Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву)

51. ТЕОРЕМА ОТСЧЁТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ.

Иногда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции s(t). Для спектра можно составить ряд, аналогичный выражению (3.109). Для этого базисная функция должна быть заменена функцией:

которая получена из Error: Reference source not found заменой t на , полуширины спектра _m на полудлительность сигнала T_c/2, а T=1/2f_m на =2/T_c

(3.114)

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками T не должен был превышать 2/2_m, то теперь частотный интервал  не должен превышать 2/T_c. При ширине спектра 2_m, охватывающей область частот -_m<<_m, число выборок равно 2_m/=2f_mT_c, как и при представлении сигнала рядом ( 3.113).

В общем случае, выборки S(n) являются комплексными числами и в каждой отсчётной точке на оси частот должны быть заданы два параметра - действительная и мнимая
части S(n) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки s(nT) - действительные числа.

Избыточность представления веществен­ных сигналов в частотной области легко устраняется, если учесть, что S(n) и S(-n) являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую.

Таким образом, спектр вещественного сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и числом независимых параметров или степеней свободы сигнала N=2f_mT_c, как и при представлении сигнала во временной области.

52. СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА КАК МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок. Используя формулы (3.19), (3.21)и равенство ||_n||²=T, получаем:

Из последнего выражения видно, что средняя за время T_c мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно N.

В качестве наглядного примера проведем сравнение двух методов восстановления сигнала по его дискретным отсчетам. На практике часто применяют линейную интерполяцию.

Предположим, что при восстановлении сигнала нужно с заданной точностью воспроизвести все гармоники спектра, вплоть до некоторой верхней частоты f_m.

При линейной интерполяции соединяют отрезками прямых соседние точки дискретного сигнала. При этом наибольшая погрешность будет получена там, где модуль второй производной функции максимален.

Для синусоиды с максимальной частотой наибольшая погрешность будет наблюдаться в районах экстремумов. Если два соседних отсчета располагаются симметрично относительно точки экстремума, то линейный интерполирующий отрезок пройдет горизонтально и погрешность может быть найдена как разность между амплитудой синусоиды А и ее значением, соответствующим одному из этих двух отсчетов (см. Рис. ).

Рис. 3.50 Оценка погрешностиПоэтому при линейной интерполяции наибольшая относительная погрешность  восстановления синусоиды с частотой f_m будет:

Здесь N=1/f_mT_д - отношение периода синусоиды 1/f_m к шагу дискретизации T, при этом предполагается, что N>>1. При заданной допустимой погрешности восстановления _д требуемый интервал дискретизации может быть определен по формуле:

Отсюда следует, что при допустимой погрешности восстановления 1%, требуется 22 отсчета на один период самой высокочастотной гармоники сигнала.

Итак, при использовании линейной интерполяции с 1% погрешностью восстановления наивысшей значимой гармоники сигнала требуется устанавливать частоту дискретизации f_д в 22 раза большей, чем частота этой гармоники.

При восстановлении же по Котельникову, частота дискретизации должна быть всего лишь в 2 раза больше частоты наивысшей гармоники, при этом эта гармоника теоретически восстанавливается без погрешности.

Но линейная интерполяция реализуется весьма просто технически, а кроме того, позволяет воспроизводить исходную кривую непосредственно в процессе эксперимента. Восстановление же по Котельникову, как уже указывалось, возможно только после получения всех точек исследуемой кривой. Именно поэтому чаще отдают предпочтение линейной интерполяции.

53. ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ. СПЕКТР РЕАЛЬНОГО ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА.

Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую техническим средством (электронным ключом), удобно рассматривать как умножение сигнала s(t) на вспомогательную периодическую последовательность y_т(t) достаточно коротких тактовых импульсов. В качестве таких импульсов обычно рассматривают прямоугольные импульсы с длительностью _o, малой по сравнению с T. Таким образом,
дискретизированный с шагом T сигнал определяется как s_т(t)=s(t) y_т(t).

Для выявления требования к "малости" величины _o/T рассмотрим сначала структуру спектра дискретизированного сигнала s_т(t), при этом спектральную плотность S() исходного сигнала s(t) будем считать известной.

Запишем вспомогательную производную функцию y_т(t) в виде ряда Фурье по формуле (3.42), в которой под _и будем понимать _o, а под ₁ - частоту дискретизации ₁=2/T:

Учитывая, что n₁_o/2=n_o/T и имея в виду равенство:

получаем:

Тогда для s_т(t)=s(t)y_т(t) можно записать:

Первому слагаемому в правой части соответствует спектральная плотность S() исходного континуального сигнала, а каждому из произведений s(t)cos(n₁t) по теореме о смещении спектра соответствует спектральная плотность:

¹/₂S(-n₁) + ¹/₂S(+n₁)

Следовательно, искомая спектральная плотность:

Поскольку sinc(0)=1, последнее выражение окончательно принимает вид:

(3.115)

Итак, спектр S_т() дискретизированного с частотой f_d=1/T, или ₁=2/T сигнала представляет собой последовательность спектров S() исходного сигнала s(t), сдвинутых один относительно другого на частоту ₁ и убывающих по закону

sin(n_o/T)/(n_o/T).

Если шаг выборок выбран в соответствии с теоремой отсчетов из условия T<1/2f_m=/_m, то периодически продолженные спектры исходного сигнала S() получаются отдельными, т.е. не перекрываются, и очевидно, могут быть разделены с помощью фильтров. Спектр основного сигнала S() называется основным спектром, а его бесконечное множество повторений - дублирующими спектрами.

Очевидно, что если имеет место наложение основного и дублирующего сигналов, то по спектру дискретизированного сигнала S_т() невозможно однозначно восстановить спектр непрерывного сигнала S(). На практике величину T берут в несколько раз меньшей чем ½f_m, что необходимо для повышения точности воспроизведения сигнала и облегчает реализацию восстанавливающих фильтров.

С уменьшением отношения _o/T лепестки спектра тактовой функции убывают медленнее, и в пределе, при _o/T0, спектр приобретает строго периодическую структуру (естественно, уровень лепестков стремится к нулю).

Если одновременно с уменьшением _o увеличивать амплитуду так, чтобы площадь импульса оставалась неизменной, например U_o_o=1, приходим к следующему определению тактовой функции Ш(t):

Тогда для дискретизированной функции s_т(t) справедливо: (3.116

Последовательность временных отсчетов приобретает вид последовательности -функций с весовыми коэффициентами, равными значениям сигнала s(t) в точках kT.

При этом выражение Error: Reference source not found принимает вид: (3.117)

Отметим, что энергия сигнала s(t), выраженного через -функции, бесконечно велика, соответственно и энергия спектра S_т(), определенного в Error: Reference source not found бесконечно велика. При использовании же реальных тактовых импульсов с конечной энергией спектр S_т() при  убывает.

Представление s(t) в форме Error: Reference source not found существенно упрощает спектральный анализ дискретных сигналов. Например, спектральную плотность S_т() можно определить непосредственно из совокупности временных отсчетов {s(kT)}, без обращения к спектру S() исходного континуального сигнала. Действительно, применив обычное преобразование Фурье (3.50)
к сигналу Error: Reference source not found для k=0,1,2... получим:

(3.118)

По своей размерности S() и S_т() неодинаковы - первая имеет размерность [^сигнал/_{частота}], а вторая - просто [_сигнал].

Переходя к комплексной частоте p=+j, получаем:

(3.119)

Оригинал, т.е. сигнал s_т(t) можно определить по заданному изображению S_т(p) с помощью обратного преобразования Лапласа, записываемого в обычной форме: (3.120)