lim, пропускаемую оптической системой. При еще больших частотах коэффициент передачи модуляции системы становится равным нулю.

Полагая u₀ = D (D — диаметр зрачка оптической системы), получаем D = f'ν_lim. Отсюда

(7.74)

где ν_lim выражается числом периодов на единицу длины (например, 1/мм).