Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 8

т.е. спектр исходного импульса умножен на -2j sin(f_o) для нечетной симметрии, и обратное восстановление усеченной передаточной характеристики выполняется следующим образом:

2. Треугольная форма (f,f) f_d=100, N=20, f_o=20, f=10

Возьмем одиночный четный непериодический униполярный треугольный импульс единичной амплитуды (f,f) c основанием f. Его спектральная плотность по (3.75): S()=f/2 sinc²(f/4).

Используя теорему запаздывания, запишем для четной суммы спектральную плотность:[exp(-jf_o)+ exp(jf_o)] f/2 sinc²(f/4)

Общая спектральная плотность:

(f-f_o)+(f+f_o)  cos(f_o) f sinc²(f/4)

Зная период T частотной характеристики (равный по-прежнему f_d) и используя связь спектральной плотности с коэффициентами ряда Фурье С_n по (3.58), находим С_n и H(f):

Для нечетной симметрии получаем:

(f-f_o)-(f+f_o)  -2j sin(f_o) f sinc²(f/4)

чисто мнимые коэффициенты:

Полученная усечением бесконечного ряда Фурье передаточная характеристика:

Как ранее отмечалось, наблюдается лучшая сходимость ряда Фурье для треугольного сигнала по сравнению с прямоугольным, для которого явление Гиббса выражено наиболее отчетливо.

3. Косинусная форма cos(f,f) f_d=100, N=20, f₀=20, f=10

может быть представлена как произведение периодической функции, постоянной составляющей и униполярного прямоугольного импульса длительностью f: ¹/₂[1+cos(2f/f)] П(f,f).

Используя спектральные плотности постоянной составляющей и сигнала cos(f) в виде суммы -функций, получим в результате свертки со спектром прямоугольного импульса П(f,f):

После четного размещения импульса в f₀ получим для спектральной плотности: S_четн() = 2 S() cos(f₀)

Для нечетного размещения импульсов с центрами в f₀, получим для спектральной плотности: S_неч() = -2j sin(f₀) S()

Переходя к выборочным значениям спектральной плотности для частот =2n/f_d и учитывая множитель 1/f_d, получим искомые коэффициенты разложения C_n в ряд Фурье, по которым определяются коэффициенты цифрового фильтра (odd=нечетный, even=четный): H_even(f) = H_cos(f-f₀) + H_cos(f+f₀)

H_odd(f) = H_cos(f-f₀) - H_cos(f+f₀)

Все рассмотренные фильтры в системах реального времени задерживают выходные сигналы на N тактов относительно входных. Кроме того, являясь линейно-фазовыми, т.е. обеспечивающими постоянство группового времени запаздывания, нечетные фильтры помимо задержки NT обладают дополнительным фазовым сдвигом /2 для всех частот.

Аналогично рассмотренным способам возможно построение цифровых фильтров других типов - высоких, низких частот, полосноподавляющих (заграждающих).

4. Гауссовская форма Г(f,2f) f_d=100, N=20, f₀=20, f=10

Гауссовский имульс c центром в f=0, единичной амплитуды и полушириной f, которая определяется по уровню 1/e от амплитуды импульса (0.606), описывается выражением:

Используя спектральную плотность для одиночного (непериодического) гауссовского импульса, получим

После четного размещения импульса в f₀ получим для спектральной плотности: S_четн() = 2 S() cos(f₀):

После нечетного размещения импульса в f₀ получим для спектральной плотности: S_четн() = -2j S() sin(f₀) :

Переходя к выборочным значениям спектральной плотности S() для частот =2n/f_d и учитывая множитель 1/f_d, получим искомые коэффициенты разложения C_n в ряд Фурье, по которым определяются коэффициенты четного цифрового фильтра:

Для построения графика частотной характеристики:

Коэффициенты нечетного цифрового фильтра:

Для построения графика частотной характеристики:

Конечно, проявление эффекта Гиббса при усечении ряда Фурье уменьшает эффективность синтезируемых фильтров. Поэтому находят применение разнообразные сглаживающие (весовые) окна, например, Хемминга, Ханна, Ланцоша и многие другие. Выбор наиболее подходящей сглаживающей функции является компромиссным, позволяяя существенно снизить колебательность частотных характеристик цифровых фильтров за счет меньшей избирательности и производится с учетом требований конкретной задачи.

89. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ В ЗАДАЧАХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРОПУЩЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ.

По различным причинам в длинной записи данных могут быть пропущены одно или несколько изолированных значений. Например:

- измерение вообще не производилось;

- измерение сделано неправильно или запись измерения искажена и артефакты впоследствии удалены;

- при передаче цифровых сигналов по радиоканалу зафиксированы ошибки в изолированных отсчетах сигнала;

- при обработке сигналов была получена неопределенность типа sin(x)/x при x=0 и ЭВМ отказалась делить на нуль.

