Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 2

Выражение Error: Reference source not found определяет всю последовательность {s(kT)} в форме, совпадающей с Error: Reference source not found. Для определения только k-го отсчета s(kT) без множителя (t-kT) можно применить более простое выражение, в котором интегрирование ведется в пределах одного частного интервала от p=-/T до /T.

(3.121)

54. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИВАННЫХ МБС.

Наряду со спектральным подходом описания сигналов часто бывает необходима
характеристика, дающая представление о
некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие. В качестве такой временной характеристики широко исполь­зу­ется корреляционная функция сигнала.

Корреляционная функция детерминированных сигналов конечной длительности

Для детерминированного сигнала конечной длительности s(t) корреляционная функция определяется следующим выражением: (3.122)

где  - временной сдвиг сигнала.

Для вещественных функций времени обозначение комплексного сопряжения можно опустить:

(3.123)

Из этого выражения видно, что B_s() характеризует степень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на величину  по оси времени, поэтому встречается название «автокорреляционная функция». Ясно, что функция B_s() достигает максимума при =0, т.к. любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом

(3.124)

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно полной энергии сигнала. С увеличением  функция B_s() убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s(t) и s(t+) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.

Из общего определения корреляционной функции и из приведенного примера видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину . Поэтому выражение Error: Reference source not found можно обобщить следующим образом:

(3.125)

Это равносильно утверждению, что B_s() является четной функцией .

Н а Рис. 3.51 представлены пояснения построения корреляционной функции на примере прямоугольного импульса.

Рис. 3.51. Построение корреляционной функции

а) простейший сигнал в виде прямоугольного импульса;

б) сдвинутый на  в сторону опережения сигнал s(t+);

в) график произведения s(t)s(t+);

г) график результата - функции B_s().

К аждому значению  соответствует свое произведение s(t) s(t+) и, соответственно, площадь под графиком функции произведения. Величины таких площадей для соответствующих  и дают ординаты функции B_s().

Рис. 3.52. Корреляционная функция четырех прямоугольных импульсов

На Рис. 3. 52 показан сигнал в виде пачки из 4-х одинаковых импульсов и соответствующая ему корреляционная функция.

Вблизи t=0; t=T₁; t=2T₁; t=3T₁, эта
функция имеет такой же вид как и для одиночного импульса. Максимальное значение корреляционной функции (при =0) равно учетверенной энергии одного импульса.

55. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ НЕПЕРЕОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА.

Корреляционная функция детерминированных сигналов конечной длительности

Для детерминированного сигнала конечной длительности s(t) корреляционная функция определяется следующим выражением: (3.122)

где  - временной сдвиг сигнала.

Для вещественных функций времени обозначение комплексного сопряжения можно опустить: (3.123)

Из этого выражения видно, что B_s() характеризует степень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на величину  по оси времени, поэтому встречается название «автокорреляционная функция». Ясно, что функция B_s() достигает максимума при =0, т.к. любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом

(3.124)

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно полной энергии сигнала. С увеличением  функция B_s() убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s(t) и s(t+) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль. Из общего определения корреляционной функции и из приведенного примера видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину . Поэтому выражение (3.123) можно обобщить следующим образом: (3.125)

Это равносильно утверждению, что B_s() является четной функцией . На Рис. 3.51 представлены пояснения построения корреляционной функции на примере прямоугольного импульса.

Рис.3.51 Построение корреляционной функции

а) простейший сигнал в виде прямоугольного импульса;

б) сдвинутый на  в сторону опережения сигнал s(t+);

в) график произведения s(t)s(t+);

г) график результата - функции B_s().

К аждому значению  соответствует свое произведение s(t) s(t+) и, соответственно, площадь под графиком функции произведения. Величины таких площадей для соответствующих  и дают ординаты функции B_s().

Рис. 3.52. Корреляционная функция четырех прямоугольных импульсов

На Рис. 3. 52 показан сигнал в виде пачки из 4-х одинаковых импульсов и соответствующая ему корреляционная функция. Вблизи t=0; t=T₁; t=2T₁; t=3T₁, эта функция имеет такой же вид как и для одиночного импульса. Максимальное значение корреляционной функции (при =0) равно учетверенной энергии одного импульса.

56. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПЕРЕОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА.

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции по Error: Reference source not found, Error: Reference source not found неприемлемо. В этом случае пользуются определением:

(3.126)

При таком определении корреляционная функция приобретает размерность мощности, причем B_sпер(0) равна средней мощности сигнала. В виду периодичности сигнала s(t) усреднение произведения s(t)s(t+) или s(t)s(t-) по бесконечно большому отрезку T должно совпадать с усреднением по периоду T₁. Поэтому выражение Error: Reference source not found можно заменить выражением:

(3.127)

Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале T₁. Обозначая её через B_sт1(), приходим к соотношению:

B_sпер()=B_sТ1()/T₁.

Очевидно также, что периодическому сигналу s(t) соответствует и периодическая корреляционная функция B_sпер(). Период функции B_sпер() совпадает с периодом T₁ исходного сигнала s(t). Например, для гармонического колебания s(t)=A_ocos(_ot+_o) корреляционная функция

где _o=2/T₁.

При =0, B_sпер(0)=(¹/₂)A_o² есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудой A_o. Заметим важное свойство корреляционной функции - она не зависит от начальной фазы колебания _o.

Рис. 3.53. Корреляционная функция периодической последовательности прямоугольных импульсов

Каждый из импульсов функции B_sпер() совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из периодической последовательности s(t). Однако в данном случае максимальные ординаты B_sпер() равны не энергии, а средней мощности сигнала s(t), т.е. величине .

57. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ.

Для оценки связи между двумя различными сигналами s₁(t) и s₂(t) используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением:

(3.128)

Для вещественных функций s₁(t) и s₂(t):

(3.129)

Рассмотренная выше автокорреляционная функция B_s() является частным случаем функции B_s1s2(), когда s₁(t)=s₂(t).

Например, построим (Рис. 3.54) взаимную корреляционную функцию для двух сигналов s₁(t) и s₂(t). Исходное положение сигналов при =0 показано вверху Рис. 3.54.. При сдвиге сигнала s₂(t) влево (>0) корреляционная функция сначала возрастает, затем убывает до нуля при =T. При сдвиге вправо (<0) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается асимметричная относительно оси ординат функция B_s1s2() (Рис. 3.54, внизу). Очевидно, что значение B_s1s2() не изменится, если вместо упреждения сигнала s₂(t) дать задержку сигналу s₁(t). Поэтому выражение Error: Reference source not found можно обобщить следующим образом:

(3.130)

Соответственно B_s1s2()=B_s2s1(-)

Однако следует различать выражения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found. В отличие от B_s(), взаимная корреляционная функция не обязательно является четной относительно . Кроме того, взаимная корреляционная функция не обязательно достигает максимума при =0. Оба эти свойства функции B_s1s2() иллюстрируются Рис. 3.54.

Рис. 3.54. Взаимная корреляционная функция

58. СВЯЗЬ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ СО СПЕКТРАЛЬНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СИГНАЛА.

Воспользуемся теоремой о произведении сигналов (3.65), в которой положим f(t)=s(t), g(t)=s(t+) и, соответственно F()=S(), G()=S()e^j. Тогда: