Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 11

4.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость Рассмотрим следующую идеализированную задачу. Пусть на идеально проводящую бесконечную плоскость по направлению нормали падает плоская электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси г декартовой Рис. 4.1. Падение плоской алектроиагнитной волны на идеально про- водипгую плоскость. системы координат (рис.

4.1). Из рисунка видно, что присутствие на поверхности идеального металла лишь вектора напряженности электрического поля падающей волны Е„„не может обеспечить выполнение граничного условия Е,=О. Для того чтобы данное условие выпол- 69 нялось, необходимо допустить наличие в полупространстве я<0 отраженной волны, причем при г=О справедливо равенство Епад+ Еятр=О (см. рис.

4.1). Для того чтобы определить суммарное магнитное поле, существующее на поверхности идеального металла, следует учитывать, что вектор Пойнтинга отраженной волны П„р направлен в отрицательном направлении вдоль оси з. Поскольку модули векторов Ндал и Н„р равны между собой, модуль суммарного вектора Н,=Н„,„+Н„, в два раза больше, чем модуль каждого из слагаемых. Таким образом, получается весьма важный результат— на поверхности идеального проводника суммарное магнитное поле удваивается по сравнению с магнитным полем падающей волны: Н, = 2Ндах.

Знание величины и направления суммарного магнитного поля позволяет определить вектор плотности поверхностного тока по формуле Ч=[1 Н 1. Из рис. 4.1 видно, что поверхностный ток протекает в направлении вектора Е,х, а его амплитуда равна удвоенной амплитуде магнитного поля падающей волны. 4.2. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство Предположим, что полупространство г<0 декартовой системы координат (область 1) представляет вакуум (за=ее, ра= 1ьь а=О), в то время как полупространство г>0 (область 2) представляет собой произвольный диэлектрик с параметрами е„р„о (рис. 4.2).

Пусть в области 1 по направлению положительной оси г распространяется плоская электромагнитная волна, которую будем называть падающей. Для падающей вол- 70 Рис. 4.2. Падение плоской электромагнитной волны на диэлектриче- ское полупространство. ны заданы векторы Е,ад и Н„д, ориентированные так, как зто покааано на рис. 4.2: -Рх Епад = Ехпад е ' 1 х (4.

1) » тде )», = оэ)гга,~, — постоянная распространения плоских волн в вакууме;да=377 Ом — характеристическое сопротивление вакуума. Естественно предположить, что в данной системе помимо падающей существуют еще две волны: отраженная волна, векторы которой имеют вид йн» Е„р — — Ех„р е '1», » где знак вектора Н„р обусловлен тем, что вектор Пойнтинга отраженной волны П„р направлен в сторону отрицательной оси г; прошедшая (преломленная) волна, характеризуемая векторами Епр=Ехаре '' 1х (4.3) Е„»р йй» Н„р — ='е ' 1„.

Здесь р, =еэ')г е,р„, Л„=3 р,„!а„— соответственно постоянная распространения и характеристическое сопротивление среды 2. 71 При записи формулы (4.3) предполагается, что, с одной стороны, область 2 не ограничена по оси з, а с другой, что есть хотя бы сколь угодно малое, но конечное затухание электромагнитных волн при распространении в данной среде. Данные предположения обеспечивают отсутствие отраженных волн в области 2, идущих по направлению отрицательной оси з. Необходимо найти соотношения между амплитудами векторов электромагнитного поля падающей, отраженной и прошедшей волн. Для этого следует учесть, что на границе раздела, т. е, в плоскости а=О должны выполняться граничные условия непрерывности тангенциальных составляющих суммарных векторов электрического и магнитного полей: Е, =Еас Н„=о„при а=О.

(4.4) На основании (4.1) — (4.3) соотношение (4.4) запишется как Евивд+ Еввтр = Еввр Е „,в Е„„р Е,р г, я,=г„' (4.5) Введем коэффициент отражения по электрическому полю Й и коэффициент прохождения по электрическому полю Т согласно соотношениям: Й=Еввтр~Езиад Т=Евир(Евдвд. (4.6) 1 К Т 1+к=т, ~в ~в г в (4.7) откуда е =(г„— г,)1(г„+ г,), т = аг„(г„+ г,). 14.8) (4.9) Деля в (4.5) левыз и правые части равенств на амплит туду электрического поля падающей волны Е,д, получаем систему двух линейных алгебраических уравнений относительно Е и Т: Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения для диэлектрического полупространства полностью определяются характеристическими сопротивлениями граничащих сред.

Весьма интересно отметить, что формулы вида (4.8) и (4.9) встречаются в курсе теоретической радиотехники при рассмотрении отражения вол~и от стыка двух линий с распределенными постоянными, обладающих г и итч~сл волновыми сопротивлениями ))Уг= А и ))уг= тсг, причем вторая линия нагружена на некоторый Рис. 4кй Эквивалентная схема импеданс, равный свое. к задаче об отражении плоской электромагнитной волны от диму ~волневому оопротивле электра гсского полупростраиства нию.

