Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 6

Все перечисленные шесть величин являются вещественными. С течением времени конец вектора Е, представляемого формулой (!.52), описывает в пространстве замкнутую кривую, причем можно показать, и это в качестве упражнения предоставляется читателю, что данная кривая является эллипсом.

Положение плоскости эллипса и величина эксцентриситета определяются как амплитудами, так и фазами отдельных составляющих. Запись, эквивалентная (!.52), имеет вид Е(!)=)се([Е „'е "1„+Е „е "1и+ +Е~ те 1г)е (!.53) Комплексный вектор вида Е=Е „е "1„+Е, е "1а+Е,е "1, (1.54) *) В дальней~нем все комплексвые амплитуды будут обоана-. чатьси точками наверху. принято называть комплексной амплитудойе! поля Е. Метод комплексных амплитуд давно уже нашел широкое применение в теоретической электротехнике. Однако следует указать на одно весьма важное различие между тем методом комплексных амплитуд, который применяется в теории цепей, и тем, который находит использование в электродинамике.

Дело в том, что в электродинамических задачах комплексные амплиту- Е (1) = (хе ( Е с! '). (1,55) Комплексные амплитуды могут быть легко введены в уравнения Максвелла. Возьмем первое уравнение Максвелла и подставим в него соответствующие поля, выраженные через их комплексные амплитуды: го!)се(Не! "') = — (те (6е' ') + +а)се(Ее' ') +)ге(1„е' '). (!.56) Изменяя порядок следования дифференциальных операций и операции взятия вещественной части, что всегда допустимо, а затем сокращая на общий множитель е'"', получаем го! Н = )а!1,'+ оЕ'+Л„.

(!.57) Таким образом, переход к комплексным амплитудам полей совершается по тем же правилам, что и в электротехнике, — оператор дифференцирования по времени, действующий на мгновенное значение поля, заменяется на множитель)ы. Совершенно аналогично преобразуются остальные уравнения Максвелла. Приводим их окончательную сводку: 3» 35 дЫ полей всегда выступают как трехмерные пространственные векторы. Поэтому изображение их на чертежах в виде некоторых вспомогательных векторов, вращаю- шихся на комплексной плоскости, принципиально невоз. можно. Экспоненциальные множители с мцимыми показателями, стоящие при комплексных амплитудах, характеризуют исключительно фазовые соотношения между величинами.

Например, если заданы комплексные амплитуды двух полей Е,=Ею.1, и Ез=!Е„!„то это говорит не о том, что эти два поля в пространстве образуют угол 90' (пространственная ориентация полей одинакова и задается единичным вектором 1,), а лишь о том, что при изменении во времени поле Ез опережает поле Е~ на величину, равную четверти периода. Мгновенные значения электромагнитных полей определяются через комплексные амплитуды следующим образом: 1.

го1Н=)мВ,+оЕ+3„, 2. го1 Е= — 1мВ, (1.58) 3. б)тт Е= р, 4. б!ч В=О, 5. В=еЕ, 6. В = р.,Н. 1.13. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол диэлектрических потерь Если воспользоваться материальным уравнением, то первое уравнение Максвелла может быть записано в виде го! Н =1 юк, Е + Я„, (1.59) где е,=е,— )о/еэ носит название комплексной диэлектрической проницаемости данного вещества. Введение комплексной диэлектрической проницаемости позволяет весьма просто учитывать как диэлектрические, так и проводящие свойства данного вещества.

Еа Значение вещественной ча- 7 та д сти е, говорит об,интенсивности процесса поляризации, ~в то время как мнимая часть характеризует плотность тоРис. !.!з. Отображение кои- ков проводимости. Изобраалексиой диэлектрической проиикаемости. жая число е, на комплексной плоскости (рис. 1.13), можно характеризовать соотношение между вещественной и мнимой частями при помощи угла б, носящего название угла диэлектрических потерь. Чем больше этот угол, тем относительно большая часть электромагнитной энергии рассеивается в виде тепла прп протекании токов проводимости.

