rpd000004435 (080100 (38.03.01).Б1 Экономика авиационных проектов), страница 4
Описание файла
Файл "rpd000004435" внутри архива находится в следующих папках: 080100 (38.03.01).Б1 Экономика авиационных проектов, 080100.Б1. Документ из архива "080100 (38.03.01).Б1 Экономика авиационных проектов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "rpd000004435"
Текст 4 страницы из документа "rpd000004435"
6.10. Какой угол образуют единичные векторы , , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны? Ответ: .
6.11. Даны векторы ; . Найти ортогональную проекцию вектора на ось, заданную вектором , и ортогональную составляющую вектора относительно этой оси, а также алгебраическое значение длины проекции вектора .
6.12. Даны векторы ; ; . Найти:
6.13. Даны векторы ; . Разложить вектор по векторам и . Найти:
а) координаты вектора в стандартном базисе;
б) длину и направляющие косинусы вектора ;
г) ортогональные проекции , вектора ;
д) алгебраические значения и длин проекций;
ж) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
6.14. Даны векторы ; ; . Разложить вектор по векторам , , . Найти:
а) координаты вектора в стандартном базисе;
б) длину и направляющие косинусы вектора ;
в) произведения , , , определить ориентацию тройки , , ;
г) ортогональные проекции , вектора ;
д) алгебраические значения и длин проекций;
ж) угол между вектором и плоскостью, содержащей векторы и ;
з) площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;
и) объем параллелепипеда , построенного на векторах , , .
6.15. На векторах и построен треугольник . Требуется найти:
а) длины сторон треугольника;
в) площадь треугольника;
г) координаты вектора (в стандартном базисе), где отрезок – высота треугольника.
6.16. На векторах , , построена треугольная пирамида (рис.8.25). Требуется найти:
д) высоту пирамиды, опущенную из вершины ;
е) высоту треугольника , опущенную из вершины ;
ж) угол между ребром и плоскостью грани ;
з) величину угла между плоскостями граней и ;
и) направляющие косинусы вектора ;
к) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора на направление вектора ;
л) ортогональную проекцию вектора на прямую, перпендикулярную грани ;
м) единичный вектор (орт), имеющий направление вектора ;
н) вектор , имеющий длину вектора и направление вектора .
Собственные векторы и квадратичные формы.doc
Занятие 7. Собственные векторы и собственные значения. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
7.1. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц:
е) , , , , ; ж) , , , , , ; з) , ; и) , , , . Собственные векторы матриц определяются неоднозначно.
7.2. Записать квадратичные формы в матричном виде, найти их ранги ( ) и дискриминанты ( ):
Ответ: а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , .
7.3. Найти матрицы вторых производных (матрицы Гессе) функций векторного аргумента:
7.4. Найти точки локального экстремума функций:
Ответ: а) – точка локального минимума; б) – точка локального минимума; в) – точка локального минимума; г) нет точек экстремума; д) – точка локального максимума; е) – точка минимума. Решение см. в [4], пример 6.13.
7.5. Привести квадратичную форму
к каноническому виду: а) методом Лагранжа; б) методом Якоби.
7.6. Используя критерий Сильвестра, найти, при каких значениях квадратичная форма положительно определена.
Алгебраические линии(прямые и плоскости).doc
Занятие 8. Алгебраические линии (прямые и плоскости).
8.1. Для прямой, проходящей через точки и , составить: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение; г) уравнение "в отрезках"; д) уравнение с угловым коэффициентом.
8.2. Установить взаимное расположение каждой пары прямых (пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, совпадающие):
Ответ: а) пересекаются в точке ; б) перпендикулярны, пересекаются в точке ; в) параллельны; г) совпадают.
8.3. Заданы координаты вершин , , треугольника . Составить уравнения прямых, проходящих через вершину и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне .
8.4. Даны координаты двух вершин , треугольника и точки пересечения его высот. Найти координаты вершины треугольника. Ответ: .
8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с прямой угол величиной .
8.6. Заданы координаты вершин , , треугольника . Требуется:
а) составить уравнение серединного перпендикуляра к стороне ;
б) составить уравнение прямой, содержащей медиану ;
в) составить уравнение прямой, содержащей высоту ;
г) составить уравнение прямой, содержащей биссектрису ;
д) для прямой составить общее и нормированное уравнения, а также уравнение "в отрезках";
е) найти расстояние от начала координат до прямой ;
ж) найти площадь треугольника, образованного прямой и координатными осями;
з) вычислить величину угла между прямой и осью абсцисс;
и) найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
8.7. Плоскость задана уравнением . Составить параметрическое уравнение и уравнение "в отрезках" этой плоскости.
8.8. Плоскость проходит через точки , , . Составить для этой плоскости:
а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение.
8.9. Установить взаимное расположение каждой пары плоскостей (пересечение, перпендикулярность, параллельность, совпадение):
Ответ: а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают; г) перпендикулярны.
8.10. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей на координатных осях равные положительные "отрезки". Ответ: .
8.11. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку и ось абсцисс. Ответ: .
8.12. Составить уравнение плоскости "в отрезках", проходящей через точку и параллельной плоскости . Ответ: .
8.13. Прямая проходит через точки , . Составить для этой прямой: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение.
8.14. Установить взаимное расположение каждой пары прямых (скрещивающиеся, пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, совпадающие):
Ответ: а) пересекающиеся в точке ; б) перпендикулярные, скрещивающиеся; в) совпадающие; г) перпендикулярные, пересекаются в точке ; д) параллельные.
8.15. Найти ортогональную проекцию точки на плоскость, проходящую через точку и прямую . Ответ: .
8.16. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и . Ответ: .
8.17. Составить каноническое уравнение проекции прямой на плоскость . Ответ: .
8.18. Составить уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и . Ответ: .
8.19. Установить взаимное расположение пар, образуемых прямой и плоскостью (пересечение, перпендикулярность, параллельность, принадлежность прямой плоскости):
Ответ: а) прямая пересекает плоскость в точке ; б) прямая перпендикулярна плоскости и пересекает ее в точке ; в) прямая параллельна плоскости; г) прямая принадлежит плоскости.
8.20. Заданы координаты вершин , , треугольника . Составить уравнения прямых, проходящих через вершину и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне , принадлежащего плоскости треугольника.
8.21. В пространстве заданы три прямые:
Найти величину угла между скрещивающимися прямыми. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые.
8.22. Заданы координаты вершин , , , треугольной пирамиды . Требуется:
а) составить общее уравнение плоскости грани ;
б) найти расстояние от вершины до плоскости грани ;
в) найти величину угла между плоскостями граней и ;