Это позволяет составить эквивалентную схему рассматриваемой электродинамической задачи, изображенную на ~рис. 4.3. Отсюда, как следствие, вытекает возможность решения задач о нормальном распространении плоских электромагнитных волн в системе диэлектрических слоев путем составления эквивалентных схем и последующего использования круговой диаграммы. Нужно лишь учитывать, что длина волны в материальной среде сокращается в1 е раз. 4.3. К вопросу о создании неотражаюших сред Практическая радиотехника настойчиво выдвигает задачу создания таких материальных сред, которые не отражали бы электромагнитных волн.

Частным случаем такой задачи является создание неотражающих покрытий, которые, будучи нанесены на поверхность металлических объектов, препятствовали бы возникновению отраженной волны и тем самым затрудняли обнаружение этих объектов радиолокационными методами. Формула (4.8) устанавливает, что коэффициент отражения от границы раздела )7 равен нулю только в том свучае, когда Е.з=2е. Данное равенство эквивалентно следующему условию: ра/вч = Иа/Ее.

(4.10) До сих пор пет эффективного метода синтеза сред, для которых соотношение (4.10) выполнялось бы в широком диапазоне частот. Говоря о создании неотражающих покрытий, следует отметить, что увеличение меры затухания электромагнитных волн в среде, т.е. 73 рост угла потерь б ведет не к уменьшению, а к возрастанию отражения. Действительно, чем больше б=агс)И1о/юе,), тем больше модуль комплексной диэлектрической проницаемости среды.

Поэтому в пределе 11тпЕеа=б при б — ~-со. Следовательно, 1!и)>= — 1, т, е. среда с бесконечно высоким затуханием ведет себя как идеальный отражатель. Реальный способ создания не- отражающих покрытий заключается в использовании эффекта многократных отражений. Рассмотрим, например, среду, обладающую значительным собственным поглощением, причем поверхность этой среды выполнеаа ребристой (рнс.

4.4). Прн наклонном падении плоской электромагнитной волны внутри ребристой структуры происходит процесс многократных отражений, причем каждое отражение сопровождается потерей части энергии волны. В результате амплитуда отраженного поля значительно меньше, чем амплитуда падающего. Безусловно, что такой способ компенсации отражений не свободен от многих недостатков. В частности, коэффициент отражения в значительной мере зависит от угла падения и от рабочей частоты. Рис. 4.4. Одна из возможных реализаций неотражающей среды. 4.4.

Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство под произвольным углом Рассмотрим, наконец, наиболее общий случай, при котором плоская электромагнитная волна, распространяясь в среде 1, падает на границу раздела под произвольным углом Ч>, удовлетворяющим условно О'(гр(90'. Геометрия дан~ной задачи и направление осей координат ~показаны на рис. 4.5. При анализе этой системы естественно ввести трн |волны — падающую, отраженную и преломленную.

Векторы Пойн- Рнс. 4.5. Падение плоской электроМатнитной волны под произвольным углом, тинга всех трех перечисленных волп лежат в одной плоскости, называемой п л о с к о с т ью п а д е и и я. Для того чтобы записать комплексные амлитуды электромагнитных полей, следует воспользоваться результатами $2.6. Из рис. 4.5 следует, что вектор П, д образует с положительными направлениями осей х, у, и г углы 90', 90 — !р и !р соответственно. Поскольку соэ90'=0 и соз (90' — ~р) =з(пар, комплексная амплитуда падающей волны может быть записана следующим образом: — и (да!Пп+аспаы а-пад ~ ! дада (4.11) Если через ~р' и пр обозначить углы, указанные на рис,4.5 и называемые соответственно углами отражения и пре- ломления, то комплексные амплитуды отраженной и пре- ломленной волн могут быть представлены в виде ŠŠ— н !уа пп — аппп% ) (4.12) р "а де — !дядМпфааппап] г.п ~ Ед„е (4Д З) Е, =Е,, Н, =О, при а=О.

(4.14) Из (4.11) — 14.13) получим, например, Е е 'аадм "а -ь- Е е 'а'"""и = Е е Ячп""Ф (4.15) ппад + пптр ппа Поскольку все точки поверхности раздела являются совершенно равноправными, соотношение (4.15) должно являться тождеством относительно переменной у. Для этого необходимо, чтобы показатели всех экспонент, входящих в (4.15), были равны при всех у.

Данное условие может быть записано в виде двух равенств; !р=ч' (4.16) з!ппР!з1п'ф = Ра1Р!. (4.17) Таким образом, получены два хорошо известных из элементарной физики закона, определяющих поведение 75 На границе раздела, т. е. в плоскости а=О, должны выполняться условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов Е и Н, т. е. волн на границе' раздела двух сред. Первый из них— закон равенства углов падения и отражения, второй носит название закона Снелля.