1_4_Формирование пространственного изображения (Лекции от Цветкова), страница 7
Описание файла
Файл "1_4_Формирование пространственного изображения" внутри архива находится в папке "Лекции от Цветкова". Документ из архива "Лекции от Цветкова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "технология и оборудование микро и наноэлектроники" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "технология и оборудование микро и наноэлектроники" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "1_4_Формирование пространственного изображения"
Текст 7 страницы из документа "1_4_Формирование пространственного изображения"
Рис. 7.4. Свертка функции с откликом системы:
а — прямоугольная функция; б — входная функция в виде совокупности прямоугольных функций; в — отклик системы (функция рассеяния); г — формирование свертки в точке с координатой x
Заменим теперь конечное приращение бесконечно малым d. При этом сумма переходит в интеграл:
(7.10)
Выражение (7.10) представляет собой интеграл свертки входной функции и отклика на узкую импульсную функцию.
Важным свойством интеграла свертки является коммутативность, которая в исследуемом случае проявляется следующим образом. Отметим, что импульсная функция, отстоящая от точки x на величину , т. е. в точке (x – ), имеет ординату I(x – ). Очевидно, что соответствующая функция рассеяния этого импульса на расстоянии , т. е. в точке x, имеет ординату Al(), умноженную на значение функции в точке (x – ): I(x – )Al().
Объединив функции рассеяния (отклики на входные импульсные функции), получим
(7.11)
Уравнение (7.11) эквивалентно уравнению (7.10), т.е. мы показали, что интеграл свертки действительно обладает свойством коммутативности.
Расчет распределения интенсивности в изображении может быть существенно упрощен при использовании преобразований Фурье.
7.5. Фурье-преобразования в оптике
Понятие пространственной частоты
В параграфе 7.2 мы рассматривали объект как совокупность элементов простой формы: точек или линий. Но можно представить произвольный объект как совокупность элементарных пространственных составляющих (гармоник), интенсивность которых изменяется по синусоидальному или косинусоидальному закону и которые отличаются друг от друга по частоте, амплитуде и фазе.
Применительно к решетке пространственная частота в соответствии с формулой (7.1) равна количеству ее периодов, размещающихся на единице длины. Так, n-я пространственная гармоника периода P имеет период P/n, что соответствует пространственной частоте n/P, которая представляет собой число повторений на единице длины изображения.
Ряды Фурье
Периодическую функцию f(x) аргумента x, имеющую период P, т. е. пространственную частоту = 1/P, можно представить в виде суммы синусоид или косинусоид, имеющих частоты , 2, 3, ... , n и периоды P , P/2, P/3, ..., P/n:
где P измеряется в миллиметрах, а — в единицах на миллиметр.
Коэффициенты такого ряда определяются по формулам
(7.13)
Легко убедиться, что для четной функции все bn = 0; для нечетной функции все an = 0.
Тестовые решетки с одинаковыми прозрачными и непрозрачными полосами (см. рис. 7.1, а), имеющие прямоугольное
(П-образное) пропускание, могут быть описаны рядами Фурье:
(7.14)
(7.15)
Уравнение (7.14) соответствует расположению начала координат в центре окна (рис. 7.5, а), а уравнение (7.15) — случаю, когда начало координат совпадает с границей окна (рис. 7.5, б).
На рис. 7.5, в в пределах одного периода показаны частные суммы двух и трех членов ряда Фурье. Увеличение числа членов ряда Фурье делает суммарную функцию все более похожей на исходное прямоугольное распределение.
Ряд Фурье в комплексной форме
Разложение Фурье может быть записано в более простой форме с помощью комплексных экспоненциальных функций. Используем для этого экспоненциальные выражения для косинуса и синуса, являющиеся следствием формулы Эйлера:
(7.16)
Рис. 7.5. Представление функции рядом Фурье:
1 — первый член ряда; 2 — сумма двух членов ряда Фурье; 3 — сумма трех членов ряда Фурье
Представим общий член выражения (7.13) в виде
(7.17)
Если мы обозначим
(7.18)
то формула (7.13) примет вид
(7.19)
Отметим, что суммирование ведется по целым (как положительным, так и отрицательным) значениям n, включая также и нуль. При этом комплексные коэффициенты 
и поэтому 
, где звездочка означает комплексное сопряжение.
