Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 8

В лите- 46 ратуре можно встретить также термины а к у с т и ч ес к и е или с к а л я р н ы е в о.ч н ы. Совсем иной природой обладают волны на поверхности воды. Здесь колеблющиеся частицы перемешаются в направлении, перпенднклуярном направлению распространения.

Поэтому для волны данного вида недостаточно лишь указать величину смещения колеблющихся точек относительно положения равновесия, а следует ука- Рнс. 2Л. Некоторые примеры волновых пропессов. а — евуновые водны; б — волны на новсрдностн воны. зать конкретно ту плоскость, в которой происходят колебания. Эта плоскость называется плоскостью п о л яр и з а ц и и волны, а сам волновой процесс — п о п е р е чными, поляризованными или векторными волнами. Можно доказать, и это будет видно из примеров, рассмотренных в настоящей главе, что электромагнитные волны имеют вид поперечных волн.

Волны разной физической природы классифицируются в зависимости от того, какую конфигурацию они принимают в пространстве. Плоские волны. Рассмотрим безграничное трехмерное пространство с декартовой системой координат х, у, г, в каждой точке которого задана некоторая величина А (физическая природа ее безразлична), которая во времени и в пространстве меняется по закону А('г, 1) =Лесов(оу(-+-Дг). (2.1) При этом говорят, что в пространстве существует моно- хроматическая плоская волна Аргумент косинуса, т.

е. ау~(тг, называемый обычно ф а з о й волны, является функцией времени 1 и пространственной координаты г. 47 Если зафиксировать г, то величина А принимает те же самые значения через промежутки времени, кратные периоду Т=2п/ы. Если же фиксировано время, то величина А изменяется периодически вдоль оси г с периодом Х, называемым длиной волны. Легко видеть, что величины ф и Х связаны друг с другом: 'р=2п/Х, !/м. (2.2) Число р служит важнейшей характеристикой волнового процесса и носит название постоянной распрос т р а н е н и я волны, Употребляются также термины ф азовая постоянная и волновое число.

Физический смысл величины р состоит в том, что она указывает, на сколько радиан изменяется фаза волны при прохождении одного метра пути. Наличие двух возможных знаков в формуле (2.1) связано с тем, что плоские волны могут распространяться в д~вух противоположных направлениях. Назовем поверхность, удовлетворяющую уравнению ех1 ~ ()г = сопз1, (2.3) волновым фронтом плоской волны, Очевидно, что в рассматриваемом случае волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси г и перемещающиеся в пространстве со скоростью о,р = г(з/М = ы/(1, (2А) носящей название ф а з о в о й с к о р о с т и.

Поскольку время изменяется всегда лишь в одном направлении, уравнение ю| рг=сопз( (2.5) соответствует фронту волны, распространяющейся в направлении положительной оси г. Изменение знака в фазе волны ведет к изменению направления ее распространения. Введем комплексные амплитуды плоских волн. В соответствии с методом, рассмотренным в 5 1.12, будем иметь для волны, распространяющейся в положительном направлении, А+ — А,е ~г*, (2.6) а для волны, идущей в противоположную сторону, А =А,е+в*. (2.7) Распространение волн в любой реальной среде неизбежно сопровождается уменьшением их амплитуды за счет тепловых потерь. Закон затухания легко найти нз следующих простых соображений.

Предположим, что в начальной плоскости и=О (рнс. 2.2) амплитуда волны 1ПО оУ яп" Аа о гтт 2м Яж Рис. 2.2. Спадапие амплитуды волны при распространении в среде е потерями. имеет исходную величину Аа, условно принимаемую за 100%, Положим далее, что при прохождении 1 м пути амплитуда падает на 10%, т. е, А,=90%. Легко сообразить, что Аа=0,9 Ае=81%, Аа=72,9о7о и т.

д. Общая закономерность имеет здесь вид Аа А, Ав-~ (2.8) Из элементарной алгебры известно, что именно таким свойством обладает показательная функция, т. е. в общем виде можно записать соотношение пропорциональности А,(г) л.е (2.9) Здесь а носит название постоянной затухания волны. Величины р и а можно объединить, введя комплексную постоянную распространения у, т.

е. т=Ф вЂ” ! (2.10) Итак, вещественная часть у определяет закон изменения фазы в распространяющейся волне, в то время как мнимая часть характеризует затухание. Сферические волны. Данный тип волн получается в тех случаях, когда какой-либо точечный источник возбужда- 4 — 1443 49 ет неограниченное однородное пространство.

В силу полной симметрии задачи волновые фронты имеют внд сфер. Если ограничиться простейшим случаем, при котором амплитуда колебаний зависит лишь от радиальной координаты г, то можно показать, что при гармоническом законе изменения поля во времени справедлива следующая зависимость: Л(г,1) = ' соз(в1 — рг), Последний результат легко проверить, подставив (2.11) в уравнение Гельмгольца д'Л'+ р' А = О, записанное в сферической системе координат (см.

приложение) с учетом пространственной симметрии задачи. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 16. Сферические волны являются важным объектом изучения в электродинамике, поскольку с ними связаны многие задачи об излучении антенн. Цилиндрические волны. Волны, возбуждаемые бесконечной нитью источников, расположенных по оси г, носят название цилиндрических волн. Волновые фронты при этом имеют вид концентрических цилиндров.

