Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 6

Рис. 4.3. Нерекурсивный ЦФ

Здесь буквой T обозначены элементы задержки сигнала на время T; g(0), g(T),..., g(NT) - элементы, умножающие сигнал на соответствующий коэффициент. Схема на Рис. 4.3 не является электрической схемой ЦФ, а только представляет графическое изображение алгоритма цифровой фильтрации и указывает последовательность арифметических операций.

Для абстрактных числовых последовательностей не существует понятия "времени", поэтому элементы, задерживающие сигнал на ячейку, на схемах ЦФ обычно отмечают символом z^-1, обозначающим задержку сигнала на языке Z-преобразований. Далее будем использовать это обозначение. Алгоритм нерекурсивного фильтра легко записать, если известна импульсная характеристика фильтра. Для практической реализуемости алгоритма необходимо, чтобы импульсная характеристика содержала конечное число членов. Если же ИХ содержит бесконечное число членов, но они быстро убывают по величине, то можно ограничиться конечным числом членов, отбросив те, значения которых малы.

Если члены ИХ не убывают по величине, то алгоритм нерекурсивного фильтра оказывается нереализуемым.

Найдем алгоритм цифровой фильтрации, соответствующий системной функции Error: Reference source not found. Для этого решим уравнение Error: Reference source not found относительно y(nT): y(nT) = ax(nT) + by(nT-T) (4.32)

На Рис. 4.6 представлена эквивалентная схема этого алгоритма. По сравнению с нерекурсивной формой, здесь добавилась своеобразная "цепь обратной связи", которая означает, что получаемые значения выходного сигнала используются на следующих этапах расчетов. Такие фильтры называют рекурсивными.

Рис. 4.6. Рекурсивный ЦФ 1^-го порядка

Алгоритм Error: Reference source not found соответствует фильтру, который полностью эквивалентен рассмотренному ранее нерекурсивному фильтру.

Но для определения одного значения выходного сигнала с помощью алгоритма нерекурсивного фильтра (4.25) требуется выполнить 2N операций, а при использовании алгоритма рекурсивного фильтра Error: Reference source not found - только две операции. В этом и состоит основное преимущество рекурсивных фильтров.

70. ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР – ДИФФЕРЕНЦИАТОР СИГНАЛА. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СО СГЛАЖИВАНИЕМ.

Область применения нерекурсивных фильтров - это реализация цифровых фильтров с импульсной характеристикой, содержащей небольшое число членов.

Примером может служить простейший дифференциатор, выходной сигнал которого равен приращению входного сигнала: y(nT)=x(nT)-x(nT-T)

Рис. 4.7 ЦФ - простейший дифференциатор

71. ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР – ИНТЕГРАТОР СИГНАЛА.

Найдем алгоритм цифровой фильтрации, соответствующий системной функции Error: Reference source not found. Для этого решим уравнение Error: Reference source not found относительно y(nT): y(nT) = ax(nT) + by(nT-T) (4.32)

На Рис. 4.6 представлена эквивалентная схема этого алгоритма. По сравнению с нерекурсивной формой, здесь добавилась своеобразная "цепь обратной связи", которая означает, получаемые значения выходного сигнала используются на следующих этапах расчетов. Фильтры такого типа называют рекурсивными.

Р ис. 4.6. Рекурсивный ЦФ 1^-го порядка

Алгоритм Error: Reference source not found соответствует фильтру, который полностью эквивалентен нерекурсивному фильтру.

Но для определения одного значения выходного сигнала с помощью алгоритма нерекурсивного фильтра (4.25) требуется выполнить 2N операций, а при использовании алгоритма рекурсивного фильтра Error: Reference source not found - только две операции. В этом и состоит основное преимущество рекурсивных фильтров.

К роме того, рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику, без отбрасывания ее "хвостов".

Более того, рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще нереализуемые средствами нерекурсивных фильтров. Например, при a=1 и b=1, предыдущая схема является, по существу, идеальным накопителем - интегратором, и имеет неубывающую импульсную характеристику вида g(nT)=1, (n0). Фильтр с такой импульсной характеристикой по нерекурсивной схеме не реализуется.

72. ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР – АНАЛОГ ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ RC-ЦЕПИ.

