Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 3

Учитывая, что S()S*()=|S()|², приходим к окончательному результату:

(3.131)

На основании известных свойств преобразования Фурье можно написать:

(3.132)

(т.к. вследствие четности функции B_s() знак перед j в показателе степени может быть произвольным).

Итак, прямое преобразование Фурье корреляционной функции B_s() дает спектральную плотность энергии, а преобразование Error: Reference source not found дает корреляционную функцию.

Из выражений Error: Reference source not found и Error: Reference source not found вытекают свойства:

- чем шире спектр S() сигнала, тем меньше интервал корреляции, т.е. сдвиг , в пределах которого корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно, чем больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр.

Также видно, что корреляционная функция B_s() не зависит от ФЧХ спектра сигнала. И так как при заданном амплитудном спектре S() форма функции s(t) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее заключение:

- различным по форме сигналам s(t), обладающим одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые корреляционные функции B_s().

59. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ МБС, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

60. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЦИФРОВЫХ И АНАЛОГОВЫХ УСТРОЙСТВ ОБРАБОТКИ МБС.

Мы уже говорили о дискретизированных (по времени) и квантованных (по уровню) сигналах. Такие сигналы называют цифровыми. Устройства, производящие обработку цифровых сигналов называют цифровыми фильтрами. Наряду с цифровыми, существуют аналоговые устройства, производящие обработку неквантован­ных, но дискретизированных сигналов. Такие устройства называют дискретными фильтрами (обычно реализуются на ПЗС).

Преимущества цифровых фильтров:

- возможность реализации сложных алгоритмов обработки сигналов, например, адаптивных фильтров, которые способны изменять свои свойства и даже структуру при изменении параметров входных сигналов или критерия адаптации;

- возможна реализация очень высоких точностных характеристик по сравнению с дискретными и аналоговыми фильтрами (вспомним про температурную нестабильность параметров компонентов, старение, смещение и дрейф нуля, влияние напряжений питания и многое др. - в цифровых фильтрах эти неприятные явления отсутствуют);

- при разработке цифровых фильтров не надо согласовывать источники с нагрузкой;

- при обработке сигналов низких и инфранизких частот (таковыми являются большинство БМС), элементы аналоговых фильтров оказываются очень громоздкими, в этом случае ЦФ могут быть компактнее;

- возможна реализация передаточных функций, которые недоступны для аналоговых систем, например, линейно-фазовых фильтров.

Недостатками ЦФ являются:

- их большая стоимость по сравнению с аналоговыми фильтрами, ведь кроме процессора обработки цифровых сигналов устройство должно содержать АЦП и ЦАП (поэтому, когда алгоритм обработки несложен, или не требуется особенно высокой точности, лучше применять аналоговые фильтры или дискретные фильтры на ПЗС);

- ограниченная производительностью цифрового процессора полоса частот обрабатываемых сигналов как следствие большого объема вычислений. До сих пор высшие частоты спектров сигналов, обрабатываемых цифровыми фильтрами в реальном времени, не превосходят десятков мегагерц. Для более высоких частот применяют пассивные фильтры и фильтры на поверхностных акустических волнах;

- в цифровых фильтрах проявляются специфические погрешности, возникающие в процессе дискретизации сигнала (алайзинг - наложение спектров) и квантования. Для уменьшения погрешностей дискретизации обычно ограничивают полосу частот сигнала, пропуская его через ФНЧ с близкой к прямоугольной АЧХ. При этом спектр сигнала становится почти ограниченным, быстро убывающим и последующая дискретизация происходит практически без ошибок. Эта мера также полезна и при наличии широкополосного шума на входе. При прохождении шума через ФНЧ, его дисперсия уменьшается и соответственно уменьшается ошибка дискретизации.

Квантование сигнала. Квантование равноценно округлению значений сигнала с точностью до ¹/₂ единицы младшего разряда (МЗР). Графическое описание квантования сигнала представляет характеристика квантования. Шаг квантования Q выбирают исходя из требуемой точности представления сигнала. Существуют различные законы квантования, наиболее распространены равномерное и логарифмическое.

Разность квантованного и исходного сигнала представляет собой шум квантования, который при малом шаге квантования некоррелирован с сигналом, его распределение p(x) близко к равномерному, а действующее значение шума квантования определяется как:

В теоретическом анализе цифровых фильтров при малых ошибках квантования для упрощения обычно пренебрегают эффектами квантования, т.е. по сути, вместо цифровых рассматривают дискретные сигналы.

Если нужно учесть эффекты квантования, то поступают следующим образом. Входной квантованный сигнал представляют в виде суммы неквантованного дискретного сигнала и отдель­но шума квантования. Далее, поскольку цифровой фильтр линеен, независимо рассматривают прохождение неквантованного дискретного сигнала и шума квантования, а потом на выходе цифрового фильтра их суммируют, т.е. отдельно анализируют прохождение шумов квантования через ЦФ.

