Шпоры по Сергееву (Шпаргалки по Сергееву), страница 9

Рис 4. 15 Передаточная функция для интерполяции пропущенных данных полиномом 3-го порядка. Отрицательные значения означают изменение фазы на 180 градусов или смену знака

Такие же результаты получаются при интерполяции по соседним значениям с помощью полиноминального приближения по методу наименьших квадратов. Задача интерполяции промежуточных значений (между регулярными выборками) немного отличается от рассмотренной выше.

Пусть требуется интерполировать значение дискретного сигнала u(nT) между двумя соседними отсчетами с координатами nT и (n+1)T. Обозначив середину текущего интервала дискретизации величиной mT, получим для полинома первой степени (случай линейной интерполяции) простейший алгоритм интерполяции: mT=(n+1/2)T

u(mT)= [u(mT-T/2)+ u(mT+T/2)]/2

Таким образом, линейная интерполяция сводится к нахождению среднеарифметического двух соседних значений. Частотная характеристика показана на первой кривой Рис. 4.16. H()=cos(T/2)

Используя четыре соседние точки, получим формулу, которая удовлетворяет всем кубическим уравнениям:

u(nT)=[-u[(n-³/₂)T] + 9u[(n-¹/₂)T] + 9u[(n+¹/₂)T] -- u(n+³/₂)T]/16

или в символическом виде: 1/16 {-1; 9; 9; -1}

Формула приводит к передаточной функции

H()=[9cos(T/2)-cos(3T/2)]/8

Рис. 4.16 Передаточные функции среднеточечной интерполяции данных полиномом 1-го порядка (1); 3-го порядка (2)

Для полиномов пятого (шесть точек) и седьмого (восемь точек) получаются алгоритмы интерполяции, указанные коэффициентами цифрового фильтра в символическом виде:

1/256 {3, -25, 150, 150, -25, 3}

1/2048 {-5, 49, -245, 1225, 1225, -245, 49, -5}

Обратим внимание на то, что коэффициенты фильтров являются симметричными, поэтому передаточные функции выражаются через действительные косинусы.

Можно показать, что чем выше порядок многочлена, тем выше степень касания в точке максимума передаточной функции и тем ближе он к характеристике широкополосного фильтра.

91. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА СЛУЧАЙНЫХ МБС. ПАРАМЕТРЫ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА.

Физические процессы могут быть пред­ставлены некоторой совокупностью сигналов. Каждый из сигналов отражает функциональную взаимосвязь определен­ных параметров процесса и является част­­ной характеристикой процесса в целом. Таким образом, сигналы являются носителями информации о некотором физическом процессе. До получения сигнала его следует рассматривать как случайный, при этом случайный процесс представляет собой совокупность - ансамбль функций, например, времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после получения сигнала, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей. Пусть имеется совокупность функций x₁(t), x₂(t), ... x_n(t) образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени t=t₁, образуют совокупность случайных величин x₁(t₁), x₂(t₁), ... x_n(t₁).

Вероятность того, что величина x_k(t₁) при измерении попадает в какой-либо определенный интервал (a; b), определяется выражением:

(5.1)

Функция p(x; t₁) представляет собой дифференциальный закон распределения случайной величины x(t₁) и называется одномерной плотностью вероятности, а Pt₁ - интегральной вероятностью.

Функция p(x; t₁) имеет смысл для случайных x непрерывного типа, но при любом характере x должно выполнятся равенство:

(5.2)

где x_min и x_max - границы возможных значений x(t₁). Если же x является случайной величиной дискретного типа, то интеграл вероятности заменяют суммой вероятностей p_i, соответствующих величинам x_i:

Задание одномерной плотности вероятности позволяет произвести статистическое усреднение как самой вели­чи­ны x, так и любой функции f(x). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение x по множеству (по ансамблю) в каком-либо "сечении" процесса, в фиксированный момент времени.