Формула (7.19) имеет очень простой вид. Покажем, что существует также очень простая формула для определения коэффициентов C по заданной функции f(x). Подставим для этого значения a0, an, bn из формул (7.14) в формулы (7.18) и получим:
(7.20)
(7.21)
(7.22)
Формулы (7.20) – (7.22) можно объединить в одну формулу
(7.23)
где n принимает все положительные и отрицательные целые значения, включая нуль. Таким образом, в комплексной форме разложение Фурье имеет вид
(7.24)
(7.25)
Интеграл Фурье
При увеличении периода P пространственные частоты становятся ближе друг к другу. Это означает, что в предельном случае непериодическая функция может содержать все частоты. Разложение таких функций осуществляется с помощью интеграла Фурье. Для разложения такой функции в выражение (7.19) подставим значение Cn из (7.23):
(7.26)
Непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции при стремлении периода к бесконечности, т. е. когда 
. В рассматриваемой формуле множители n/P можно принять за дискретные значения
...; 
переменной 
, непрерывно меняющейся от 
до 
.
Приращение переменной 
. При можно ввести замену 
. С учетом этой замены сумма (7.26) переходит в интеграл и мы получаем выражение интеграла Фурье в комплексной форме:
(7.27)
причем функция 
определяется через f(x) формулой
(7.28)
Фурье-преобразование
Формулы (7.27) и (7.28) выражают так называемое фурье-преобразование функции f(x). Отметим, что комплексная экспонента в формулах имеет разные знаки.
Для одномерного объекта с распределением интенсивности f(x) прямое фурье-преобразование позволяет найти частотную или спектральную характеристику. Это значит, что интенсивность объекта представляется в виде бесконечно большого набора гармонических составляющих всех пространственных частот , а модуль 
выражает ту долю, которая приходится на каждое выбранное значение частоты, т. е. выражает спектральную плотность.
Обратное фурье-преобразование позволяет восстановить распределение интенсивности по спектральной характеристике объекта.
Фурье-преобразования позволяют упростить расчеты распределения интенсивности в изображении, если известны распределение интенсивности в объекте и функция рассеяния системы.
Воспользуемся известной теоремой, которая формулируется так: фурье-преобразование некоторой функции, являющейся сверткой других функций, равно произведению фурье-преобра-
зований функций, подвергаемых свертке.
Докажем эту теорему применительно к рассмотренному ранее примеру свертки, а именно к выражению интенсивности Ii(x) в точке изображения. Для формулы (7.11) напишем фурье-преобразование обеих частей равенства:
(7.29)
Обозначим Ii() фурье-преобразование фунукции Ii(x), а в правой части равенства (7.29) выберем следующий порядок интегрирования:
(7.30)
Во внутреннем интеграле правой части (7.30) введем новую переменную x = x – . Тогда
и равенство (7.30) приобретет вид
(7.31)
т. е. действительно Іi() равно произведению фурье-преобра-
зований функций, связанных операцией свертки (в данном случае функции распределения интенсивности в объекте и функции рассеяния).
Фурье-преобразование изображения
Результат, полученный выше, позволяет существенно упростить нашу основную задачу — вычисление интенсивности Ii(x) в плоскости изображения проекционной системы.
Действительно, теперь для решения этой задачи нет необходимости вычислять свертку распределения интенсивности в объекте Io(x) с функцией рассеяния линии Al(x). Значительно проще сделать это через фурье-преобразование, так как фурье-преобразование изображения равно произведению фурье-преобразований объекта Io(x) и изображения изолированной линии Al(x). Таким образом, если от распределения интенсивности в объекте Io(x) перейти к фурье-преобразованию, т. е. к спектру пространственных частот объекта,
(7.32)
а от функции рассеяния линии Al() — к фурье-преобразованию
(7.33)
то спектр пространственных частот изображения Ii(), т. е. фурье-преобразование от распределения интенсивности в изображении Ii(x), будет иметь вид
(7.34)
7.6. Оптическая передаточная функция
Из предыдущего параграфа следует очень важный вывод.
Если представить объект в виде суммы гармоник различных пространственных частот, можно оценить, какими они станут после прохождения оптической системы, т. е. в изображении. Для этого входные параметры каждой гармоники следует преобразовать с помощью соответствующего коэффициента A(). Просуммировав преобразованные гармоники, получим представление объекта после прохождения оптической системы, т. е. изображение.
Функция A(), определяющая, каким образом каждая частотная составляющая передается оптической системой с учетом дифракции, аберраций, ошибок изготовления оптической системы, называется оптической передаточной функцией (ОПФ) системы.
ОПФ, являющаяся, согласно выражению (7.33), преобразованием Фурье от функции рассеяния импульсной функции, представляет собой в общем случае комплексную функцию, которую можно записать в показательной форме через модуль комплексной функции T() и аргумент φ():
(7.35)