В этом случае RC-фильтр (Рис. 4.4) называют аналоговым прототипом:

Р ис. 4. 4 RC фильтр НЧ 1^-го порядка

Импульсная характеристика RC-цепи имеет вид: (4.23)

Чтобы перейти к соответствующей импульсной характеристике цифрового фильтра, в (4.23) непрерывное время t следует заменить на дискретное kT. И еще: размерность g(t) есть [¹/_сек], а импульсная характеристика ЦФ должна быть безразмерной. Поэтому опустим множитель ¹/_ в (4.23) и запишем ИХ ЦФ: (4.24)

Такая ИХ содержит бесконечное число членов, но их величины убывают по экспоненциальному закону, поэтому можно ограничиться N членами, выбирая N таким, чтобы

Рис. 4.5 Схема КИХ ЦФ

Тогда можно записать:

(4.25)

Это выражение является одновременно алгоритмом цифровой фильтрации. Схема такого цифрового фильтра изображена на Рис. 4.5.

73. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ОБЩЕГО ВИДА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

Рассмотрим теперь цифровые фильтры общего вида, которые описываются разностным уравнением N-го порядка:

y(nT)-b₁y(nT-T)-b₂y(nT-2T)-...-b_Ny(nT-NT)=

=a₀x(nT)+a₁x(nT-T)+a₂x(nT-2T)+...+a_Mx(nT-MT)

(4.33)

Рис. 4.8. Схема рекурсивного ЦФ N^-го порядка

Алгоритму Error: Reference source not found соответствует схема на Рис. 4.8. Это же уравнение можно рассматривать и как алгоритм цифровой фильтрации, если его переписать в виде:

y(nT)=b₁y(nT-T)b₂y(nT-2T)+...+b_Ny(nT-NT)+

+a₀x(nT)+a₁x(nT-T)+a₂x(nT-2T)+...+a_Mx(nT-MT)

Системную функцию найдем применяя Z-преобразование к уравнению Error: Reference source not found:

Y(z)-b₁Y(z)z^-1-b₂Y(z) z^-2-...-b_NY(z) z^-N=

=a₀X(z)+a₁X(z)z^-1+a₂X(z)z^-2+...+a_MX(z) z^-M

(4.34)

Выражение Error: Reference source not found позволяет установить связь между значениями элементов схемы фильтра и системной функцией. Коэффициенты в числителе системной функции a_i определяются значениями коэффициентов при x(nT-kT) в нерекурсивной части фильтра, а коэффициенты в знаменателе b_i определяют рекурсивную часть фильтра.

Устойчивость цифровых фильтров

Как и передаточная функция, системная функция цифрового фильтра может быть полностью охарактеризована положением своих нулей и полюсов в плоскости комплексного переменного z.

Известно, что для физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функции должны быть расположены в левой полуплоскости комплексного переменного
p =+j , т.е. при Re(p)<0. Чем меньше затухание в системе, тем ближе расположены полюсы к мнимой оси.

По аналогии можно определить положение полюсов системной функции цифрового фильтра в плоскости комплексного переменного z.

Учитывая, что z= e^pT = e^T e^jT , можно сделать вывод, что для устойчивого цифрового фильтра полюсы должны располагаться внутри окружности единичного радиуса.

Чем выше эквивалентная добротность системы, тем ближе должны располагаться полюсы к окружности |z|=1.

Например, системная функция цифрового фильтра - аналога RC-цепи 1^го порядка имеет единственный полюс при z=e^-T/. Чем больше постоянная времени , тем медленнее затухает переходный процесс при элементарном воздействии и тем ближе расположен полюс к единичной окружности.

74. ПРЯМАЯ ФОРМА РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

Схема ЦФ на Рис. 4.8 не является единственно возможной формой реализации ЦФ с системной функцией вида Error: Reference source not found. Запишем выражение, связывающее Z-образы входных и
выходных сигналов фильтра общего вида:

(4.35)

Выделим промежуточную последовательность u(nT), для которой определим преобразование следующим образом:

(4.36)

Такое преобразование осуществляется с помощью рекурсивного ЦФ N-го порядка. Связь между выходным сигналом y(nT) и промежуточным (nT) определяется выражением:

(4.37)

Эта формула определяет нерекурсивное преобразование, которое можно производить после рекурсивного, которое определено в Error: Reference source not found. Общая схема фильтра показана на Рис. 4.9.

Рис. 4. 9.Прямая (основная) форма ЦФ

75. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

В прямой схеме несколько элементов задержки являются лишними, т.к. дублируют друг друга. Если попарно объединить дублирующие элементы, то получим форму реализации фильтра (Рис. 4.10), которую называют канонической.

П реимуществом канонической схемы фильтра является минимальное число элементов задержки, равное порядку фильтра.

Рис. 4.10. Каноническая форма реализация ЦФ

76. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ФОРМА РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

Разложим многочлен в числителе и знаменателе системной функции на множители вида: (_i + _i z^-1 ) и (_i + _i z^-1 + _i z^-2)