Заметим, что в широком смысле большинство МБС - ЭКГ, ЭЭГ, ЭМГ, РПГ и др., являются случайными сигналами либо изначально, либо вследствие искажения их шумами и помехами, которые возникают в технических средствах измерительно-диагностической медицинской техники либо являются проявлением биологических артефактов.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие основные параметры случайного процесса:

- математическое ожидание:

(5.3)

- дисперсия D_x: (5.4)

- среднеквадратическое отклонение _x:

(5.5)

Одномерной плотности вероятности недостаточно для полного описания процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t) только в фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности p(x₁,x₂; t₁,t₂), позволяющая учитывать связь значений x₁ и x₂, принимаемых случайной величиной в произвольно выбранные моменты времени t₁ и t₂.

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности при достаточно больших n.

Однако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.

92. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. ПОНЯТИЕ СТАЦИОНАРНОСТИ И ЭРГОДИЧНОСТИ.

Возьмем, например, несколько одинаковых электронных усилителей, находящихся в одинаковых условиях, и будем наблюдать изменения шумовых напряжений на их выходах. Для любого момента времени t эти напряжения на выходах разных усилителей будут в общем случае различны и непредсказуемы.

К выходному напряжению каждого из усилителей мы можем применить преобразование Фурье и таким образом определить спектр шумового сигнала. Естественно попытаться далее усреднить спектры по всему множеству усилителей, т.е. найти некоторую среднюю спектральную характеристику шумовых свойств усилителей. Но если таких усилителей достаточно много, то вполне может оказаться, что средний спектр близок к нулю. Дело в том, что если даже амплитуды частотных компонентов на выходах всех усилителей одинаковы, то их фазы наверняка различаются. И если фаза с одинаковой вероятностью может принимать любые значения в промежутке от 0 до 2, то тогда усреднение по всем усилителям и будет давать нулевой спектр.Здесь уместно вспомнить, что энергетический спектр, как это было показано ранее, не зависит от фазовых соотношений гармоник. Поэтому именно энергетический спектр и применяется для характеристики интенсивности случайных, в частности, шумовых процессов.

Наиболее простой в смысле математического описания, но вместе с тем типичный для многих реальных процессов - это случайный процесс, обладающий свойствами стационарности и эргодичности.Под стационарностью понимается что характеристики случайного процесса при прочих равных условиях не зависят от того, когда мы наблюдаем этот случайный процесс.

Эргодичность случайного процесса говорит о том, что усреднение по множеству (ансамблю) может быть заменено усреднением по времени. Иначе говоря, вместо того, чтобы усреднять характеристики шума по множеству усилителей, можно просто достаточно долго наблюдать шум одного усилителя и затем найти средние характеристики этого шума.

Замечание: условие эргодичности случайного процесса включают в себя и условие его стационарности.

Для стационарного эргодического случайного процесса спектр мощности определяется выражением:

(5.6)

При практических исследованиях для нахождения оценки спектра мощности по экспериментальным данным обычно приходится дополнительно проводить сглаживание в частотной области, с тем, чтобы сделать эту оценку статистически состоятельной. Энергетический спектр (спектр мощности) случайного процесса является неслучайной функцией частоты.

Например, типичными являются случайные процессы в виде шума с постоянной спектральной плотностью мощности P()=P₀. Такой шум называют белым шумом. Дисперсия белого шума бесконечно велика, поэтому он не встречается в природе и является математической абстракцией, позволяющей во многих случаях упростить анализ.

Часто встречается шум со спектральной плотностью, возрастающей при убывании частоты по закону P()=P₀ ₀/, такой шум называют розовым или фликкер-шумом.

В частности, шум электронного усилителя можно в большинстве случаев представить в виде суммы двух подобных составляющих: P()=P₀(1 + ₀/),

где ₀ - частота сопряжения белого и розового шумов.

В соответствии с определением эргодичности случайного процесса, параметры случайного процесса записываются в следующем виде (черта сверху здесь обозначает операцию усреднения по времени):

- среднее значение:

(5.7)

- корреляционная функция:

(5.8)