Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 12

Естественно, что при стремлении угла падения к нулю угол преломления ф также стремится к нулю. Поэтому для случая падения, близкого к нормальному, закон Снелля следует понимать в предельном смысле. Поскольку р=то )т'п,р,, формула (4.17) мо кет быть записана в таком виде, что в нее войдут лишь электро- динамические параметры граничащих сред. Для этого введем величину и = 1'пр., носящую название п о к азат е л я п р е л о м л е н и я данной среды. Если, например, пд)пь то принято говорить, что вторая среда обладает большей оптической плотностью, чем первая. Закон Снелля примет вид з)птр/з1птр = по/аь (4.18) Рассмотренные закономерности справедливы безотносительно ориентации векторов поля к плоскости падения. Более тщательный анализ показывает, что в силу векторного характера электромагнитного поля ряд явле- ний, возникающих при падеНпдд НотР нии плоской электромагнит- ной волны на границу разЕ пад Е„р Дела, сУЩественно РазличаУ У ется в зависимости от,взаим- ной ориентации плоскостей У поля~ризации и падения.

Пой нпР этому рассмотрим два слу- чая. Епр Перпендикулярная поляризация характерна тем, что плоскость поляризации, т. е. плоскость, содержащая вектор Е, перпендикулярна плоскости падения (рис. 4.6). Определять коэффициенты отражения и преломления для случая перпендикулярной поляризации будем, пользуясь принципом непрерывности тангенциальных составляющих поля на границе раздела. Граничные условия относительно напряженности электрического поля запишутся весма просто: Еппд+ Ептр = Едр (4.19) 7б При записи граничных условий относительно векторов напряженности магнитного поля следует учесть, прежде всего, что тангенциальные составляющие получаются за счет умножения модулей векторов Н на косинусы соответствующих углов.

Кроме того, в данной задаче весьма удобно выразить векторы Н через векторы Е, пользуясь понятием характеристических сопротивлений сред (см. 5 2.2). Таким образом, условие непрерывности тангенциальных составляющих векторов Н в плоскости а=О примет вид — ~(Е „— Е„а) = " сов( (4.20) Введем коэффициенты отражения и преломления по нулю, указав значком снизу, что эти величины относятся к случаю перпендикулярной поляризации: 7 = Е„р(Е„,д. и 1с = Е„р(Е„,„, (4.2! ) Теперь формулы (4.18) и (4.19) мо.кно объединить, получив систему двух алгебраических линейных уравнений относительно Е и 7'з: (4.22) свз т т — 11 — Е ) = — соз 7. г„ 2 Решение системы (4.22) имеет вид л„соз т — х„соз Ф з я,рсоз т + я,~ с05 Ф (4.23) зхсз соз т Т х„с05 т + л,! 00$ Ф (4.24) Интересно отметить, что вид соотношений (4.23), (4.24) аналогичен виду формул (4.8), (4.9), полученных для случая нормального падения плоской волны на диэлектрическое полупространство.

Отличие состоит лишь в том, что здесь характеристические сопротивления приходится умножить на косинусы соответствующих углов. При пользовании формулами (4.23), (4.24) необходимо, за- 77 даваясь некоторым значени«аяд атр ем угла падения Чт, одновреи менно вычислить угол преломления ф на основании запад кона Снелля (4.17). 2 На практике весьма часто приходится вычислять хан,р рактеристики отражения и н„р преломления плоских волн для частного случая, когда 1 средой 7 является ~вакуум или воздух (ет=1, 1лт=!), а средой 2 — немагнитный (рз=1) диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью е.

Прн этом удается объединить формулы (4.22), (4.23) с законом Снелля и записать их в виде Рис. 4.7. Случай параллельной поляризации. Я соз т — я~а — згп "— ...т; — -арл (4.25» 7 1 соя р соз т +Уа — з1п' т (4.26) (Епад Ест р) соз 'т = Епр соз (т, (4.27) (Е„,д+Е„р)12„=Е р~У„.

(4.28) Введем коэффициенты отражения К и преломления Т по электрическому полю. Значок внизу указывает на й то, что даьные величины относятся к случаю параллельной поляризации. Деля левые и правые части уравнений (4.27), (4.28) на амплитуду Е„,д, получаем следующую систему уравнений относительно К, и Т,: (1 — Я )соз<р=Тй созф, (4.29) Параллельная поляризация.

Здесь векторы Е во всех трех волнах параллельны плоскости падения (рис. 4.7). Так же, как и для перпендикулярной поляризации, могут быть записаны граничные условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля. Оии принимают вид (1+4,)/Е„.,=Т (2„, (4.30) откуда 2~~ сОБ т — хд~с05 4 )~ Л„соз т + Я„созФ' (4.3Ц 2х„сов т З Лп соз т + Х„соз Ф' (4.32) Для случая, когда средой 2 является немагнитный диэлектрик с относительной проницаемостью а, формулы (4.31), (4.32) приводятся к виду, более удобному для расчетов: т — $' дат К (4.33) Т а сов т + р~~ — мп' т ' (4.

34) Таким образом, на основании двух последних рассмотренных случаев приходим к выводу, что при различных поляризациях законы изменения коэффициентов отражения и преломления от угла падения описываются разными функциями. Если рассмотреть наиболее общий случай, когда на границу раздела падает плоская электромагнитная волна с вращающейся эллиптической поляризацией, то отсюда следует что все три волны — падающая, отраженная и преломленная — характеризуются различными коэффициентами эллиптичности, причем коэффициенты эллиптичности отраженной и преломленной волн зависят от угла падения.

4.5. Угол Брюстера 2„сов~, — г„соз(,=0 (4.35) 79 При падении плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред при определенных условиях ко. эффициент отражения может обращаться в нуль. Угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, проникает из одной среды в другую, называется углом Брюстера и обозначается как ев. Из (4.22) и (4.29) следует, что р удовлетворяет одному нз двух уравнений: при перпендикулярной поляризации либо гьпс 'р — г„созф =() (4.36) при пачаллельной поляризации. Здесь под фа подчазумевается угол ппеломления, соответствующий углу падения ~гв.

Легко видеть, что уравнения (4.35) и (4.36) взаимно п~ротиворечат друг другу, т. е. явление полного прелом~тт) о«Б' О,тг 02 Рис. 4.8, Зависимость козффициептов отражения от границы раздела «воздух — полистирол (с=2,86)» при различных ноляризацнях от угла падения. ленин можно наблюдать либо при перпендикулярной, либо при параллельной поляризации. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда обе граничащие среды являются немагнитными (р,=р,=!), в то время как оптическая плотность второй среды больше, чем первой (еа>ег). Из данных предположений, во-первых, следует что Яе«>Я«а. Во-вторых, в силу закона Снелля (4.17) гр>тр, т.

е. созгр(созтр. Обращаясь к формулам (4.35) и (4.36), видим, что первое из этих уравнений в,рамках сделанных предположений принципиально не может иметь решений. Таким образом, угол Брюстера при падении плоской электромагнитной волны на немагнитный диэ.лектрик может существовать лишь п~ри параллельной поляризации. Удобную формулу для вычислений угла Брюстера можно получить из соотношении (4.33). Действительно, 80 125 должен УдовлетвоРЯть УРавнению в сов 4~в= 1у в — 51п откуда легко находим 15 тв — гг'. (4.37) (4.38) Сравнение графиков, зависимостей коэффициентов отражения для волн обеих поляризаций, представленных иа рис.

4.8, иллюстрирует понятие угла Брюстера. Явление полного преломления может иметь полезные технические приложения. Так, пластинка из диэлектрика, установленная под углом Брюстера по отношению к направлению 1распространения падающей волны, не создает отражений. В то же время эта пластинка может играть роль важного конструктивного элемента, обеспечивая, например, вакуумное уплотнение какого-либо прибора. 4.6. Полное внутреннее отражение Обратимся вновь к формулировке закона Спелля: 5!п 111/51п ф = П2/п1. Здесь могут представиться два случая. 1. Оптическая плотность с1реды 2 превосходит оптическую плотность среды 1, т. е. п,)л1.

При этом условии всегда ф(~, а поскольку угол падения 1р лежит в интервале 0 (гр(90', преломленная волна существует при любом угле падения. 2. Среда 2 является оптически менее плотной, т, е. пг(л1. Здесь всегда 1р)1р, поэтому найдется такое значение угла падения, при котором преломленная волна пойдет параллельно границе раздела под углом ф=90'. Данное критическое значение угла падения носит название угла полного внутреннего отражения; р„, = агс 51п (и~и1) . (4,391 При углах падения гр >1р„„п1реломленной волны в обычном представлении не существует, энергия падающей волны полностью отражается внутрь первой среды.

Явление полного внутреннего отражения широко используется в оптике при создании призм, изменяющих направление пучка лучей (рис.4.9). Подобные жеустройства последнее время начали находить применение и в диапазоне СВЧ, например, на миллиметровых волнах. б — 1443 81 Приведенный является неполны угол преломления но записать 4= а/2+)а, з!нт=сйа, созф=- — )зла. (4.40) Здесь а — мнимая часть угла преломления. Подставляя выражения (4.40) в (4.!3), получаем — рй рсв а — раааа а „р ° е е (4.4! ) Г!о математической форме данное соожюшенне ьесьма напоминает выражение для комплексной амплитуды плоской волны, распространяющейся в среде с потерями (см й 2.!).

Однако между ними существует принципиальная разница, так как в выражении (4.41) экспопенцнальное уменьшение амплитуды волны происходит вдоль координаты г, в то время как волна распространяется вдоль координаты у. Такие волны носят название н е о д н о р о д н ы х плоских волн. С физической точки зрения неоднородная плоская волна распространяется вдоль границы раздела, как бы «прилипая» к ней Указанная особенность дает основание назвать такие волны поверхностными волнами.

В дальнейшем этот вопрос будет изучен более подробно. На ~первый взгляд может показаться, что понятие комплексного угла преломления введено несколько искусственно. Однако, по-существу, подобное расширение понятия плоской волны справедливо, поскольку комплексная амплитуда вида (4.41) служит решением уравнения Гельмгольца Ч'Еяр + рз Вар = О, 2'г в чем можно убедиться непосредственной подстановкой, приняв во внимание, что зйза=сйза — 1. 62 анализ эффекта полного внутреннего отражения м, поскольку, с одной стороны, Вет ответа на вопрос о том, что происходит при углах падения ~р, больших, чем ыа о С другой стороны, было бы весьма целесообразно изучить структуру поля в среде 2 при наличии полного внутреннего отражения. Обращаясь к формуле (4.18) и предполагая па<по видим, что при Чз)грааа величина з!пф должна быть больше единицы. Очевидно, что цри любых вещественных значениях угла преломления такая ситуация невозможна.