Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 9

В физике среды с подобными свойствами носят название сред без дисперсии. Совершенно очевидно, что из-за отсутствия каких- либо механизмов потерь ал=б. Диэлектрик без потерь. Рассматривая случай немагнитного диэлектрика с и= 1, что часто выполняется на практике, будем иметь ! 1 с гэ лиал= = 1',р, (2.23) и — — П ли ла ! ~ ла ~ е ОЗ (2.24) где ! л, ) =~/ а+а'/иа'! Ь = агс!П (а/и а„).

Комплексная постоянная распространения запишется следуюшим образом: (2.25) Поскольку у=р — )а, раскрывая выражение (2.25) по формуле Эйлера, будем иметь значение фазовой постоянной нг — иаР ) ли~!лл сов(Ч2) (2.26) 54 Таким образом, фазовая скорость, а следовательно, и длина волны в диэлектрике уменьшаются в )Гл раз по сравнению с аналогичными величинами, вычисленными для вакуума. Поскольку потери отсутствуют, то по-прежнему пилил = О. Диэлектрик с потерями.

Для анализа распространения волн в данной среде нужно воспользоваться понятием комплексной диэлектрической проницаемости н постоянной затухания а = вг' 1я,( р„з(п(5/2). (2. 27) Как уже указывалось, реальные диэлектрики характери- зуются весьма малыми углами потерь, порядка 10-4 —: 10-', в силу чего с точностью до величин порядка Ь' можно считать соз ~ =1, з)п ~ ~ ~ . (2.28) д . д а 1 еа ! аа Отсюда заРа пэ — — с( 'г' а, а = )/еаза (об~2=Я/2. (2.29) (2.30) (2.31) Вывод, следующий из формул (2.29) — (2.31), заключается в том, что при расчете фазовых соотношений в первом приближении можно не учитывать потерь в материале. С другой стороны, коэффициент затухания плоских волн в неидеальном диэлектрике прямо пропорционален углу диэлектрических потерь.

2.4. Плоские электромагнитные волны в хорошо проводящих средах Вопрос о распространении плоских волн в реальных металлах и металлоподобпых средах рассмотрим полее подробно пз-за его особой практической важности. По определению с электродинамической точки зрения среда является хорошо проводящей, т. е. металлоподобной, если в каждой точке ее плотность токов проводимости .),р —— аЕ значительно превосходит плотность токов смещения 3,.„=)ьзе,Е, Это же условие металлоподобности может быть сформулировано н как о/и)) еа, (2.32) т.

е, мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости должна значительно превосходить вещественную часть. 55 Найдем комплексную постоянную распространения плоских электромагнитных волн в такой среде. По общему правилу, Тм= агм )ам = и У аамРам=)' ! аа!аама (2.34) Поскольку р' — 1=(1 — ))ф'2, (2.36) (2.34) мо кно переписать в виде Ра~р а~2 (1 )) (2.36) Итак, ~„= ам =) ' вр,,„~~'2.

(2.37) Отсюда можно вычислить длину волны в хорошо проводящей среде: а„= 2иф„= 2„)/ 2,'ар.,ма. (2.38) Интересно отметить, что длина волны в металле значительно сокращается по сравнению с длиной волны в свободном пространстве. Действительно, легко вычислить, что — "= ))'2 а/ — ' (< 1. (2.39) Согласно неравенству (2.39) в металле значительно снижается фазовая скорость плоских электромагнитных волн. 56 Очевидно, что чем ниже частота в, тем ближе прн прочих равных условиях приближается данная среда к идеальному металлу.

На достаточно низких частотах многие среды, известные как диэлектрики, становятся металлоподобными. Например, для сухой почвы с параметрами е=4, о=0,01 См7м на частоте 1 МГц имеем з,=3,56 ° 10 ", аг/го=!,6 10 — '. Таким образом, на частотах радиовещательных диапазонов сухая почва ведет себя подобно металлу. Такое свойство в ряде случаев позво-. ляет значительно упростить решение практических задач.

Согласно сделанному предположению комплексную диэлектрическую проницаемость металлоподобной среды можно считать мнимои: (2.33) Как известно, амплитуда электромагнитных волн в среде с потерями уменьшается по закону е " . Расстояние с(, на котором амплитуда электромагнитных волн падает в е раз по с р а в н е н и ю с ее начальным уровнем, называется глубиной проникновения или г л у б и н о й п о в е р х н о с т н о г о ел о я, Эта величина удовлетворяет очевидному соотношению агу= 1. (2.40) Пользуясь (2.37) и (2.40), будем иметь с/ = 1/ам = Лм/2н. (2.41) Таким образом, приходим к другому определению: металлоподобной называется такая среда, в которой поле затухает на расстоянии, меньшем одной длины волны. Формула для вычисления глубины поверхностного слоя имеет следующий вид: с( = 3 '2/юр„„о, (2.42) т.

е. глубина проникновения электромагнитных волн в металл уменьшается с ростом частоты и его удельной объемной проводимости. Конкретный расчет по формуле (2.421 показывает, что для металлов иа частотах СВЧ диапазона величина о оказывается весьма малой. Так, для меди, у которой о=5,7 1О' См/м иа частоте 1О ГГц (Ла=з см), имеем о=о,б мкм. Отсюда следует важный для практики вывод об использовании нанесенного на поверхность конструкции слоя хорошо проводящего вещества, например серебра толщинон порядка 0,01 мм. Такое проводящее покрытие позволяет просто и дешево выполнять элементы СВЧ устройств с малыми тепловыми потерями. 2.5. Плоские электромагнитные волны с вращающейся поляризацией В силу линейности уравнений Максвелла, если (Е„НД и (Ею Н,) — их решения, сумма (Е,+ Е„Н,"+ +НД также является решением.

