Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 3

Последняя формула является выражением закона Ома, если положить, что ой=1Я, где 1с — сопротивление, измеренное между металлизированными гранями. Формула (1.6) иногда называется дифференциальной формой закона Ома, поскольку здесь дается связь между плотностью тока проводимости и напряженностью электрического поля в бесконечно малой окрестности произвольной точки пространства. Легко убедиться, что в практической системе единиц коэффициент а имеет у размерностьсименс на метр. Эта величина носит название удельной объемной проводимости и характеризует проводящие свойства того или иного вещества.

Для хороших проводников электрического тока, которыми являются металлы, Рис. !.2. К формулировке типичны высокие значения диффереициалвиои формы ааудельпой объемной проводи- коиа Ома. мости. Приведем для справок пеболыпую табл. 1.1 величин о, измеренных па постоянном токе. Таким образом, для протекания внутри металла значительного тока достаточно существования там ничтожной напряженности электрического поля. Удельная объемная проводимость диэлектриков и полупроводникои на много порядков меньше, чем у металлов.

Поэтому для описания их электропроводящих !3 свойств оказывается удобным применять другую характеристику — угол диэлектрических потерь, о котором будет сказано в дальнейшем. Таблица !.1 Металл .ю, См!м Серебро Медь Алюминий б,! 5,7 3,2 1.3. Закон сохранения заряда (1.7) Если теперь предположить, что с течением времени величина Я по каким-либо причинам изменяется, то в соответствии с законом сохранения заряда следует считать, что часть зарядов пересекает поверхность 5, вызывая наличие тока проводимости с плотностью )„р.

Интегрируя ахтар по поверхности 5, получаем результирующий ток проводимости (1.8) По определению (ток считается положительным, если заряд внутри объема уменьшается). Отсюда с учетом (1.7) и (1.8) !4 Одно из основных положений теории злектромагнетизма состоит в том, что нн при каких условиях электрические заряды не могут ни самопроизвольно зарождаться, ни исчезать бесследно. Это положение многократно подтверждается экспериментами и является одним из фундаментальных физических законов — з а к о н о м сохра,пения заряда. Предположим, что внутри произвольного замкнутого объема 17 с поверхностью 5 содержится некоторый заряд Я, величина которого может быть найдена интегрированием плотности заряда р по всему объему: будем иметь Преобразовав правую часть по теореме Остроградско- го — Гаусса, получим Последнее тождество из-за полной произвольности объема )с возможно лишь при тождественном совпадении подьсптсгральных выражений.

В результате приходим к математической формулировке закона сохранения заряда, носящей название уравнения непрерывности: ++б(УЛ =О. (1.9) 1.4. Закон Гаусса Этот закон (пс путать с математической теоремой Остроградского — Гаусса) получен экспериментально и устанавливает связь между векторным полем Е и вели- ч~$' чиной порождающего его заряда, Он формулируется следующим образом. Расе смотрим некоторый объем )с, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис. 1.3).

Если внутри объема )с заключен суммарный электрический заряд, то его величина, деленная на электрическую постоянную вакуума ео, численно совпада- Рис, 1.3. 3'кои Гаусса. ет с потоком векторного поля Е через поверность Я. Математически закон Гаусса в вакууме записывается как с) Ес($ = — '. (1.1О) 15 Закон Гаусса, выражаемый формулой (1.10), связывает поток вектора электрического поля с суммарным зарядом, заключенным внутри объема. Поэтому данная формулировка носит название закона Гаусса в интегральной форме. Пользуясь методами векторного анализа, можно получить другую форму записи данного закона.

Действительно, из теоремы Остроградского— Гаусса следует, что $ Е с( $ = ~ б(ч Е ~й/. э г Учитывая (1.11), получаем б!у Ейl=[ ~ 'Лг. ,! ~ю" (!.!2) Поскольку объем г' произволен, последнее равенство возможно лишь при тождественном совпадении подынтегральных выражений. Таким образом, б(ч Е=р/г4. (1.! 3) Соотношение (1.13) носит название закона Гаусса в дифференциальной форме.

Физически это соотношение в соответствии с определением понятия днвергенции означает, что источниками силовых линий электрического поля могут являться лишь электрические заряды. Отметим попутно, что закон Гаусса может выступать в качестве основного закона электростатики; при этом другие законы, например закон Кулона, выводятся из него как следствие. 1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий Экспериментально было обнаружено, что силовые линии вектора магнитной индукции В независимо от того, создается ли поле постоянными магнитами или ка- !6 Если рассматриваются точечные заряды, то величина Я, мокет быть найдена алгебраическим суммированием.

Если же заряд распределен непрерывно, то Я, определяется интегрированием плотности заряда р по объему У: тушками с током, образуют в пространстве замкнутые линии (рис. 1.4). Для математического описания этого факта удобно, как это делается в векторном анализе, воспользоваться представлением силовых линий магнитного поля в виде Рис. 1.4. Конфигурация магнитаых силовых линий постоянного маг- нита. воображаемых линий тока несжимаемой жидкости. Расположим внутри области существования магнитного поля произвольный объем, ограниченный поверхностью 5. Из замкнутости линий тока следует, что поток втекающей жидкости в точности равен потоку, вытекающему из объема. Таким образом, фВ ЯК=О.

11 Ж 17 2 — 1443 Проводя операции, аналогичные изложенным в предыдущем параграфе, будем иметь соотношение, справедливое для бесконечно малой окрестности выбранной точки пространства: б(ч В=О. (1.15) Формулы (1.14) и (1.15) служат математическими выражениями закона неразрывности магнитных силовых линий в интегральной и дифференциальной форме соответственно.

Эквивалентная формулировка рассмотренного закона состоит в том, что векторное поле В нигде пе имеет источников. Другими словами, в природе реально не существует никаких магнитных зарядов, а следовательно, и магнитные токи не имеют прямого физического смысла. 1.6. Закон полного тока В начале Х!Х века датский физик Х. Эрстед установил важнейший для теории электромагнетнзма экспериментальный факт, который заключается в том, что протекание электрического тока по проводникам приводит Уя к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля. Открытие Эрстеда позволило вымя ая дающемуся французскому ученому Амперу сформулировать закон, носящий в настоящее время название закона полного тока. М' Рассмотрим в пространстве воображаемый контур 1„ограничивающий поверхность 5. Зададим на данном контуре направление обхода так, чтобы движение вдоль контура с конца вектора элементарной площадки ЙЯ наблюдалось в направлении против часовой стрелки (рис.

1.5). Предположим далее, что поверхность 5 пронизывается некоторой системой токов, которая может носить как дискретный характер (например, система отдельных проводников), так и быть непрерывно распределенной (примером может служить электронный поток). Не указывая пока физической природы этих токов, 18 будем для определенности полагать, что они распреде'лены в пространстве непрерывно с некоторой плотностью 3,. Тогда полный ток, пронизывающий контур, найдется в виде (1.16) Закон полного тока гласит, что циркуляция по контуру Ь вектора напряженности магнитного поля, вызванного протеканием тока 7,, равна полному току, т.е. (1.17) Соотношение (1.17) формулирует закон полного тока в интегральной форме.

Для того чтобы найти дифференциальную форму этого закона, т. е. связать плотность полного тока в данной точке с напряженностью магнитного поля, следует воспользоваться известной из векторного анализа теоремой Стокса, которая гласит, что дли любого векторного поля А справедливо равенство $ А 0 1 = ) тот А г( 8. Воспользовавшись последней формулой и преобразовав с ее помощью выражение (1.14), будем иметь 5Н,(1= (го1 Н,(8= Р„.«8, откуда из-за произвольности выбранного конгура получим го1 Н =.)х (1.18) Формула (1.18) является законом полного тока в дифференциальной форме. Отметим, что с помощью закона полного тока в интегральной форме удается решать ряд задач, связанных с нахождением магнитного поля заданных токов.

21 19 1.7. Ток смещения Из практики известен факт протекания переменного электрического тока по цепи, содержащей конденсатор. Существенно важным здесь является то, что ток течет по пространству между обкладками, в котором отсутствуют какие-либо носители электрического заряда. Поэтому можно предполагать, что в рассматриваемой l ! и Рис. !.б. К опреденени|о понятия тока смещения. области протекает некий ток, природа которого принципиально отлична от природы тока проводимости, изученного ранее. Этот ток был впервые введен в электродинамику Максвеллом и назван им т о к о м с м е щ е н и я. Рассмотрим цепь с конденсатором, изображенную на рис.1.6, в которой выделена замкнутая поверхностьЯ, окружающая одну из обкладок конденсатора.

Из закона Гаусса следует, что в случае, когда между обкладками находится вакуум, ~Еда= — ~ . 5 В свою очередь, ток в цепи найдется следующим образом: У= —,=е У вЂ” Ж пч гак оп ос Из последнего выражения видно, что величина еодЕ/д1 имеет размерность плотности тока, который и должен 20 быть назван током смещения. Итак, плотность тока смещения в вакууме .! он = вод Е/дй (1.19) Максвелл предложил ввести плотность тока смещения в правую часть закона полного тока (1.18) наряду с плотностью тока проводимости. Эта мысль имела огромное значение для электродинамики, поскольку при этом устанавливалась внутренняя взаимосвязь электрического и магнитного полей. Действительно, изменение во времени электрического поля в какой-либо точке пространства приводит к протеканию тока смещения, который, в свою очередь, вызывает появление магнитного поля.

1.8. Закон электромагнитной индукции В 1831 г. М. Фарадей обнаружил возникновение напряжения на концах катушки, помещенной в переменное магнитное поле. Открытие этого явления, получившего название электромагнитной индукции, позволило Максвеллу сформулировать один из фундаментальных законов теории электромагнетизма, связывающий электрическое,поле с изменением во времени магнитного поля. Пусть в некоторой области пространства существует переменное во времени магнитное поле (рис. 1.7). Положение мгновенной ориентации векторов В указано на рисунке стрелками.

рас- Рис. !.7. К закону электромаг- нитной инлукции. смотрим далее произвольный замкнутый контур ь, направление обхода вдоль которого выбрано против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора В. ~В интегральной форме закон электромагнитной индукции имееъ следующее математическое выражение: ~ Ег(1= — — „г ~Вд8. с 3 (1.20) Циркуляция векторного поля Е по контуру 1„стоящая в левой части формулы (1.20), носит название электродвижущей силы (э.

д. с) по данному контуру. Если на месте воображаемого контура разместить контур, выполненный из проводника, то наличие э. д. с. приведет к протеканию в нем электрического тока в направлении вектора Е. В правой части (!.20) со знаком минус стоит производная по времени от полного магнитного потока, пронизывающего контур. Воспользовавшись теоремой Стокса и внеся операцию дифференцирования по времени под знак поверхностного интеграла, получим Су Е г(1 = ~ го1 Е г( Б = — ~ — д$.