Можно показать, что на расстоянии от оси, значительно превышающем длину волны, справедливо следующее приближенное равенство: А, А (г, 1) .= =' соз (ш1 — ~г). Р' г (2.12) Цилиндрические волны рассматриваются в задачах элек- тродинамики, связанных с излучением электромагнитных волн отрезками линейных проводников. или, если выразить величину А(», 1) через ее комплексную амплитуду, Л (г) = Л, е '~'/г.

(2.11) 2.2. Однородная плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией Данный простейший вид волнового движения электромагнитного поля, несмотря на его идеализирован- ность, имеет большое значение для решения ряда прак- 50 тически важных задач. Например, рассматривая сферические волны, возбужденные точечным источником, на достаточно большом удалении от него, можно из-за малой кривизны заменить малый участок сферы плоскостью. Другими словами, плоские волны являются предельным случаем сферических волн при стремлении радиуса сферы к бесконечности.

Сделаем следующие предположения относительно рассматриваемой плоской волны: а) комплексный вектор Пойнтинга П ориентирован вдоль оси з, причем единственная составляющая вещественна: П=П, 1„ откуда ~~см, формулу 11.71) — определение вектора Пойнтинга] следует, что продольные составляющие электрического и магнитного полей в рассматриваемой плоской волне равны нулю: Е,=О, Н,=О; б) плоская волна однородна, т. е.

амплитуды полей вдоль волнового фронта неизменны; поскольку все волновые фронты параллельны плоскости ХОУ, последнее условие математически записывается следующим образом: д/дх=д/ду=О; в) из двух возможных поперечных составляющих электрического вектора Е„и Е„лишь Е„отлична от нуля. Таким образом, электрический вектор колеблется в плоскости ХОЯ. Эта плоскость называется плоскостью поляризации, а сама волна — плоской волной с линейной поляризацией. С учетом сделанных предположений система уравнений Гельмгольца (1.66) относительно составляющих электрического вектора превращается в единственное уравнение — '" +Т'Š— О, (2.

13) В этом уравнении знак частной производной заменен на знак обыкновенной производной, поскольку неизвестная функция зависит лишь от координаты г. Общее решение 4» 51 данного уравнения имеет следующий вид: А — нг ) А н» (2.14) где А„ А, — произвольные, вообще говоря, комплексные, постоянные. Сравнивая вид решения (2.14) с формулами (2.6) и (2.7), убеждаемся, что оно отображает сумму двух волн с одинаковыми постоянными распространения у, распространяющихся в разные стороны вдоль оси г. Положим для определенности А,= О, тогда — нг (2.15) Найдем магнитный вектор в данной плоской волне.

Для этого воспользуемся вторым уравнением Максвелла го1 Е= — 1 ар.,Н, откуда следует Н= го1Е. 1 1 0~0'в (2.!6) Раскрывая операцию го1, убекдаем.я, что 3 мна ~~ 0~к'а (2.17) Итак, вектор магнитного поля в данной плоской волне имеет лишь составляющую Н„и, следовательно, перпендикулярен к вектору электрического поля. Чрезвычайно важно отметить, что, как это следует из (2.17), между составляющими электрического и магнитного полей существует пропорциональность: Е„~Й „= ан„/7. (2.18) Вывод, следующий отсюда, состоит в том, что при отсутствии потерь в среде, т. е, при у вещественном, поля Е и Н колеблются в фазе. В соответствии с (1.79) это означает, что плоская электромагнитная волна в среде без потерь переносит только активную мощность. Из теории линий с распределенными параметрами известно, что мекду напряжением О и током 7 в бегу- 52 Е,/Н„= Е,. (2.19) Здесь 2, — некоторая постоянная, имеющая размерность сопротивления и называемая ха р а к те р исти чес к и м (вол н о в ы м) сопротивлением данной среды.

Из развернутого выражения для у следует, что 2 о = оооо/!' = У !оо/во, (2.20) т. е. Зо полностью определяется лишь параметрами среды. Параметром, очень важным для расчетов, является характеристическое сопротивление вакуума Ло = УР'о/оо (2. 21) Подставив в (2.21) значения ро —— 4н 10-' Г/м и ео= =10-о/Збп Ф/и, получим 3о=120п=377 Ом, Знание характеристического сопротивления данной среды позволяет находить электрическое поле в плоской волне по известному магнитному полю и наоборот. 2.3.

Фазовая скорость и постоянная затухания плоских волн В данном параграфе в качестве примеров использования приведенных общих положений будут получены характеристики распространения плоских электромагнитных волн в некоторых наиболее важных средах. Вакуум. Фазовая скорость волн в вакууме находится по общей формуле (2.4). Поскольку фазовая постоянная волн в вакууме ро=~ У'оно фазовая скорость определяется как ое = — — — — — 3.10' —,=с, оо ! о и )г, о (2. 22) 63 щей волне существует прэпорциональиость, причем 3,= =(/// называется ха р а к т е р и с т и ч е с к и и (волновым) с о п р о т и в л е н и е м данной линии. В аналогичной фор- ме можно представить и соотношение (2.18): Таким образом, получен один из основных результатов теории Максвелла — отождествление скорости света в вакууме со скоростью произвольной электромагнитной волны. Другими словами, скорость плоских электромагнитных волн в вакууме равна скорости света с независимо от частоты этих волн.