Рассмотрим две плоские электромагнитные волны частного вида, комплексные амплитуды электрических 07 векторов которых имеют следующий вид: Е,=Е,е 1йа1, Е,= — )Е,е '1„. (2.43) 7 ю Рис. 2.3, Векторное сложение двух линейно поляризованных волн. Соответствующие мгновенные значения запишутся как Е,—.— Е, соз(а1 — 'рг) 1„ Е,= Е, зйп (а1 — ~г) 1н. (2.44) Из данных формул следует, что поле Ез повернуто относительно поля Ег в пространстве на угол 90' и, кроме того, отстает по времени на четверть периода.

Рис. 2.4. Электромагнитная волна с круговой поляризацией. Положим для определенности г=О и рассмотрим векторную сумму этих двух колебаний Еи = Е, + Е,. Очевидно, что ! Еи )= — ')гЕ'+Е, причем с течениеал времени результирующий вектор будет поворачиваться (рис. 2.3). Если теперь рассмотреть различные положения результирующего вектора в процессе распростране- бб ния обеих волн, то нетрудно понять, что конец вектора Е, будет описывать в пространстве винтовую линию (рис.

2.4). Очевидно, что совершенно аналогичным будет характер изменения в пространстве результирующего вектора П,. В Волна рассмотренного типа носит название плоской эл ектромагнитной волны с круговой вращающейся поля р из а цией. различают волны с правым вращением, ко- ИТа гда с конца оси г вращение векгора Е, наблюдается против часовой стрелки, а также волны с левым вращением. В общем случае, при нера~венстве амплитуд составляющих или при невыполнении условий как временнбй, так и пространственной квадратур получается э ллиптическая пол я риза- Рис 26 К снпсхсисиию ц н я плоской электромагнитно11 «онффнииенти эииннтич- НОСТИ.

волны. Для определения степени эллиптичности данной волны рассматривают сечение воображаемой цилиндрической области, по боковой поверхности которой скользит вектор Еи (рис. 2.5), и вводят коэффициент эллиптич- ности волны как отношение большой оси эллипса к малой: (2.45) й=А/В. Очевидно, что волна с вращающейся эллиптической поляризацией является наиболее общим случаем плоской электромагнитной волны, который включает в себя как волну с линейной поляризацией (й=сс), так и волну с круговой полязизацией (й=1). 2.6.

Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении В заключение рассмотрим важный для последующего случай, когда плоская электромагнитная волна распространяется вдоль некоторой произвольной оси г', не сов- 59 падающей с осью г (рис. 2.6). Относительно новой оси имеем соотношение пропорциональности: Е~,е ~Р'. 2. 46 ( ) Волновые фронты в данном случае представляют собой бесконечные плоскости, удовлетворяющие уравнению вида г'= сонэ(. (2А7) Итак, требуется выразить величину г' через исходные координаты х, у, г. Для этого отметим, что г' является Рис. 2,6. Распространение плоской полны в произвольном папран- лении. проекцией любого радиуса-вектора г, проведенного' из начала координат так, что конец его лежит на волновом фронте (см.

рнс. 2.6). Математически это запишется так: г'=г1„. (2А8) В системе координат х, у, г имеем: г=х1„+у1„+г1„ 1, =Е1 +ч1н+Е1„(2.49) где Е = соз (г', х); и = сов (г', у); Е = сов (г', г) — направляющие косинусы вектора 1, . Отсюда на основании (2.48) зависимость (2.46) запишется в виде Е е ~Р'"~+"~+*". (2.50) Легко показать, что все использованные ранее выражения комплексных амплитуд плоских волн являются частными случаями формулы (2.50). 60 ГЛАВА ТРЕТЬЯ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 3.1.

Постановка задачи Рассмотренный в гл. 2 простейший вид электромагнитного волнового процесса — плоские волны — является весьма идеализированным, поскольку здесь предполагается бесконечная протяженность волновых фронтов. В любой задаче электромагнитное поле тем или иным способом ограничено в пространстве. Естественными границами могут быть, например, металлические стенки или границы раздела между средами с различными параметрами.

Если параметры сред на границе раздела изменя. ются скачкообразно, то в общем случае компоненты векторов электромагнитного поля также претерпевают раз. рыв в точках границы. В данной главе будут найдены связи между векторами электромагнитного поля на границе, которые удовлетворяли бы уравнениям Максвелла. Математическая постановка данной задачи выглядит следующим образом. Предположим (рис.

3.1), что окружаюшее пространство, т, е, среда 1, обладает в каждой своей точке электродинамическими параметрами е,ь р,ь оь Внутри области 1 выделяется область 2, занимающая объем У, с поверхностью 5. Среда 2 имеет параметры еяь рчь 'оь Пусть на поверхности раздела 5 выделена произвольная точка Р, причем известно полное электромагнитное поле в бесконечно малой окрестности этой точки, относящейся к области 1.