Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 5

(4.16)

Уточним форму контура интегрирования. Для этого положим f_n=kⁿ - степенная функция (см. пример 6).

Применяя обратное Z-преобра­зование для F(z)=^z/_(z-k):

Подынтегральная функция имеет единственный полюс при z=k. Интегрировать можно вдоль любого контура, охватывающего точку z=k, но удобнее - вдоль окружности радиуса R>k. Для сигналов, абсолютное значение которых убывает во времени, k<1, поэтому в качестве контура интегрирования можно использовать окружность радиуса R=1.

65. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТЕЙШИХ СИГНАЛОВ.

Для Z-преобразований справедливы некоторые теоремы, аналогичные теоремам о спектрах непрерывных сигналов. Главная из них - теорема о свертке.

1) Теорема о свертке. Для дискретных сигналов, по аналогии с непрерывными, вводится дискретная свертка:

(4.17)

или, более компактно:

(4.18)

Дискретной свертке соответствует произведение Z-преобразований: F(z)=X(z)Y(z) (4.19)

Выражение Error: Reference source not found аналогично теореме о свертке для обычных непрерывных сигналов.

2) Теорема о запаздывании. Пусть y(nT) есть последовательность x(nT), сдвинутая по времени на величину T:

y(nT)=x(nT-T)

Пусть известно Z-преобразование сигнала x(nT)X(z). Найдем Z-преобразование сигнала y(nT):

(4.20)

Таким образом, запаздыванию дискретного сигнала на один шаг T соответствует умножение Z-преобразования сигнала на z^-1.

3) Теорема Парсеваля для дискретных сигналов:

(4.21)

где контур L должен располагаться в области сходимости как F(z), так и F(¹/_z).

66. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

Рассмотрим наиболее простые из цифровых фильтров – линейные фильтры с постоянными параметрами. На вход цифрового фильтра поступает входной сигнал x(nT) в виде последовательности числовых значений, следующих во времени с интервалом T. При поступлении каждого очередного значения входного сигнала x(nT), в цифровом фильтре производится расчет очередного значения выходного сигнала y(nT). Алгоритмы расчета могут быть самыми разнообразными.

Сигнал на выходе цифрового фильтра y(nT) также представляет собой последовательность числовых значений, следующих с интервалом T. Этот интервал является единым для всего устройства цифровой обработки сигналов.

Поэтому если на вход цифрового фильтра подать простейший испытательный сигнал в виде единичного импульса (такой сигнал принято называть цифровой δ-функцией):

то на выходе получим отклик в виде дискретной последовательности числовых значений, следующих с тем же шагом T (см. Рис. 4.1).

Рис. 4.1Импульсная характеристика ЦФ

По аналогии с непрерывными цепями назовем этот ответный сигнал g(kT) импульсной характеристикой фильтра (реже встречается название «импульсная функция»). В отличие от аналоговых цепей, импульсные характеристики g(kT) цифровых фильтров являются безразмерными (только тогда единицы измерения входного и выходного сигналов совпадают). Подадим на вход фильтра произвольный дискретный сигнал x(kT).

Рис. 4.2. Отклик цифрового фильтра

Под действием первого элемента x(0) на выходе фильтра формируется последовательность x(0)g(kT), при действии x(T) - формируется последовательность x(T)g(kT), сдвинутая на T вправо, и т.д. В результате на выходе получим последовательность y(nT), причем

(4.22)

Т.о., выходной сигнал определяется как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики. В этом отношении цифровые фильтры аналогичны обыкновенным аналоговым системам, где выходной сигнал является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики системы.

Формула Error: Reference source not found представляет собой алгоритм цифровой фильтрации. Если импульсная характеристика фильтра описывается конечным числом членов, то фильтр может быть реализован в виде схемы на Рис. 4.3.

Т акие фильтры называются нерекурсивными, трансверсальными или КИХ-фильтрами (от конечной импульсной характеристики, англ. FIR – finite impulse response). В противном случае фильтр называют рекурсивным или БИХ-фильтром (бесконечная импульсная характеристика, англ. IIR - infinite impulse response). Таким образом, в нерекурсивных фильтрах для расчета значения выходного сигнала используются значения только входного сигнала, поэтому их называют еще простыми.

Рис. 4.3. Нерекурсивный ЦФ

Здесь буквой T обозначены элементы задержки сигнала на время T; g(0), g(T),..., g(NT) - элементы, умножающие сигнал на соответствующий коэффициент. Схема на Рис. 4.3 не является электрической схемой ЦФ, а только представляет графическое изображение алгоритма цифровой фильтрации и указывает последовательность арифметических операций.

Для абстрактных числовых последовательностей не существует понятия "времени", поэтому элементы, задерживающие сигнал на ячейку, на схемах ЦФ обычно отмечают символом z^-1, обозначающим задержку сигнала на языке Z-преобразований. Далее будем использовать это обозначение. Алгоритм нерекурсивного фильтра легко записать, если известна импульсная характеристика фильтра. Для практической реализуемости алгоритма необходимо, чтобы импульсная характеристика содержала конечное число членов. Если же ИХ содержит бесконечное число членов, но они быстро убывают по величине, то можно ограничиться конечным числом членов, отбросив те, значения которых малы.