Обычным является способ восстановления пропущенных значений, который основан на предположении, что отрезок сигнала, содержащий пропуск, является многочленом (полиномом) P_n(x) некоторой степени n (обычно выбирают нечетные степени).

Для получения интерполяционной формулы полезна теорема, которая утверждает, что разностный оператор (n+1)-ой степени ⁽ⁿ⁺¹⁾ аннулирует полином P_n(x) степени n, т.е. разность (n+1)-го порядка для полинома P_n(x) тождественно равна нулю. Не доказывая эту теорему, исследуем ее справедливость для полиномов 0,1 и 2 степеней.

Запишем разностный оператор в виде: [u_m]= u_m+1 - u_m

[P_n(mT)]= P_n(mT+T) - P_n(mT)

Полезно отметить, что конечно-разностная аппроксимация производной для дискретных систем с равномерным шагом дискретизации T определяется через разностный оператор:

u'|_m= (u_m+1 - u_m)/T = [u_m]/T

А) Полином нулевой степени - это прямая, параллельная оси абсцисс. Поскольку значение полинома неизменно, то первая же разность равна нулю: [P₀(x)] 0

Б) Для полинома первой степени характерна постоянная скорость изменения значения (неизменный угол наклона), следовательно, для любых x разности при равномерном шаге дискретизации T окажутся одинаковыми. Значит, любой полином первого порядка после применения к нему разностного оператора переходит в полином нулевого порядка: [P₁(x)] P₀(x)

Следующая разность оказывается нулевой (смотри п.А):

[[P₁(x)]] ²P₁(x) 0

В) Для полинома второй степени P₂(x) определим первую разность в общем виде и получим полином первого порядка P₁(x):

Пусть P₂(x)= Ax² + Bx + C

Тогда P₂(x+T)= A(x+T)² + B(x+T) + C

[P₂(x)]=P₂(x+T)-P₂(x)=A[(x+T)²-x²]+BT

[P₂(x)]=A(2Tx+T)+BT=A₁x+B₂=P₁(x)

Следующие две разности "уничтожают" остаток (смотри пп.Б,А), т.е.: ³P₂(x) 0

Предположим, что пропущенное значение принадлежит полиному третьего порядка. Следовательно, разность четвертого порядка для этого полинома должна тождественно равняться нулю: ⁴P₃(x) 0.

Запишем формулы вычисления разностей 2-го, 3-го и 4-го порядков для полинома P(x):

[P(x)]=P(x+T) - P(x)

[P(x+T)]=P(x+2T) - P(x+T)

²[P(x)]=P(x+2T) - 2P(x+T) + P(x)

²[P(x+T)]=P(x+3T) - 2P(x+2T) + P(x+T)

³[P(x)]=P(x+3T) - 3P(x+2T) + 3P(x+T) - P(x)

³[P(x+T)]=P(x+4T) - 3P(x+3T) + 3P(x+2T)-

- P(x+T)

⁴[P(x)]=P(x+4T) - 4P(x+3T) + 6P(x+2T) -

- 4P(x+T) + P(x)

Последнее выражение приравняем к нулю, изменим начало отсчета аргумента на -2T и разрешим относительно центральной координаты: P(x+2T)-4P(x+T)+6P(x)-4P(x-T)+P(x-2T) 0

P(x)=[-P(x-2T)+4P(x-T)+4P(x+T)-P(x+2T)]/6

Получена простая, устойчивая и очень удобная формула для вычисления пропущенных значений по соседним отсчетам.

Важно понимать, как преобразуется некоторое входное гармоническое колебание этой формулой и какой вид имеет передаточная функция цифрового фильтра.

Для получения передаточной функции, в качестве входного подставим дискретизированный обобщенный гармонический сигнал exp(jnT): H()=[-e^(-j2T)+4e^(-jT)+4e^(jT)-e^(j2T)]/6

Упрощение выражения дает результат:

H()=[4cos()-cos(2)]/3

Если интерполированное значение в точности равно пропущенному, то передаточная функция принимает значение, равное 1. Легко видеть, что правильный ответ получается для нулевой частоты.

90. ПОЛИАНОМИАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПО СОСЕДНИМ ДАННЫМ.

Для более высоких частот восстановленное значение становится все более и более ошибочным (см. Рис. 4. 15). Здесь проявляются достоинства частотного подхода к анализу механизмов действия формулы. В частности, очевидна опасность интерполяции пропущенного значения когда данные осложнены помехами или содержат многочисленные высокочастотные гармоники.