Аналого-цифровое и цифро-аналоговое – взаимно-обратные преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму.

61. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ .

Как уже известно, реальные сигналы могут быть описаны выборками как во временной, так и в частотной областях. И дискретный сигнал, и дискретный спектр полностью описывают исходный континуальный сигнал. Уже сейчас можно наметить следующий путь нахождения дискретного спектра по заданному дискретному сигналу:

1) по заданному дискретному сигналу восстановить рядом Котельникова исходный непрерывный сигнал;

2) с помощью преобразования Фурье найти непрерывную спектральную плотность сигнала;

3) дискретизировать спектральную плотность для получения частотных выборок.

Аналогичную трудоемкую процедуру необходимо проделать для обратного преобразования. Непосредственный переход от дискретного сигнала к его дискретному спектру и наоборот возможен благодаря Дискретному Преобразованию Фурье.

Получим вид прямого ДПФ. Для этого рассмотрим непрерывный сигнал s(t) конечной длительности (0<t<T_c), который обладает числом степеней свободы N, шаг дискретизации далее будем обозначать T.

Для этого сигнала можно записать ряд Котельникова:

Определим спектр этого сигнала:

(4.1)

Непосредственное вычисление интеграла - достаточно трудоемкая процедура. Легче пойти другим путем. Рассмотрим спектр S_o(), который определяется выражением:

Применив к нему обратное преобразование Фурье, получим соответствующую временную функцию:

Очевидно, справедливо и обратное соотношение:

Применяя теорему запаздывания, можно записать:

(4.2)

Подставляя Error: Reference source not found в Error: Reference source not found, получим окончательное выражение для спектра:

(4.3)

Чтобы перейти к дискретному преобразованию Фурье, значения спектра в Error: Reference source not found нужно вычислять не для всех значений частоты, а только для дискретных - выборочных:

В результате получим ДПФ:

(4.4)

Обработку сигналов с помощью ДПФ нельзя назвать цифровой фильтрацией в полном смысле слова. Обычные ЦФ, работающие в реальном масштабе времени, производят обработку сигнала непрерывно по мере его поступления, а вычисление ДПФ может быть произведено лишь после того, как станет полностью известным входной сигнал. Поэтому при использовании ДПФ выходной сигнал может быть получен только с некоторым запаздыванием по отношению к входному. Однако часто в ряде практических применений такое запаздывание не играет существенной роли, и тогда использование обработки сигналов с помощью ДПФ является целесообразным.

Процедуры прямого и обратного ДПФ встречаются во многих математических и инженерных системах, в т.ч. в MathCad и LabView. В системе MathCad имеется несколько вариантов функций для ДПФ.

Так, функция CFFT(v) является комплексной формой прямого ДПФ от вектор-столбца данных v с произвольным числом строк N. Обратное ДПФ в комплексной форме осуществляется функцией ICFFT(V), где вектор-столбец V содержит N в общем случае комплексных отсчетов дискретного спектра сигнала. Функции CFFT и ICFFT имеют обычные нормирующие коэффициенты в отличие от функций cfft и icfft.

Две близкие функции FFT(v) и IFFT(V) выполняют быстрое преобразование Фурье для вещественного вектора данных v с числом строк N, равным целой степени двойки N=2^k. Из-за свойств симметрии спектров вещественных сигналов результат прямого ДПФ V содержит всего (N/2)+1 элементов. Аналогично ДПФ в комплексной форме, функции fft(v) и ifft(V) используют нетрадиционные нормирующие коэффициенты.

Одним из основных применений ДПФ является вычисление спектров функций, заданных графически или таблично. ДПФ можно применять при обработке эксперимен­тальных данных в частотной области.

Полезной оказывается возможность получения математических моделей непрерывных периодических сигналов с ограниченным спектром, исходно полученных экспериментально или заданных таблично, в виде суммы гармонических колебаний. Наличие таких моделей позволяет проводить передискретизацию (изменение темпа дискретизации) сигналов c целью получения дополнительных отсчетов, выполнять аналитически дифференцирование и интегрирование, моделировать различные формы сигналов.

Эффективные (быстрые) алгоритмы ДПФ часто используются для вычисления корреляционных функций сигналов.

Другим важным применением ДПФ является вычисление сигнала на выходе фильтра с заданной частотной характеристикой: если задан входной сигнал s₁(kT), то для него можно вычислить ДПФ S₁(n).

Если теперь умножить S₁(n) на частотную характеристику фильтра, то получим ДПФ выходного сигнала: