Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 10

Требуется отыскать электромагнитное поле в такой же окрестности, принадлежащей области 2. Для упрощения решения поставленной задачи векторы электромагнитного поля, прииадлежашие окрестности точки Р, принято разлагать на тангенциальные (касательные) и нормальные составляющие. Так, вектор Е (см. рис. 3.2) может быть представлен в виде Е=Е 1 +Е„1„. Здесь 1,, 1„— единичные векторы тангенциального и нормального направлений. Оба единичных вектора лежат б! ног Рис.

33. К постановке задачи о граничных условиях. Рис. 3.2, Разложение всктора поля на тангспднальпую и нормальную составля1ощис. в плоскости, образованной вектором Е и нормалью к поверхности, проведенной в точке Р. Далее будет в отдельности рассмотрено поведение тапгенциальпых и нормальных составляющих векторов на границе раздела.

3.2. Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля Обозначим через В, и Ва векторные поля магнитной индукции в средах 1 и 2 соответственно (рис. 3.3). Выделим в окрестности точки Р цилиндрический объем с ос- Рис. ЗЛ. К выводу граничных условий для нормальных составляю- щих векторов электромагнитного поля. нованиями ЛЛ и высотой образующей Л1т, достаточно малый для того, чтобы считать Вг и В, постоянными в пределах площадей ЛЯ. Поток вектора магнитной индукции через суммарную поверхность запишется следующим 62 образом: $ В (3 = В,1 „33 — В,(„й3+ 3 + поток через боковую поверхность.

(3.2) Приближенное равенство (3.2) становится точным при стремлении ЛБ к нулю. Если же устремить к нулю высоту цилиндра ЛЬ, то соответственно бесконечно малым станет поток вектора индукции через боковую поверхность. Следовательно 1пп ф ВсБ = В,1„ЬЯ вЂ” В,1„ЬВ. (3.3) вв Поскольку во всех случаях справедлив закон неразрывности магнитных силовых линий ($ 1.5), запишем В1„— В1 =() (3.4) или (3.5) Вь =Взп.

Таким образом, нормальные составляющие вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред непрерывны. Поскольку В=н~Н, последнее соотношение может быть записано относительно напряженностей магнитного поля: (3.6) раьН~и =1ызН~п ° Отсюда видно, что в общем случае напряженность магнитного поля на границе раздела испытывает скачок.

3.3. Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля Методика вывода граничных условий и соответствующая иллюстрация остаются здесь совершенно аналогичными тем, которые были использованы в $3.2. Однако если ранее для магнитного поля всегда выполнялось г)1ч В=О, то в случае электрического поля будем иметь б1ч Р=р. Отсюда возможны два случая. !. Плотность поверхностных электрических зарядов равна нулю. Суммарный электрический заряд, заключенный внутри малой цилиндрической области (см. рис. 3.3), при б3 этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса $В 13=д=о, (3.7) за откуда следует Ро~ =Рай (3.8) еаР~и = аыЕз (3.9) Итак, при отсутствии поверхностных электрических зарядов нормальные составляющие векторов электрического смещения на границе раздела двух сред непрерывны, в то время как нормальные составляющие напряженностей электрического поля в общем случае претерпевают скачок.

2. На границе раздела равномерно распределен поверхностный электрический заряд с плотностью о„„, Кл/ма В этом случае, очевидно, стремление к нулю высоты цилиндра Лй нс влияет на величину заряда, заключенного внутри области. Воспользовавшись законом Гаусса, можно записать формулу, аналогичную (3.3): 1пп $ РсБ = Р,1„Ь5 — Р,1.„Ь5 = э „б3, (3.10) Е откуда Р~~ — 7)г~ = ппов. (3.11) Из выражения (3.11) следует, что при наличии заряжен. ной границы раздела нормальные составляющие векторов электрического смещения испытывают скачок на величину плотности поверхностного заряда в исследуемой точке. Физически это обусловлено тем, что заряд, расположенный на поверхности, создает собственное поле, ориентированное таким образом, что по одну сторону от.

границы раздела это поле складывается с внешним полем, а по другую вычитается. 3.4. Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля Задача о поведении на границе раздела тангенциальных составляющих магнитного поля решается на основе интегральной формулировки закона полного тока (см. 3 1.6) для некоторого малого контура, проведенного в окрестности точки )э, б4 Введем в точке Р три взаимно ортогональных единичных вектора 1,, 1, 1а (рис.

3.4). Два из них, по-прежнему, являются единичными векторами тангенциального Рис. 3.4. К выводу граничных условий для тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля. я лг и нормального направлений, а вектор 1а образует нормаль к плоскости, образованной первыми двумя векторами и лежит в плоскости границы раздела. Выделим в окрестности точки Р достаточно малый прямоугольный контур со сторонами Л( и Ьй (Лл«,з(), лежащий в плоскости, образованной векторами 1, и 1„. Данный контур строится так, что обе меньшие стороны пересекают границу раздела; одна из больших сторон располагается в области 1, а другая — в области 2.