На практике чаще всего пользуются тангенсом этого угла: 18 5= о/оэеа. (1.60) зб Тангенс угла потерь хороших диэлектриков на СВЧ ле- жит в' пределах 10 — ' —:10 — ', если 1д6»10 — ', то диэлек- трик обычно считается плохим. 1.14. Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля Одним из 'важнейших результатов, полученных Максвеллом, явилось доказательство волновой природы электромагнитного поля. Уже упоминалось о том, что изменение во времени электрического поля приводит к возникновению магнитного поля, неоднородного в пространстве, и наоборот.

Физическая картина здесь напоминает процесс обмена энергией между электрическим и магнитным полем в обычном колебательном контуре. Поэтому можно ожидать, что электромагнитный процесс в самом общем случае представляет собой также некоторые колебания. Принципиальная разница здесь заключается в том, что колебания электромагнитного поля должны рассматриваться одновременно во всех точках пространства. В физике колебательное движение непрерывной среды принято называть в о л н о в ы м п р оцес с о м. Докажем волновой характер электромагнитного поля математически, сведя уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс.

Рассмотрим электромагнитное поле в пекогорой области пространства, где плотность зарядов отсутствует, т. е, р=О. Плотность сторонних электрических токов также чредполагается равной нулю. Выпишем первые два уравнения из системы (1.58) в виде: го! Н =)же, Е, го! Е = — )шр.,Н. (1,61) Эти два уравнения могут быть приведены к одному. Для этого применим операцию го! к левой и правой частям второго уравнения, а затем выразим полученную правую часть через первое уравнение: го1 го! Е = — ! озр,, го1 Н =;~ ' Е. (1.62) Здесь у =в 'г' з,и, — в общем случае комплексисе число, являющееся, как будет показано, постоянной распро- 37 странения электромагнитной волны.

В литературе для величины у можно встретить также названия фазовая постоянная или волновое число. дальнейшее преобразование формулы (1.62) можно осуществить, если воспользоваться известным тождеством векторного анализа: го1го1 Е= ~габ б(ч Š— Ч'Е. Здесь тг' (читае гся „набла квадрат") — векторный дифференциальный оператор второго порядка, конкретная форма которого полностью определяется той координатной системой, в которой проводятся вычисления. В декартовой координатной системе действие оператора Ч' сводится к тому, что .к каждой из проекций векторного поля применяется оператор Лапласа а — да да да Если воспользоваться законом Гаусса, который в соответствии с принятым условием р=О обеспечивает 61ч Е=О, то уравнение (1.62) может быть записано в следующем весьма изящном виде: 'р'Е+ ТаЕ = О. Пользуясь симметрией уравнений Максвелла, совершенно аналогично получаем также уравнение относительно векторного поля Н: тг Н+Т Н=О.

(1.64) Уравнения (1.63) и (1.64) в математической физике носят название ур а в н ен ий Гель и гольца по имени выдающегося немецкого физика Г. Гельмгольца. Математически можно показать, что эти уравнения описывают стационарные волновые процессы, т. е. распространение в пространстве волн с некоторой постоянной частотой. Таким образом, получен фундаментальный вывод теории Максвелла — переменность во времени электрических или м агнитных полей неизбежно приводит к р а сир остр а нению в п р ост ранстве электромагнитных волн. 38 В координатной форме уравнение Гельмгольца, на- пример (1.63), записывается следующим образом; ( д ' + д ' + д ' ) (Е~! +Ех 1 т + Ех 1 х) + + Т' (Е„1„+Е„1„+Е,1,) = О (1.65) или дЕ„+ д'Е +д'Е~ ( ЙЕ дх' да' дх1 (1.661 д/дх = д/ду = О. 1.15.

Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Пойнтинга Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Впервые вопрос об энергии электромагнитного поля был рассмотрен Максвеллом, который показал, что полная энергия поля, заключенного внутри объема г', складывается из энергии электрического поля ~'э=~ 2 д1' ГЕР (1.67) и энергии магнитного поля 2 (1.68) Подынтегральные выражения в формулах (1.67), (1.68) могут, таким образом, рассматриваться как плотности энергии электрического поля ша=ЕП/2 (1.69) 39 дъЕ дзЕ ' д~Е Решение системы (1.66) значительно упрощается в тех частных случах, когда поле не имеет каких-либо составляющих, например Ет — — Е,= О, а также, тогда, когда псле постоянно в каких-либо плоскостях, например и магнитного поля гам= НВ/2.