Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 4

S₂(n) = S₁(n) K(n)

После этого, применяя ОДПФ, можно найти сигнал на выходе фильтра. Аналогично решается задача восстановления входного сигнала s₁(kT) по известному выходному сигналу s₂(kT) и по заданной частотной характеристике K(n).

Преимуществом такого метода обработки сигналов является отсутствие ограничений на вид частотной характеристики фильтра, а недостатки связаны с периодичностью ДПФ.

62. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

Свойства ДПФ во многом аналогичны свойствам обычного преобразования Фурье. Отметим только одно специфическое свойство, которое можно назвать периодичностью ДПФ. Рассмотрим значение S(n) по Error: Reference source not found для n=n₀+mN, где m-целое число:

Таким образом, ДПФ является периодической функцией частоты с периодом N. Это свойство аналогично свойству периодичности спектра дискретизированного сигнала.

Найдем теперь соотношение для обратного ДПФ, позволяющего определять выборки сигнала по выборкам спектра. Для этого воспользуемся обычным преобразованием Фурье:

Спектральную плотность сигнала S() дискретизируем и запишем в виде ряда Котельникова:

и подставим в интеграл обратного преобразования Фурье:

(4.5)

Интеграл в последнем выражении аналогичен вычисленному в Error: Reference source not found. Используя эту аналогию, запишем:

(4.6)

Подставляя Error: Reference source not found в Error: Reference source not found, получим выражение для временной функции f(t):

(4.7)

Полагая в последнем выражении t=kT, получаем формулу для значений дискретного сигнала f(kT), т.е. приходим к обратному ДПФ: (4.8)

где k может изменяться от 0 до N-1.

Иногда для удобства записи, используя периодичность ДПФ, изменяют пределы суммирования, и ОДПФ записывают в виде:

(4.9)

ДПФ не всегда точно описывает спектр исходного непрерывного сигнала, подобно тому, как дискретизированный сигнал не всегда точно описывает исходный непрерывный сигнал. Однако связь между дискретизированным сигналом и его ДПФ всегда носит взаимно однозначный характер, и формулы прямого и обратного ДПФ являются строгими при любом числе дискретных значений. Поэтому аппарат ДПФ имеет самостоятельное значение и может быть применен к любым числовым последовательностям. В этом случае формулы ДПФ должны быть несколько изменены, т.к. для абстрактных числовых последовательностей понятий интервала дискретизации T и длительности T_c не существует.

Поэтому формально полагают T=1; T_c/T заменяют на N, отсчетные значения сигнала и спектра обозначают через s_k и S_n и формулу ДПФ записывают в виде:

(4.10)

При этом ОДПФ имеет вид:

(4.11)

Значения S_n, вычисленные по Error: Reference source not found, отличаются от выборочных значений спектра S_f(n) непрерывного сигнала s(t) в T раз. Для определения выборочных значений S_f(n) надо значения S_n умножить на T- величину интер­вала дискретизации по времени S_f(n)=T S_n.

63. АЛГОРИТМЫ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ БПФ.

Недостатком ДПФ является большое количество математических операций для формул Error: Reference source not found или Error: Reference source not found. Если число степеней свободы сигнала N, то для ДПФ потребуется N² умножений и N² сложений комплексных чисел, т.е. всего 2 N² арифметических операций. Для больших N такая обработка становится слишком продолжительной, даже на быстродействующих моделях ЭВМ.

Для ускорения вычисления ДПФ применяют специальные алгоритмы, которые позволяют во много раз сократить объем вычислений. Такие алгоритмы называют Быстрым Преобразованием Фурье.

Существуют различные алгоритмы БПФ, например Кули-Тьюки, Винограда, теоретико-числовые преобразования, прореживания по частоте или по времени. Наиболее простыми алгоритмы получаются, если N являются целой степенью числа 2. Рассмотрим один из таких алгоритмов, основанный на т.н. прореживании по времени. Пусть требуется вычислить ДПФ числовой последовательности f_k:

Поскольку число отсчетов сигнала N- четное, исходную последовательность f_k можно разбить на две подпоследовательности: g_i, куда войдут все f_k с четными номерами, и подпоследовательность h_i, куда войдут все f_k с нечетными номерами, так что g_i=f_2i; h_i=f_2i+1 (i=0,1,2,...,^N/₂-1)

Применим ДПФ к подпоследовательностям g_i и h_i, содержащим по N/2 членов:

Для сокращения записи обозначим: тогда:

Нашей целью является вычисление значений F_n.