Наконец, будем считать, что на контуре задано такое направление обхода, которое с конца вектора 1д наблюдается против часовой стрелки. В обеих областях, разделяемых границей, протекают некоторые токи, которые могут включать как токи проводимости, так и токи смешения. Применим к рассматриваемому контуру закон полного тока, причем, как в $3.2, будем считать, что размеры сторон контура достаточно малы' для того, чтобы в их пределах считать векторы поля Н постоянными. В результате получим $НЛ=(Н,1,— Н,1,) й1+ + циркуляция ло боковым сторонам ==( 1ор1„+ 1,„1а)а)Ь)г.

(3. 12) Здесь необходимо рассмотреть два случая. 1. Электродинамические параметры обеих граничащих сред являются величинами конечными, т. е. не равными бесконечности. Отсюда непосредственно следует конечное значение векторов плотности токов проводимости и смещения. Теперь совершим предельный переход, устремляя высоту контура ЬЬ к нулю. Очевидно, что при этом величи- 6 — 1443 66 на циркуляции вектора Н по боковым сторонам также будет равна нулю. В силу предположения о конечности векторов плотности токов смещения и проводимости будем иметь 1(ш (3„,1„+3,„1„) д(йй=О.

(3.13) С учетом сказанного формула (3.13) примет внд: 1пп $ НИ! = Н,1,й( — Н,(,Ы = О. (3.14) за- о г Е или (3. 15) Ни, =Ни Таким образом, при конечных значениях электродинамических параметров сред тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля непрерывны. Отсюда сразу следует, что тангенциальные составляющие векторов магнитной индукции терпят разрыв: (3.16) в„(н„= В„1„„. 2. Проводимость одной из граничащих сред бесконечна.

Положим, например, что проводимость второй среды равна бесконечности. Подобное предположение делает неприменимой формулы (3.13). Дело в том, что при бесконечно большой проводимости среды глубина проникновения электромагнитных волн равна нулю на любой частоте. В результате токи проводимости протекают по поверхностной пленке нулевой толщины, так что предельный переход вида (3.13) дает отличный от нуля результат. Для характеристики токов, протекающих по поверхности идеального проводника, вводят понятие вектора плотности поверхностного тока т1.

Принцип введения этого вектора илюстрируется рис. 3.5. Прежде всего проводится единичный вектор, касательный к линиям тока в данной точке. Этот вектор обозначается через ! Затем находится величина тока Ж, протекающего через отрезок Ю, перпендикулярный вектору 1„. Далее плотность поверхностного тока определяется как т1=1пп — 1 . м о "~ бб Теперь формулу (3.12) можно записать в виде 1пп $ НЛ = — Н,!,й1 — Н,1 й1 = т11вй(. (3.18) ьа-~о г Далее следует учесть, что внутри идеального проводника все составляющие электромагнитного поля должны равняться нулю. Поэтому На — — 0 и из (3.18) получим Н,1,= 11,. (3.19) Формула (3.19) позволяет 8 в оп решить важную для практики задачу — определить лс плотность поверхностного тока т) по известному магнитному полю Н, на границе идеального проводника.

С учетом того, что Рис. 3.5. К введению поиитин плотности поверхностного тока. (3.20) 1,= — (1 1в) согласно (3.19) можно записать 1=(1п Щ. (3.21) Таким образом, поверхностный ток на границе раздела с идеальным металлом протекает в направлении, перпендикулярном вектору Нь и численно равен напряженности магиитцого поля. 3.5. Граничные условия для тангеициальных составляющих электрического поля Ег1тФ1 Вв(т 1+ Методика решения данной задачи полностью совпадает с той, которая была применена в 3 3.4. Отличие состоит лишь в том, что вместо закона полного тока следует воспользоваться законом электромагнитной индукции (см. 5 1.8).

В соответствии с этим законом для контура, изображенного на рис. 3.4, будем иметь + циркуляция по боковым сторонам= — ~ — ~ 1ай/ЬЬ, гдВ х ~ д1) (3.22) Функция дВ/дй стоящая в правой части (3.22) для любых граничащих сред, является величиной конечной, поэтому предельный переход при Лй — +О дает 1пп $ ЕЛ = Е,1,Ы вЂ” Е,1,Ы = О, (3.23) откуда (3. 24) (3.25) Таким образом, тангенциальные составляющие векторов напряженности электрического поля на границе раздела сред непрерывны, однако аналогичные составляющие векторов электрического смещения, вообще говоря, претерпевают разрыв.

Рассмотрим отдельно граничные условия в том случае, когда средой 2 (см. рис. 3,4) является идеальный металл. Здесь, как уже известно, всегда Ез=О. Если бы внутри идеального металла существовала конечная напряженность электрического поля, то это привело бы к протеканию здесь бесконечно больших токов проводимости и, как следствие, к выделению бесконечно большого количества тепла, что противоречит физической сущности задачи. Таким образом, с учетом сказанного граничное условие для идеального проводника принимает внд Е,=О.

(3.26) В соответствии с этим условием силовые линии электрического поля должны подходить к поверхности идеального металла по направлению нормали. Понятие «идеальный металл» является абстрактным и на границе раздела с реальным металлом некоторая тангенциальная составляющая электрического поля имеется. Однако будет показано, что она весьма мала, так что во многих задачах ее можно не учитывать. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД В настоящей главе рассматривается некоторый класс задач, возникающих при падении плоских электромагнитных волн на границу раздела двух произвольных сред. При ренгении этих задач используются граничные условия, рассмотренные в гл. 3.