Если члены ИХ не убывают по величине, то алгоритм нерекурсивного фильтра оказывается нереализуемым.

67. СИСТЕМНАЯ ФУНКЦИЯ И ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА.

Сигнал на выходе цифрового фильтра y(nT) представляет собой последовательность числовых значений, следующих с интервалом T. Этот интервал является единым для всего устройства цифровой обработки сигналов.

Поэтому если на вход цифрового фильтра подать простейший испытательный сигнал в виде единичного импульса (такой сигнал принято называть цифровой δ-функцией):

то на выходе получим отклик в виде дискретной последовательности числовых значений, следующих с тем же шагом T (см. Рис. 4.1).

Рис. 4.1Импульсная характеристика ЦФ

По аналогии с непрерывными цепями назовем этот ответный сигнал g(kT) импульсной характеристикой фильтра (реже встречается название «импульсная функция»). В отличие от аналоговых цепей, импульсные характеристики g(kT) цифровых фильтров являются безразмерными (только тогда единицы измерения входного и выходного сигналов совпадают). Подадим на вход фильтра произвольный дискретный сигнал x(kT).

Р ис. 4.2. Отклик цифрового фильтра

Под действием первого элемента x(0) на выходе фильтра формируется последовательность x(0)g(kT), при действии x(T) - формируется последовательность x(T)g(kT), сдвинутая на T вправо, и т.д. В результате на выходе получим последовательность y(nT), причем

(4.22)

Т.о., выходной сигнал определяется как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики. В этом отношении цифровые фильтры аналогичны обыкновенным аналоговым системам, где выходной сигнал является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики системы.

Формула Error: Reference source not found представляет собой алгоритм цифровой фильтрации.

Второй подход к анализу процессов в цифровых фильтрах аналогичен операторному методу анализа аналоговых цепей, только вместо преобразования Лапласа используют Z-преобразование. Определим параметр цифрового фильтра, аналогичный передаточной функции электрической цепи K(p). Для этого применим Z-преобразование к импульсной характеристике цифрового фильтра {g(nT)}: (4.26)

Функцию H(z) называют системной функцией цифрового фильтра.

68. ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА КАК ОСНОВНАЯ ОПЕРАЦИЯ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ МБС.

Так как выходной сигнал цифрового фильтра есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, то, применяя теорему о Z-преобразовании свертки, получим, что Z-преобразование выходного сигнала равно Z-преобразованию входного сигнала, умноженного на системную функцию цифрового фильтра: Y(z) = X(z)·H(z) (4.27)

Таким образом, системная функция играет роль передаточной функции цифрового фильтра.

Для примера, найдем системную функцию цифрового фильтра - аналога RC цепи первого порядка:

(4.28)

Примечание. Сумма геометрической прогрессии со знаменателем |q|<1.

n^-й член: a_n = a₁ q^n-1

Сумма первых n-членов

Третий метод анализа прохождения сигналов через цифровые фильтры аналогичен классическому методу дифференциальных уравнений.

Рассмотрим этот метод на примере цепей первого порядка. Прохождение сигналов через RC-цепь описывается дифференциальным уравнением: (4.29)

Для дискретной цепи вместо дифференциального уравнения должно быть записано разностное уравнение, где входной и выходной сигналы x(t) и y(t) задаются для дискретных моментов времени t=nT, а вместо производной ^dy/_dt должна фигурировать разность соседних значений сигнала y(nT)-y(nT-T).

Для дискретной цепи 1^-го порядка разностное уравнение может быть записано в общем виде: y(nT)- by(nT-T)= ax(nT)(4.30)

Применяя к последнему выражению Z-прео­бразование, найдем системную функцию фильтра: Y(z) (1-bz^-1) = a X(z)

(4.31)

Это общий вид формулы для системной функции цифрового фильтра 1-го порядка. При a=1 и b=e^-T/ она совпадает с полученным
ранее выражением для системной функции цифрового фильтра, аналогичного RC-цепи.

Найдем алгоритм цифровой фильтрации, соответствующий системной функции Error: Reference source not found. Для этого решим уравнение Error: Reference source not found относительно y(nT): y(nT) = ax(nT) + by(nT-T) (4.32)

69. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ СГЛАЖИВАНИЯ МБС.

Если импульсная характеристика фильтра описывается конечным числом членов, то фильтр может быть реализован в виде схемы на Рис. 4.3. Такие фильтры называются нерекурсивными, трансверсальными или КИХ-фильтрами (от конечной импульсной характеристики, англ. FIR – finite impulse response). В противном случае фильтр называют рекурсивным или БИХ-фильтром (бесконечная импульсная характеристика, англ. IIR - infinite impulse response). Таким образом, в нерекурсивных фильтрах для расчета значения выходного сигнала используются значения только входного сигнала, поэтому их называют еще простыми.