Учитывая, что все члены последовательности f_k принадлежат g_k или h_k, можно записать:

(4.12)

Т.о., значение F_n можно вычислить по известным G_n и H_n.

Однако, Error: Reference source not found справедлива только для nN/₂-1, т.к. G_n и H_n не определены для больших n. Поэтому для n^N/₂ значение F_n вычисляются с использованием периодичности ДПФ:

Учитывая, что

,

получим окончательную формулу для F_n при nN/2:

(4.13)

Для вычисления значений G_n и F_n нужно выполнить два ДПФ половинной длины. При этом для вычисления G_n и F_n необходимы по 2(N/2)²=N²/2 арифметических операций: по две операции для Error: Reference source not found и по одной операции для Error: Reference source not found. Таким образом, общее число арифметических операций равно N²+³/₂N, что для больших N дает существенный выигрыш в количестве операций.

Каждую из частных подпоследовательностей g_i и h_i можно опять-таки разбить на две подпоследовательности половинной длины, для которых справедливы указанные выше формулы.

Процесс упрощения алгоритма расчета можно продолжать до тех пор, пока не останутся только простейшие двухточечные ДПФ. В результате, при применении данного алгоритма для вычисления ДПФ последовательности из N точек, требуется выполнить N log₂N сложений и, самое большее, N log₂N умножений. Использование БПФ для случая N=2¹⁰=1024 отсчетов обеспечивает сокращение объема вычислений более чем в 100 раз!

Алгоритм вычисления ДПФ схематично изображают в виде направленного графа, граф двухточечного ДПФ из-за внешнего сходства получил название "бабочка".

64. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.

Как уже отмечалось ранее, методы описания непрерывных и дискретных сигналов во времени во многом аналогичны друг другу. Обычному (непрерывному) преобразованию Фурье соответствует Дискретное Преобразование Фурье, преобразованию Лапласа соответствует дискретное преобразование Лапласа. Для непрерывных сигналов преобразование Лапласа (одностороннее):

Для дискретного сигнала в виде последовательности -функций

(4.14)

Это выражение представляет собой дискретное преобразование Лапласа. Формула дискретного преобразования Лапласа может быть упрощена, если положить:

В результате такой замены приходим к Z-преобразованию, которое обычно применяют при анализе дискретных сигналов и систем вместо дискретного преобразования Лапласа.

Z-преобразование представляет собой модификацию дискретного преобразования Лапласа: (4.15)

Функция F(z) является аналитической функцией комплексного переменного z. Z-преобразование можно применять и для абстрактных числовых последовательностей.

Примеры Z-преобразования простейших сигналов:

1) Единичный импульс

2) Дискретизированный единичный скачок

3) Экспоненциально убывающий дискретный сигнал

4) Комплексная экспонента (обобщенный гармонический сигнал)

5) Гармоническая функция

6) Степенная функция f(nT)=kⁿ :

Поскольку Z-преобразование - это степенной ряд переменной z^-1, то важно рассмотреть вопрос о его сходимости. Ряд Error: Reference source not found сходится для z­>R, где R - радиус сходимости, зависящий от вида функции f(nT). Наиболее просто радиус сходимости определяется для степенной функции вида 6) f(nT)=kⁿ. В этом случае F(z)=^z/_(z-k). Эта функция имеет полюс при z=k. Вне окружности z­=k функция F(z) является аналитической функцией комплексного переменного z, и описывающий ее ряд Error: Reference source not found сходится. Следовательно, для f(nT)=kⁿ радиус сходимости R=k.

Обратное Z-преобразование позволяет определить значения дискретного сигнала по виду функции F(z). Можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа, но легче получить результат из формулы прямого Z-преобразования Error: Reference source not found.

Умножая обе части Error: Reference source not found на z^k-1, проинтегрируем по окружности с радиусом, превышающим радиус сходимости R ряда для F(z), затем поменяем местами суммирование и интегрирование:

Вычислим интеграл в правой части:

Такой результат объясняется тем, что значение интеграла по замкнутому контуру в комплексной плоскости равно произведению 2j на сумму вычетов подынтегральной функции: единственный вычет при z=0 получается только при k=n, т.е. когда z^k-n-1=¹/_z. Следовательно,
обратное Z-преобразование выражается: